eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte.

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1 Analysis, Woche 5 Folgen und Konvergenz A 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz Eine Folge in R ist eine Abbildung von N nach R und wird meistens dargestellt durch {x n } n=0, {x n} n N oder {x 0, x, x 2,... } Das heißt, für jedes n N ist x n R vorgeschrieben. Eine Folge in C ist eine Abbildung von N nach C. { } Zum Beispiel ist ( ) n eine Folge in R, für die man auch n+ n N {, 2, 3, } 4,... hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte. 5.. Monotone Folgen Die reellen Zahlen haben wir eingeführt, indem wir monoton wachsende Folgen in Q benutzt haben. Bei einer wachsenden, beschränkten, rationalen Folge {q n } n=0 und der dadurch definierten Zahl x R schreibt man q n x für n. Wir haben bemerkt, dass man mit monoton wachsenden, beschränkten Folgen in R keine noch größere Zahlenmenge bekommt. Diese Aussage werden wir mal genauer betrachten, und dafür brauchen wir Teilfolgen. Definition 5. Eine Folge {b n } n=0 streng wachsende Funktion heißt eine Teilfolge von {a n} n=0, wenn es eine f : N N gibt, so dass b k = a f(k) für alle k N. als Teil- Bemerkung 5.. Meistens schreibt man n k = f (k) und bekommt so {a nk } k=0 folge von {a n } n=0. 4

2 November 205 Woche 5, Folgen und Konvergenz Beispiel 5.2 Die Folge {n 2 } n=0 ist eine Teilfolge von {n} n=0 : {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... }. Die Folge { + n 2 + ( ) n } n=0 ist keine Teilfolge von {n} n=0, denn in { + n 2 + ( ) n} = {2,, 6, 9, 8,... } stehen 2 und falsch herum. n=0 Analysis, Woche 5 Lemma 5.3 Sei {x n } n=0 eine wachsende und beschränkte Folge in R. Dann gibt es ein kleinstes x R mit x n x für alle n N. Bemerkung 5.3. Wir schreiben in dem Fall, dass x n x für n oder einfach nur x n x. Folgen Bemerkung Für eine fallende beschränkte Folge {x n } n=0 schreiben wir x n x, wenn x n x. Also x ist hier die größte untere Schranke. Beweis. Entweder a) gibt es eine streng wachsende Teilfolge {x nk } k=0 oder b) x n ist konstant für n genügend groß, sagen wir für n N. Im zweiten Fall nimmt man x = 5. Folgen, Cauchy und Konvergenz x N R. Betrachten wir nun den ersten Fall und schreiben wir y k = x nk. Weil y k R, Die gibtreellen es q k,m Zahlen Q mit haben q k,m wir yeingeführt k für m indem. Weil wirymonoton 0 < y gibt wachsende es m mit Folgen q 0,0 iny 0 Q benutzt weil yhaben. < y 2 Derartige gibt es m 2 Folgen mit q,m hatten yeinen q 2,m2 Grenzwert usw. Das undheißt, ganz wir grobfinden gesagt: eine diewachsende Menge q,m ; aller Folgesolchen Grenzwerte haben wir R genannt. Außerdem haben wir bemerkt, dass man mit monoton wachsende Folgen in q,m R keine q 2,m2 noch größere q 3,m3 Zahlenmenge... bekommt. Anders formuliert: und weil {x R ist n } vollständig. n=0 beschränkt Auch ist, haben ist auch wir {q bemerkt, n,m n } dass n=0 beschränkt. Cauchy-Folgen Dies bedeutet, (von rationale dass die Zahlen) Folge {q einen n,mn } Grenzwert n=0 zu einem in R Element haben und von man R soll führt. sich Nennen nicht wundern, wir dieses dass Element Cauchy-Folgen x. Es gilt in q R einen n,mn x. Grenzwert Weil x k in x R nk = haben. y k q k+,mk+ folgt x k x für alle k N. Wenn x < x gilt, Wir wiederholen/erweitern: gibt es x nk = y k q k,mk > x. Das heißt, x ist das kleinste. Definition 5. Sei {a n } n=0 eine Folge in R Cauchy-Folgen sind konvergente Folgen Sie heißt eine Cauchy-Folge in R, wenn In Definition 2.20 ist definiert worden, was eine konvergente Folge in R ist. ε > 0 N ε N : n, m > N a n a m < ε. Definition 5.4 Eine Folge {x n } n=0 in R heißt konvergent, wenn es y R gibt derart, dass Sie heißt eine konvergente Folge in R, wenn es a R gibt so, dass ε > 0 N ε N: n > N ε = x n y < ε, (5.) ε > 0 N ε N : n > N a n a < ε. Man schreibt Bemerkung 5.. Wenn man R durchlimc x ersetzt, n = y bekommt man die Definition von Cauchy-Folge und konvergente Folge in C. und die Zahl y heißt Grenzwert oder Limes von {x n } n= ε ε N ε Konvergenz in R kann man sich wie hier oben vorstellen: Für jedes ε > 0 gibt es N ε N, derart, dass wenn man mit n an N ε vorbei ist, dann liegen die zugehörigen a n innerhalb einer Bandbreite ε von dem Limes. Der im Bild dargestellte Limes ist. Definition 5.5 Eine Folge, die nicht konvergent ist, nennt man divergent.

