Spezielle Funktionen. Definition 8.1 : Sei D C eine Kreisscheibe f : D C heißt Lipschitz (-stetig) oder dehnungsbeschränkt auf D

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1 8 Spezielle Funktionen werden in diesem Abschnitt definiert, also insbesondere Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, die trigonometrischen Funktionen sowie weitere wichtige Funktionen, die mit exp, log, sin, cos... in Zusammenhang stehen. Dabei beschränken wir uns in der Regel auf den reellen Fall, die vollständige Diskussion der speziellen Funktionen für komplexe Argumente erfolgt im Rahmen der Funktionentheorie. Wie wir gleich sehen werden, haben die meisten speziellen Funktionen die folgende angenehme Eigenschaft, die uns in 9 sofort die Stetigkeit der Funktionen liefert. Definition 8. : Sei D C eine Kreisscheibe f : D C heißt Lipschitz -stetig) oder dehnungsbeschränkt auf D L, 0, ) : fz ) fz 2 ) L z z 2 z, z 2 D analoge Definition I R Intervall, f : I R oder C)

2 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 2 Interpretation für f : I R fx ) x Graph f) Steigung L Steigung L Beispiele: ) fz) := z, z C erfüllt fz ) fz 2 ) = z z 2 z z 2, man kann L = wählen. 2) Sei fz) := n=0 a n z n konvergent auf D R 0). Behandlung: Für jedes r < R gibt es L = L r mit fz) fw) L z w auf D r 0) Beweis: a n z n w n ) = n= a n z w) z n + z n 2 w w n ) fz) fw) = n= z w n= a n n r n für alle z, w D r 0). Mit α n := a n n r n gilt lim sup n αn = lim sup n an r =: ϑ r

3 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 3 und da die Ausgangsreihe auf D /ϑ 0) konvergiert und somit R < /ϑ ist*, folgt: lim sup n αn < R r <, also Konvergenz von a n n r n nach dem Wurzelkriterium. n= wir nehmen ja Konvergenz auf D R 0) an, was R < /ϑ liefert.) Setzt man L := n= 3) Sei f : [0, ] R, ft) := t. a n n r n,, so folgt die Beh. Diese Funktion ist nicht Lipschitz auf [0, ]. Dazu muß man zeigen: Zu jeder Vorgabe von K > 0 gibt es x, y [0, ] mit fx) fy) > K x y. Sei x = 0, y n := /n = fx) fy n ) = n = n n = n y n x. Zu K > 0 wählt man n so groß, dass n > K ist. Bemerkung: ist Lipschitz auf Intervallen [α, β] mit 0 < α < β <. Satz 8. : Zwischenwertsatz für Lipschitz Funktionen Sei f : [a, b] R Lipschitz. Dann gibt es zu jeder Zahl c zwischen fa) und fb) ein x [a, b] mit fx) = c. Beweis: - später allgemeiner) Bemerkungen: ) f : [, ] R, ft) = {, t 0, t > 0 hat die Zwischenwerteigenschaft nicht. 2) Nullstellen von Polynomen ungeraden Grads) Beispiel:, f : R R, fx) = x 3 + αx 2 + βx + γ, α, β, γ R Beh.: x R mit fx ) = 0 Beweis: beachte lim f n) =, lim fn) = + n +

4 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 4 = N mit f N) < 0 < fn) Zeige, dass f auf [ N, N] Lipschitz Funktion ist und wende ZWS 8. an. I. Potenzen mit reellen Exponenten bekannt: a R +, r Q a r Potenz mit rat. Exp. Eigenschaften: i) Monotonie: [0, ) x x r streng wachsend für r Q + 0, ) x x s streng fallend für s Q, s < 0 ii) Seien r, s Q, r < s x r < x s, falls x > x r > x s, falls 0 < x < Monotonie bzgl. des Exponenten bei fester Basis iii) Sei x > 0 und m N. Dann gibt es ein L > 0 mit x r x s L r s für alle r, s Q [ m, m]. Bemerkungen: iii) ist eine Art Lipschitz Bedingung für s x s, s Q. Wir werden diese Eigenschaft zur Definition von x t, t R, benutzen. Beweis von iii): Fall : x > Ohne Einschränkung sei r < s. Hilfsungleichung: Für beliebiges t Q + gilt x t < x t+ t benutzt mit t = s r = x s r < s r) x s r+ x r = 0 < x s x r < s r) x s+ s r) x m+ = Beh. mit L := x m+.

