Kapitel 3: Folgen und Reihen

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1 Kapitel 3: und Reihen Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 1 / 29

2 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen und elementare Funktionen 3 und Reihen Reihen Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 2 / 29

3 Definition 3.1 Sei M eine Menge. Eine Funktion a : N N, n a n := a(n), n N heißt Folge in M. a(n) a n+1 a n a n+2 0 n n+1 n+2 N Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 3 / 29

4 Schreibweise: (a n ) n N oder (a n ) n oder (a n ) Wir betrachten nachfolgend vor allem reelle Zahlen-, d. h. es gilt M = R in Definition 3.1. Jeder natürlichen Zahl wird dabei eine reelle Zahl zugeordnet. Manchmal lassen wir bei 0, manchmal bei 1 beginnen. Beispiel 3.2 Vorüberlegung: Betrachte Beispiel 3.2, Teil... a) ( 1 n ) scheint gegen den Wert 0 zu streben n N b) ( 1 n ) 2 n N scheint gegen den Wert 0 zu streben c) (c) n N scheint gegen den Wert c zu streben e) strebt gegen den Wert 2 f) + d) scheinen nicht gegen einen Wert zu streben Fazit: bei einer Folge (speziell: reellen Zahlenfolge) ist folgende Frage sinnvoll/von Bedeutung: Wenn n sehr groß wird, strebt dann die Folge gegen einen Wert? Grenzwert einer Folge. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 4 / 29

5 Konvergenz Definition 3.3 Sei (a n ) n N eine reelle Zahlenfolge. Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert a R, wenn gilt: ε > 0 n 0 N : n n 0 : a n a < ε Wir schreiben dann: lim n a n = a und nennen die Folge konvergent. Falls die Folge nicht konvergent ist, so nennen wir sie divergent. Erläuterung: Zu jedem (noch so kleinen) ε > 0 gibt es eine natürliche Zahl n 0 (die von diesem ε abhängt), so dass für alle n n 0 gilt: Der Abstand zwischen dem glied a n und der Zahl a ist höchstens ε. Zu jedem noch so kleinen Abstand ε gibt es ein glied ab dem alle weiteren glieder näher als ε am Grenzwert dranliegen. Die ersten paar (aber endlich viele) glieder spielen dabei keine Rolle. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 5 / 29

6 Konvergenz Illustration: a n R a + ε a + a + a ε ε a + ε 0 n 0 n 0 n N Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 6 / 29

7 Konvergenz Bemerkung Konvergiert die Folge (a n ) n gegen den Wert 0, so nennen wir sie Nullfolge. 2 Eine Folge (a n ) n konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a, wenn die Folge (a n a) n eine Nullfolge ist. 3 Gilt lim n a n = a, so schreiben wir auch a n a für n Beispiel 3.5 Satz 3.6 Sei (a n ) n N eine konvergente Folge. Dann ist der Grenzwert a der Folge eindeutig bestimmt. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 7 / 29

8 Beschränktheit, Monotonie Definition 3.7 Sei (a n ) n eine Folge. i) Die Folge (a n ) n geht gegen (schreibe: lim n a n = ), wenn für alle r > 0 ein n 0 N existiert, so dass a n > r für alle n n 0 ist. ii) Die Folge (a n ) n geht gegen (schreibe: lim n a n = ), wenn für alle r < 0 ein n 0 N existiert, so dass a n < r für alle n n 0 ist. iii) Die Folge (a n ) n heißt nach oben (unten) beschränkt, falls die Menge {a n : n N} nach oben (unten) beschränkt ist. Die Folge heißt beschränkt, falls sie nach oben und nach unten beschränkt ist. iv) Die Folge (a n ) n N heißt monoton wachsend (monoton fallend), falls a n+1 a n (a n+1 a n ) für alle n N. Gilt dabei die strikte Ungleichung, so sprechen wir von strenger Monotonie. Die Folge heißt (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wachsend oder fallend. Beispiel 3.8 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 8 / 29