3 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz 26. November Beispiel 5.6 Die Folge { } ist konvergent, und zwar nach 0. Das zeigt man wie n+ n N folgt. Sei ε > 0. Man wählt für N ε die kleinste natürliche Zahl oberhalb, und es folgt ε für n > N ε, dass n + 0 = n + < N ε + + = ε. ε Also gilt lim = 0. n+ Wieso hat man N ε so gewählt? Weil man auf einem Schmierblatt mal kurz versucht hat, was man braucht um < ε zu bekommen: n+ n + < ε ε < n + ε < n. Wir haben auch Cauchy-Folgen in R betrachtet. Diese Cauchy-Folgen werden wir uns nun etwas ausgiebiger anschauen. Definition 5.7 Eine Folge {x n } n=0 ist eine Cauchy-Folge, wenn folgendes gilt: ε > 0 N ε N : n, m > N ε = x n x m < ε. (5.2) Beispiel 5.8 Betrachte die Folge { n ( )n}. Schreibt man diese Folge aus, findet n+ n N man { 0, 2, 2 3, 3 4, 4 } 5,.... Die ungeraden Terme scheinen nach zu gehen und die geraden nach. Nehmen wir zwei aufeinanderfolgenden Terme, so folgt n n + ( )n n + n + 2 ( )n+ = n m n + + n + n + 2 = n n + + n + n + 2. Für n folgt n n + + n + n + 2 > =. Also ist diese Folge keine Cauchy-Folge, denn für ε = liegen zwei aufeinderfolgende 2 Terrmen in der Folge mehr als von einander entfernt. Mit dem nächsten Ergebnis ist 2 die Folge, sofort auch nicht konvergent. In den ersten Wochen haben wir schon genannt, dass Cauchy-Folgen in R immer auch konvergent sind und umgekehrt. Diesmal folgt der Satz mit einem Beweis: Theorem 5.9 Sei {x n } n=0 eine Folge reeller Zahlen. Wenn sie konvergent ist, dann ist sie eine Cauchy-Folge. Wenn sie eine Cauchy-Folge ist, dann ist sie konvergent. Beweis Theorem 5.9: Konvergent Cauchy. Sei ε > 0 und sei Nε konv Zahl aus (5.). Dann passt Nε Cauchy := N konv N konv ε/2 gilt: die zugehörige ε/2 für die Definition in (5.2). Denn für n, m > x n x m = x n y + y x m x n y + y x m < 2 ε + 2 ε = ε. Die Behauptung in der anderen Richtung ist schwieriger und braucht mehrere Zwischenschritte, die wir nun vorstellen.