5 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 5 Fall 2: 0 < x < x = trivial!) Dann ist y = /x > und nach Fall y r y s L r) s) = L r s denn mit r, s [ m, m] Q gehören auch r, s zu diesem Bereich. Nun ist y r y s = x r x s. Zur Hilfsungleichung: Behandlung: t Q +, x > = x t t x t+ Beweis: ) t = x t < x t t x t < t x t+ da x >!) 2) 0 < t < : schreibe t = p/n mit p, n N, p < n = x t = n x p = x... x n }{{} p fach... }{{} n p fach allg. Ungl. arith. geom. M.) p x + n p) = t + tx = + tx ). n also: x t < t x ) < t x < t x t+ wegen x >. [ ] n α α 2... α n n α + α α n ) Induktion nach n alle α i 0) Satz 8.2 und Definition 8.2 : Sei a > 0. Ist x R und {x n } eine Folge in Q mit x n x, so existiert lim axn und hängt nicht von der speziellen Wahl der gegen x konvergenten rationalen Folge ab. Wir schreiben: a x := lim axn. R x a x R heißt allgemeine Exponentialfunktion. zur Basis a)

6 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 6 Es gelten die Potenzgesetze a x+y = a x a y Funktionalgleichung der Exponentialfunktion a x b x = a b) x, a x ) y = a xy, a x y = a x /a y, a x /b x = a/b) x für alle a, b > 0 und x, y R Beweis: Zu beweisen ist nur der erste Teil des Satzes, die Potenzgesetze gelten dann vermöge Approximation. Sei 0.E. a <. Sei x R Q; wähle r n x n, x n+ ) Q, also r n x. a > = {a rn } ist monoton wachsend und beschränkt, z.b. a rn < a l, wenn l N mit l > x. = η := lim arn existiert Sei {s n } eine weitere Folge mit s n x. = r n s n [, ] Q für große n, also nach iii) von vorhin a rn sn a L r n s n = a rn sn. = a sn = a sn rn a rn η. Damit ist die Wohldefiniertheit von a x bewiesen. Für R x a x, a > 0, hat man folgende Lipschitz Bedingung: m N L > 0 mit a x a y L x y für alle x, y [ m, m], denn dies ist richtig für x, y Q [ m, m] und überträgt sich durch Approximation auf x, y [ m, m]. Bemerkungen: ) Für a > 0 heißt R x a x allgemeine Exponentialfunktion, da die Variable x im Exponenten steht und die Basis a fixiert ist.

7 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 7 2) Sei α R {0}. [0, ) x x α 0 α := 0), α > 0 0, ) x x α, α < 0 dann muß man 0 aus den Def. bereich herausnehmen) heißt allgemeine Potenzfunktion. Zusammenfassend ergibt sich jetzt: Satz 8.3 : Monotonie von Exponential- und Potenzfunktion i) a > : R x a x streng wachsend ii) 0 < a < : R x a x ist streng fallend iii) α > 0 : [0, ) x x α ist streng wachsend iv) α < 0 : 0, ) x x α ist streng fallend Außerdem gilt: v) x a x ist Lipschitz auf jedem beschränkten Intervall. vi) x x α ist Lipschitz auf jedem Intervall [A, B] mit A > 0. Beweis: i) h reell > 0; wähle τ [ h 3, h 2 ] rational und Folge h n Q mit h n h, O.E. h n τ = a >, Monotonie auf Q) a hn > a τ > a h a τ > also a h >. Seien x < y aus R, setze h := y x > 0 = a y x > = Potenzgesetze aus Satz 8.). a y > a x. ii) benutze i) mit /a > statt a iii) 0 < x < y = y x > = y x )α > y x ) da α > 0) i) d.h. y α > x α nach den Potenzgesetzen.