9 Konvergenz vs. Beschränktheit Lemma 3.9 Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist beschränkt. a n R obere Schranke glieder a + ε lim n a n = a a ε untere Schranke 0 n N Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 9 / 29

10 Konvergenz vs. Beschränktheit Lemma 3.10 Es sei (a n ) n eine nach oben (unten) beschränkte, monoton wachsende (fallende) Folge reeller Zahlen. Dann ist die Folge konvergent mit Grenzwert a = sup{a n : n N} (a = inf{a n : n N}) Beachte: Monotonie ist hier essenziell, denn: (( 1) n ) n ist beschränkt, aber nicht konvergent. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 10 / 29

11 Konvergenz vs. Beschränktheit Illustration von Lemma 3.10: a n R glieder 0 n N Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 11 / 29

12 Konvergenzsätze Satz 3.11 (Vergleichskriterium) Seien (a n ), (b n ), (c n ) mit a n b n c n n N. i) Wenn lim a n = lim c n = b für ein b R, dann gilt: lim b n = b n n n ii) Wenn lim a n =, dann lim b n = n n iii) Wenn lim c n =, dann lim b n = n n Beispiel 3.12 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 12 / 29

13 Konvergenzsätze Satz 3.13 Es seien (a n ) n und (b n ) n konvergente mit a := lim a n und n b := lim b n. Dann gilt: n i) Die Folge (a n ± b n ) n ist konvergent mit lim (a n ± b n ) = a ± b. n ii) Die Folge (a n b n ) n ist konvergent mit lim (a n b n ) = a b. n iii) Sei c R. Dann ist auch die Folge (c a n ) n konvergent mit lim (c a n) = c a n iv) Ist b 0, so gibt es ein n 0 N so dass für alle n n 0 gilt: b n 0. Dann sind auch die ( 1 b n ) n und ( an b n ) n konvergent mit lim ( 1 n b n ) = 1 b und lim ( an n b n ) = a b. v) Die Folge ( a n ) n ist konvergent mit lim a n = a. n Beispiel 3.14 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 13 / 29

14 Cauchy-Folge Satz 3.15 (Cauchy-Kriterium) Die Folge (a n ) n ist genau dann konvergent, wenn ε > 0 n 0 N p, q n 0, p, q N : a p a q < ε Erläuterung: Konvergenz einer Folge ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass es zu jedem noch so kleinen Wert ε > 0 einen Index n 0 gibt, so dass jedes beliebige Paar von gliedern nach dem n 0 -ten glied einen Abstand von weniger als ε hat. Definition 3.16 Eine Folge (a n ) n heißt Cauchy-Folge, wenn ε > 0 n 0 N p, q n 0, p, q N : a p a q < ε Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 14 / 29

15 Cauchy-Folge Illustration: a p a q Zahlenstrahl ε Korollar Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge (und umgekehrt: Jede Cauchy-Folge konvergiert in R.) Beweis. Satz 3.17 Jede reelle Zahl ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 15 / 29

16 Häufungspunkt Definition 3.18 Sei (a n ) n eine Folge. i) Ist (m n ) n eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen, so heißt die Folge (a mn ) n Teilfolge von (a n ) n ii) Eine Zahl a R heißt Häufungspunkt von (a n ) n, falls es eine Teilfolge von (a n ) n gibt, die gegen a konvergiert. Beispiel 3.19 Satz 3.20 (Satz von Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Beispiel 3.21 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 16 / 29

17 Reihen Reihe Definition 3.22 Sei (a k ) k eine Folge. Die n-te Partialsumme wird definiert als s n := n a k. k=1 Die Folge, die aus den n-ten Partialsummen ( n ) (s n ) n N := a k besteht, bezeichnen wir als (unendliche) Reihe und schreiben dafür a k. Konvergiert die Folge (s n ) n gegen eine Grenzwert a, so nennen wir die Reihe konvergent. Divergiert diese Folge, so nennen wir die Reihe divergent. k=1 n N k=1 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 17 / 29

18 Reihen Reihe Beachte: Reihen sind, die durch Summation der glieder entstehen. Beispiel 3.23 Zentrale Frage: Wann konvergiert die Reihe? verschiedene Konvergenzkriterien Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 18 / 29