4 November 205 Woche 5, Folgen und Konvergenz Lemma 5.0 Jede Cauchy-Folge {x n } n=0 in R ist beschränkt. Beweis. Sei N N derart, dass x n x m < gilt für n, m > N. Dies folgt aus der Definition von Cauchy-Folge, wenn man ε = nimmt. Als nächstes setzen wir M = max { x 0, x, x 2,..., x N, x N + + }. Weil hier endlich viele Zahlen stehen, ist M R wohldefiniert. Für n {0,..., N } gilt dann direkt, dass x n M, und für n N + folgt x n = x x N + + x N + x x N + + x N + < + x N + M. Das heißt, dass x n M für alle n N, und bedeutet, dass die Folge durch M beschränkt ist. Lemma 5. Jede Folge in R hat eine monotone Teilfolge. Beweis. Sei {x n } n N die Folge in R. Wenn es eine wachsende Teilfolge gibt sind wir fertig. Nehmen wir also an, so eine Teilfolge gibt es nicht. Unter dieser Annahme, werden wir zeigen, dass es eine fallende Teilfolge gibt. Die Idee findet man in Abbildung 5., aber der Beweis ist technisch. 4 2 n0 n n2 n3 n4 n5 n6 n7 2 Abbildung 5.: In grau eine Folge {x n } n N ; in rot eine fallende Teilfolge {x nk } k N derart, dass für alle k 0 und n > n k gilt x nk x n. Die Annahme, dass es keine wachsende Teilfolge gibt, bedeutet, dass es für jedes k N nur höchstens endlich viele { m k, m k 2,..., m k max} gibt mit k < m k < m k 2 < < m k max und x k x m k x m k 2 x m k max. Das bedeutet, dass x m k max > x n für alle n > m k max und, dass {x n } n k ein größtes Element hat mit Index in { k, k +,..., m k max}. Der kleinste dieser Indices nennen wir N (k). Es gilt, dass x N(k) x n für alle n k. Wir konstruieren anschließend eine monoton fallende Teilfolge: Setze n 0 := N (0). Für x n0 gilt x n0 x n für alle n N. Setze n := N (n 0 + ) > n 0. Für x n gilt x n0 x n x n für alle n n 0 +. Setze n 2 := N (n + ) > n. Für x n2 gilt x n x n2 x n für alle n n +. Und so weiter. Wir setzen iterativ n 0 := N(0) und n k+ = N (n k + ) für k N und finden, dass {x nk } k N eine fallende Teilfolge von {x n } n N ist. Eine Cauchy-Folge hat also eine beschränkte monotone Teilfolge {x nk } k N. Für diese Teilfolge gibt es x R mit x nk x, wenn sie wachsend ist, oder x nk x, wenn sie fallend ist.

5 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz 26. November Lemma 5.2 Sei {x n } n N eine reelle Folge mit x n x R oder x n x R. Dann gilt lim x n = x. Bemerkung 5.2. Man schreibt statt lim x n = y manchmal auch x n y für n. Beweis. Wir zeigen dies für x n x R; x n x R ist ähnlich. Weil x die kleinste obere Schranke für {x n } n N ist, ist x ε mit ε > 0 keine obere Schranke. Das bedeutet, es gibt ein N N mit x N > x ε. Weil die Folge wachsend ist und nach oben durch x beschränkt ist, gilt x ε < x N x N+ x N+2 x und für n N gilt x n x < ε. Lemma 5.3 Sei {x n } n N eine reelle Cauchy-Folge mit einer nach x konvergenten Teilfolge. Dann konvergiert {x n } n N nach x. Beweis. Weil {x n } n N eine Cauchy-Folge ist, gibt es für ε > 0 eine Zahl N ε () dass n, m > N ε () x n x m < ε. Für die konvergente Teilfolge {x kn } n N gilt n > N ε (2) x kn x < ε. Nehmen wir N ε = max N () ε/2, N (2) ε/2, so folgt für n > N ε, dass x n x x n x knε+ + x knε+ x < 2 ε + 2 ε = ε. N derart, Den ersten Term kann man abschätzen, weil n > N () ε/2 und k N ε+ N ε + > N () ε/2 ; den zweiten Term, weil k Nε+ N ε + > N (2) ε/2. Beweis Theorem 5.9: Cauchy konvergent. Lemma 5.0 zeigt, dass die Cauchy- Folge beschränkt ist, und Lemma 5., dass Sie eine monotone beschränkte Teilfolge hat. Diese Teilfolge hat nach Lemma 5.2 einen Limes x und durch Lemma 5.3 konvergiert dann auch die Cauchy-Folge nach x. Korollar 5.4 Jede Cauchy-Folge in C ist konvergent in C. Jede konvergente Folge in C ist eine Cauchy-Folge in C. Beweis. Man braucht eigentlich nur zu bemerken, dass z Re z + Im z und Re z z und Im z z. Mit Hilfe dieser Ungleichungen zeigt man {z n } n N ist Cauchy {z n } n N ist konvergent { {Re zn } n N ist Cauchy {Im z n } n N ist Cauchy { {Re zn } n N ist konvergent {Im z n } n N ist konvergent

6 November 205 Woche 5, Folgen und Konvergenz Für n > N ε liegen die (komplexen) a n innerhalb einer ε-entfernung von dem Limes. Der Limes wird durch einen roten Punkt dargestellt und das Innere des Kreises ist eine ε-umgebung dieses Limes Rechenregeln Wir bringen hier die wichtigsten Rechenregeln für den Limes. Lemma 5.5 Seien {a n } n=0 und {b n} n=0 (oder C). Dann gilt: konvergente Folgen in R (oder C) und c R. lim ca n = c lim a n ; 2. lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n ; 3. lim (a n b n ) = lim a n a n 4. lim = b n 5. lim a n = lim a n lim b n lim a n ; lim b n ; wenn lim b n 0 ; 6. lim Re (a n ) = Re lim a n und lim Im (a n ) = Im lim a n. Bemerkung 5.5. Zu 4 soll man folgendes bemerken. Wenn lim b n 0, dann gibt es N derart, dass für n > N folgt b n 0. Für diese n ist a n /b n wohldefiniert.