8 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 8 iv) betrachte x x α v) haben wir bewiesen vgl. p. 07) vi) Sei α > 0. Wir zeigen: x α y α C x y auf [A, B], A > 0. ter Schritt: n, m N ε = x > 0) x > : 0 < x n m = + ε) n m [ ] = + ε) n { } m n = + ε) m { } + ε) n m + + ε) n 2 m { + ε) m } n + ε) n m Bernoulli: + ε = + m ε m + ε m )m = + ε) m + ε m Einsetzen: 0 < x n m x ) n m x n m 2 ter Schritt: α reell > 0 = wähle rationale Folge α k α, α k > 0, Schritt ergibt: 0 < x α x ) α x α x > offenbar auch für x = ) 3 ter Schritt: Seien x, y [A, B], 0. E. y x. Dann ist s.o. 0 y α x α = x α ) y x )α x α ) y x ) α y x )α = y α α x y x) α B α A y x) Damit ist die Lipschitz Bedingung im Falle α > 0 nachgewiesen.

9 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 9 Sei α < 0. Dann ist für x, y [A, B] x α y α = x ) α y ) α s.o. α>0 α) B α A x y = α) xy B α A x y α)a 3 B α x y II. Logarithmus und Exponentialfunktion zur Basis e) x e x ist streng monoton wachsend auf R mit e n, e n 0. Nach dem Z.W.S. 8. folgt {e x : x R} = R +, so dass exp : R 0, ) bijektiv ist. Die Umkehrfunktion heißt natürlicher Logarithmus ln : 0, ) R. Bevor wir diese untersuchen, stellen wir nochmals die wichtigen Eigenschaften der Exponentialfunktion zur Basis e kurz e-funktion) zusammen. Satz 8.4 : Exponentialfunktion exp) Die Funktion exp : R R, expx) := e x, erfüllt ) Funktionalgleichung: expx + y) = expx) expy) x, y R 2) + x expx) x R 3) expx) x x, ) 4) exp ist streng wachsend 5) exp ist Lipschitz auf, a] a R. 6) exp ist bijektiv R 0, ).

10 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 0 Bemerkung: Man kann zeigen, dass jede Funktion f : R R mit ), 2) gleich exp sein muß. später, wenn wir e x = k! xk beweisen) Beweis: ), 4), 6) erledigt! 2) für x ist e x + x klar, denn e x > 0, + x 0. Sei x. Nach Bernoulli ist für n N + x + x n )n =: a n Wir untersuchen Behauptung: lim a n: lim + x n )n = e x gilt für alle x R!) Beweis: Sei x > 0 und n N mit n x. Wähle dazu das m N mit mx n < m + )x. = + m + )mx + x n )n + m )m+) x. [ ] x Es gilt + m )m+)x = + m )x + m )m Hilfsaussage: Sei α > 0 und α k α = α x k k αx k vgl. Satz 8.2 vi.; Lipschitz Stetigkeit von t t x auf [A, B] mit A > 0) Nach der Hilfsaussage ist + m )x bei n beachte: n = m ) und + m) mx e x bei n sowie + m+) mx = + m+) m+)x { ) } x + m+ e x = e x bei n.

11 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN Die Einschachtelung ergibt + x n) n e x. Ist x < 0, so folgt: Andererseits: für n > x und x n) n e x nach dem Bewiesenen. n n + n) x n) x = x2 n 2 ) n < + n) x n n) x n = x2 ) n n 2 x2 n nach Bernoulli. x n )n > e +x Es folgt: + x n) n x2 x n )n n ) }{{} e x Daher ist e x = lim + x n) n x R. Für x haben wir + x + x n) n, damit ist 2) gezeigt. 3) Nach 2) ist e x x = e x x. 5) Auf p.05 haben wir für rationale s > r bewiesen: e s e r s r)e s+ setze in der dortigen Rechnung x = e). Sind r, s, a], so folgt: 0 e s e r s r)e a+ = e s e r e a+ s r s, r Q, a] Sind x, y, a], so betrachtet man rationale Folgen s n x, r n y und benutzt die Definition e x = lim esn, um e x e y e a+ x y zu schließen.