19 Reihen Konvergenzkriterien Satz 3.24 (Cauchy-Kriterium) Die Reihe a n konvergiert genau dann wenn: n=0 n Zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 N : a k < ε n, m n 0. Beweis. Satz 3.25 Ist die Reihe a n konvergent, so ist die Folge (a n ) n eine Nullfolge, d. h. es ist lim a n = 0. n n=0 k=m Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 19 / 29

20 Reihen Konvergenzkriterien Beispiel 3.26 Satz 3.27 Eine Reihe a n mit a n 0 für alle n N konvergiert genau dann wenn die n=0 Reihe (= Folge der Partialsummen) beschränkt ist. Beweis. Beispiel 3.28 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 20 / 29

21 Reihen Konvergenzkriterien Satz 3.29 (Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen) Sei (a n ) n N eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit lim a n = 0. n Dann konvergiert die Reihe ( 1) n a n. Beispiel 3.30 n=0 Definition 3.31 Eine Reihe a n heißt absolut konvergent, wenn die Reihe a n konvergiert. Satz 3.32 n=0 Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. n=0 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 21 / 29

22 Reihen Konvergenzkriterien Satz 3.33 (Majorantenkriterium) Sei c n eine konvergente Reihe mit c n 0 für alle n N. Sei (a n ) n eine Folge n=0 mit a n c n für alle n N. Dann konvergiert die Reihe a n absolut. Beispiel 3.34 n=0 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 22 / 29

23 Reihen Konvergenzkriterien Satz 3.35 (Quotientenkriterium) Sei a n eine Reihe mit a n 0 für alle n=0 n n 0 N. Wenn es eine Zahl θ mit 0 < θ < 1 gibt, so dass a n+1 a n θ für alle n n 0, dann konvergiert die Reihe a n absolut. Beispiel 3.36 n=0 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 23 / 29

24 Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion Erinnerung an Schulwissen: i) e : Eulersche Zahl, e 2, f (x) = e x D f = R W f = R + f (x)=e x x 2 e 0 = 1, e 1 = e Die Exponentialfunktion beschreibt z. B. Wachstums- oder Zerfallsprozesse. 4 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 24 / 29

25 Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion Erinnerung an Schulwissen: ii) Trigonometrische Funktionen sin x, cos x: A α b c 90 C β a B Sinus(Winkel) = Cosinus(Winkel) = z. B. sin α = a c Gegenkathete des Winkels Hypotenuse Ankathete des Winkels Hypotenuse Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 25 / 29

26 Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion Erinnerung an Schulwissen: ii) Trigonometrische Funktionen sin x, cos x: sin und cos sind 2π-periodisch, D f = R, W f = [ 1, 1] Sinus Kosinus y π π 3π 2π x Jetzt: e x, sin x und cos x durch Reihen einführen. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 26 / 29

27 Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion Exponential-, Sinus- und Cosinus-Funktion Definition 3.37 Wir definieren folgende Funktionen: i) Exponentialfunktion: ii) Sinus-Funktion: exp(x) := e x := sin(x) := iii) Cosinus-Funktion: cos(x) := k=0 k=0 x k k! = 1 + x + x x ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! ±... ( 1) k x 2k (2k)! = 1 x x 4 4! x 6 6! ±... k=0 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 27 / 29

28 Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion Exponential-, Sinus- und Cosinus-Funktion Satz 3.38 Die Reihen exp(x), sin x und cos x konvergieren absolut für jedes x R. Satz 3.39 (Rechenregeln) 1.) exp(0) = 1, sin 0 = 0, cos 0 = 1 2.) Seien x, y R. Dann gilt: exp(x + y) = exp(x) exp(y) und exp( x) = 1 exp(x) 3.) exp(1) = e = 2, e x := exp(x) 4.) cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) 5.) cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 28 / 29

29 Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion Exponential-, Sinus- und Cosinus-Funktion Beispiel 3.40 Beispiel 3.41 Stefan Ruzika (KO) Kapitel 3: und Reihen 29 / 29