12 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 2 Definition 8.3 Die Umkehrfunktion exp : 0, ) R zur Exponentialfunktion exp heißt natürlicher Logarithmus oder Logarithmus zur Basis e. Man schreibt ln oder log für diese Funktion. Satz 8.5 : Eigenschaft von ln) ) Funktionalgleichung: lnx y) = ln x + ln y x, y > 0 2) x ln x x x > 0 3) ln ist streng monoton wachsend 4) ln ist Lipschitz auf [a, ), a > 0 Bemerkung: Es gibt genau eine Funktion f : 0, ) R mit ) und fx) x x 0, ), nämlich f = ln. Bemerkungen: ) Aus ) folgt ln ) = ln + ln ln = 0. Natürlich klar, da e =. 2) ln e = Außerdem liest man aus der Funktionalgleichung ab: 0 = ln = ln x ) x Beweis des Satzes: = ln x + ln/x) = ln /x) = ln x. ) exp ln x y)) = x y = exp ln x) exp ln y) = exp ln x + ln y) = Beh., da exp bijektiv 2) Aus Satz 8.3, 2) folgt: + ln x expln x) = x. Es gilt /x, ) für x > 0, d.h. nach 8.3 3) exp ) /x /x) = x ln x. x 3) Seien 0 < x < y. Wäre ln x ln y, so hätte man wegen der Monotonie von exp den Wspr. exp ln x) = x exp ln y) = y.

13 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 3 4) Lipschitz-Eigenschaft auf [a, ): Seien a x < y = 0 ln y ln x = ln y/x 2) y x = x y x) a y x). Satz 8.6 : Für alle reellen x ist Reihenentwicklung e x = lim + x n )n = k! xk Beweis: die erste Gleichheit wurde bewiesen; sei fx) := k! xk, Konvergenzradius = ) Cauchy Produktformel Satz 7.9 = fx + y) = fx) fy) x, y R 2) f) = > 0 ist) k! = e vgl. Nachbemerkung!) man sieht nicht unmittelbar, dass f überall 3) zeige: fx) = f) x x R Da f) = e ist, folgt dann die Behauptung. n N : fn) = f ) = f) n = e n ) e = f) = f n n ) = f n n = f n ) n = f n ) = e/n ) ) ) n n, m N : f n m = f m m = f n m = e m = f0) = fx + x)) = fx) f x) = f x) = /fx) n, m N : f n ) = /fn/m) = e n/m m Ergebnis: e x = fx) x Q

14 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 4 x e x Lipschitz auf [ M, M], ebenso f vgl. Bspl. auf p. 04) für M > 0, d.h. man bekommt sofort die Gleichheit auf R. Q x n x = fx n ) fx), e xn e x ) Bemerkung: Es fehlt der Beweis von e = + m) m m k! < k!. Dieser folgt aus + n) n m 2, n 2m + )! bin. Formel Die zweite Ungleichung ist aufwendig und benötigt mehrfach die Bernoulli Ungleichung vgl. Steffen I, p.254). Logarithmen zur Basis a a > 0 = a x = e lna) x = e x ln a An dieser Formel liest man ab Satz 8.3): a = x a x, x R, ist Bijektion R R + Umkehrfunktion: Logarithmus zur Basis a. R + y log a y a = e = log e = ln Umrechnungsformeln: log a x = ln a ln x, x > 0 denn a ln a ln x = e ln a ) ln a ln x = e ln x = x und a log a x = x, also müssen die Exponenten gleich sein. III. Exponentialfunktion C C Definition 8.4 Für z C sei exp z := lim + z n = n) n=0 n! zn

15 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 5 Bemerkungen: ) z R = exp z = e z 2) Der Beweis der zweiten Gleichheit ist aufwendig. Satz 8.7 : Für die komplexe Exponentialfunktion gilt a) expz + w) = expz) expw) b) 0 z n 0 = lim exp z n z n = Bemerkungen: ) exp ist die einzige Funktion C C mit a), b) 2) wir definieren für z C: e z := exp z = e z+w = e z e w z, w C Potenzgesetz) Diese Schreibweise rechtfertigt sich aus der Gleichheit von e x und exp x im reellen Fall. Beweis von Satz 8.7: a) benutze den Cauchy Produktsatz für absolut konvergente Reihen b) = z n = exp zn 0,, k= k=2 da z n 0. k! z k z n k= n = z n k = z n zn k k! k=2 k! zn k z n k = z n z n bemerke: für a > 0 ist a = e ln a, man wird also definieren a z := e ln a z, z C

16 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 6 IV. Die trigonometrischen Funktionen Definition 8.5 Die Funktion cis : R C ist erklärt durch cis x := exp ix) = e ix Dann gilt: exp w = exp w, cis x 2 = e ix e ix = e ix e ix = e =, denn offensichtlich ist also exp ix = exp ix)) = die Punkte cisx, x R, liegen auf der Einheitskreislinie S := {z C : z = }. Satz 8.8 : Eigenschaften von cis ) cis x + y) = cis x cis y ergibt später die Additionstheoreme für sin, cos) x, y R 2) cis x cis y x y 3) cis R = S Surjektivität) Bemerkung: wir werden gleich definieren sin x = Im cis x), cos x = Re cis x), daran sollte man nachfolgend denken. Beweis: ) folgt aus e ix+y) = e ix+iy = e ix e iy zu 2), 3): setze cis x =: cx) + isx). Es gilt beachte: cis x = c x) = ) k s x) = ) k k! ik x k = Vergleich von Re u. Im x = x2k 2k)! x2k+2 2k+2)! x o, 2] = x2k+ 2k+)! > x2k+3 2k+3)! x2k 2k)! gerade Funktion c x) = c x) x2k+ 2k+)! ungerade Funktion s x) = sx)

17 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 7 daraus folgt: x = 0 < c x) = >0 {}}{ x2 2! + 0 {}}{ x 4 4! x6 6! ±... x 0, 2] = 0 < s x) = x x3 3! }{{} >0 + x5 5! x7 }{{ 7! } >0 ±... Sei 0 x = 0 sx) = x = 0 sx) x auf [0, ] = s ungerade x 3 3! x5 ) }{{ 5! } >0 x 7 7! x9 ) }{{ 9! } >0... a) sx) x, x Für x gilt a) auch: sx) cis x x in diesem Fall. Nach diesen Vorbereitungen zu 2): Seien x, y R = e ix y) = e ix e iy = e ix e iy also: e ix+y) e ix y) = e ix e iy e iy ) = { cis x } k! iy)k k! iy)k cis x ) k y2k+ 2k+)! 2i = 2i cis x s y) = cis x + y) cis x y) = 2i cis x s y) ersetze x durch = x+y 2, y durch y x 2 = ) b) cis y cis x = 2i cis x+y 2 s y x 2 ) a), b) = cis x cis y 2 y x s 2 x y.

18 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 8 Gemäß cis x cis y = ) 2 c x) c y) + ) ) 2 /2 s x) s y) folgt auch die Lipschitz Bedingung s x) s y) x y, Damit ist 2) verifiziert. c x) c y) x y. 3) Es ist c 0) = und c 2) < 0. / beachte dazu: 2 2k 2k)! > 2 /2k 2k+2 + 2)! für k 3 und c 2) = 4 2! + 6 4! }{{} <0 + ) k k=3 22k 2k)! } {{ } <0 ) Realteil von b) = c y) c x) = x + y ) y x ) 2 s s 2 2 Seien 0 < x < y < 2 = x+y 2, y x 2 0, 2) außerdem: s > 0 auf 0, 2] Also: c y) c x) < 0, c streng fallend auf [0, 2] Zwischensatz für Lipschitz Funktionen = c : [0, 2] [c 2), c 0)] bijektiv cis 2 s cis x cis x cis 0 c

19 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 9 Also gibt es genau eine Zahl 0, 2) mit c x ) = 0 x anschaulich: die Kurve x cis x, x 0, startet in, 0) und durchläuft dann S entgegen dem Uhrzeigersinn. s ist der erste Zeitpunkt > 0, wo die Kurve die vertikale Achse schneidet also gleich der Länge des Viertelkreises!)] Definition 8.6 : π := 2x, also x := π 2 Folgerung: cis π 2 =, s π 2 ) > 0 i x cisx sx) cx) = s π 2 ) = Für 0 x π 2 durchläuft cis x genau den Viertelkreis von, 0) nach i = 0, ). Außerdem: cis π 2 = i s π 2 ) = i. Für x R folgt: c) cis x + π 2 ) = eix+ π 2 ) = cis x cis π 2 = i cis x Wir haben gesehen: cis : [0, π 2 ] {z S : Re z 0, Im z 0} bijektiv

20 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 20 Formel c) = cis bildet [ π 2, π ] bijektiv ab auf {z S : Re z 0, Im z 0} ] entsprechend betrachtet man [π, π 2 3 und [ 3 2 π, 2π ] = cis : [0, 2π) S bijektiv beachte: cis 0 = cis 2π). Aus c) folge nach 4facher Anwendung: cis x + 2π) = i 4 cis x = cis x = cis und damit s, c) hat Periode 2π Definition 8.7 : sin : R R, cos : R R, sin x := s x) cos x := c x) Satz 8.9 : Eigenschaften von sin, cos ) ) sin 0 = sin π = 0, sin π 2 =, sin π 2 = cos 0 =, cos π =, cos π 2 ) = cos π 2 = 0 2) cosx + y) = cos x cos y sin x sin y sinx + y) = sin x cos y + sin y cos x Additionstheoreme)

21 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 2 3) cos 2 x + sin 2 x = 4) cos x cos y x y, sin x sin y x y 5) cos x + π 2 ) = sin x, sinx + π 2 ) = cos x cos x + π) = cos x, sin x + π) = sin x cos x + 2π) = cos x, sin x + 2π) = sin x 6) sinr) = cosr) = sin[0, 2π]) = cos[[0, 2π]) = [, ] 7) cos [0,π] streng fallend, sin [ π 2, π 2 ] streng wachsend mit Bild [, ] mit Bild [, ] Beweis: folgt aus den Übungen zu Satz 8.9 Abgesehen von den Nullstellen von sin, cos kann man definieren: / tan x := sin x cos x, / cot x := cos x x ) k + 2 π, k Z sin x, x kπ, k Z π 2 π 2 0 π Hauptzweig von tan Hauptzweig von cot ) tan, cot haben Periode π, da sin cos x + π) = sin cos x)

22 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 22 2) tan π streng wachsend, cot 2, π 2 ) 0,π) streng fallend Bew.: Additionstheoreme + Fallunterscheidung) 3) tan x tan y denn: cos 2 a cos 2 a tan x tan y = sinx y) x y x, a [ a, a], a < π/2 cos x cos y ) cos 2 a x y sin y cos x sin x cos y Arcus - Funktion sind die Umkehrfunktionen der Einschränkungen von sin, cos, tan, cot auf geeignete Intervalle arcsin : [, ] arctan : R [ ] π 2, π 2, arccos : [, ] [0, π], ) π 2, π 2, arc cot : R 0, π) V. Die Hyperbelfunktionen gewisse Analogie zu den trig. Funktionen; x, y) = cosh t, sinh t) erfüllt x 2 y 2 = Hyperbel ) cosh x := 2 tanh x := ) ) e x + e x, sinh x := 2 e x e x, x R sinh x cosh x = e2x e 2x +, x R coth x := / tanh x, x 0. Cosinus-, Sinus-, Tangens-, Cotangenshyperbolicus) Übungen: ) cosh coth streng fallend [0, ) streng wachsend, sinh streng wachsend, tanh streng wachsend, 2) cosh 2 sinh 2 3) sinhx + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x,......

23 8. SPEZIELLE FUNKTIONEN 23 Umkehrfunktionen: ar sinh : R R,, ar sinh x = ln x + ) + x 2 ar cosh : [, ) [0, ), ar cosh x = ln x + ) x 2 ar tanh :, ) R, ar tanh x = 2 log x+ x ar coth : R [, ] R {0}, ar coth x = 2 log x+ x Übung: man prüfe diese Gesetzmäßigkeit nach!