7 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz 26. November Bemerkung Wenn man lim Arg (a n ) und Arg lim a n vergleicht, findet man nicht immer den gleichen Grenzwert. Betrachte a n = i : n ( lim Arg i ) ( ) = lim 2π arctan = 2π, n n ( ( Arg lim i )) = Arg () = 0. n Bemerkung Man kann auch reelle Folgen wie {n} n=0 betrachten. Für eine solche Folge möchte man lim a n = schreiben. Das heißt dann, der Limes existiert nicht (oder existiert nur im uneigentlichen Sinne), und es gibt für jedes M N eine Zahl N M N, so dass a n > M wenn n > N M. Ähnlich kann man lim a n = definieren. Die Rechenregeln, die hier oben stehen, gelten im allgemeinen nicht. Es gilt jedoch:. Wenn lim a n = und c > 0, dann lim ca n =. 2. Wenn lim a n = und lim b n =, dann lim (a n + b n ) =. 3. Wenn lim a n = und lim b n = c R, dann lim (a n + b n ) =. 4. Wenn lim a n = und lim b n =, dann lim (a n b n ) =. 5. Wenn lim a n = und lim b n = c R +, dann lim (a n b n ) =. Einen Beweis dieser Behauptungen dürfen Sie sich selber ausdenken. Übrigens, wenn lim a n = und lim b n =, dann kann man so allgemein nichts sagen zu lim (a n + b n ). Auch aus lim a n = und lim b n = 0 kann man noch nichts folgern für lim (a n b n ). Beweis von Lemma 5.5. Nennen wir a = lim a n und b = lim b n.. Sei ε > 0. Dann gibt es N ε/(+ c ) N, so dass a n a < ε/ ( + c ) für n > N ε/(+ c ). Es folgt, dass für n > N ε/(+ c ) ca n ca = c a n a c ε ( + c ) < ε. Man könnte sich fragen, warum wir ε/(+ c ) statt ε/ c verwenden. Eigentlich sollte ε/ c doch reichen? Jein! Für c 0 klappt es, aber den Fall c = 0 müssen wir dann getrennt behandeln, weil da ε/ c nicht definiert ist. 2. Sei ε > 0. Dann müssen wir zeigen, dass es N ε N gibt, so dass gilt (a n + b n ) (a + b) < ε für n > N ε. Weil lim a n = a gilt, gibt es N a ε/2 N, so dass a n a < ε/2 für n > Nε/2 a. Ebenso gibt es Nε/2 b N, so dass b n b < ε/2 für n > Nε/2 b. Setzen wir N ε = max Nε/2 a, N ε/2 b, dann folgt für n > N ε : (a n + b n ) (a + b) a n a + b n b < 2 ε + 2 ε = ε.

8 November 205 Woche 5, Folgen und Konvergenz ( 3. Sei ε > 0. Setze ε = ε und ε 2 b +2 2 = min ). ε, Es gibt N a 2 a +2 ε N so, dass a n a < ε für n > Nε a und Nε b 2 N so, dass b n b < ε 2 für n > Nε b. Für n > N ε = max Nε a, Nε b 2 haben wir bn b < ε 2, also auch b n b n b + b b +, und (a n b n ) (ab) = a n b n ab n + ab n ab a n b n ab n + ab n ab = a n a b n + a b n b ( b + ) a n a + a b n b < ε < ( b + ) 2 b a ε 2 a + 2 ε + ε = ε Sei ε > 0. Nehmen wir ε = min ( ( b ε, ) b und ε 2 2 = min ). 2 ε, b Dann gibt 4 a + 2 es Nε a, Nε b 2 N so, dass a n a < ε für n > Nε a und b n b < ε 2 für n > Nε b 2. Also gilt auch a n a n a + a + a für n > Nε a und b n b b b n b b = b 2 2 für n > Nε b. Damit zeigt sich, dass für n > N ε := max Nε a, Nε b 2 gilt a n a b n b = a n a n b n b + a n b a b a n a n b n b + a n b a b a n b b n b b n + b a n a a + 2 b 2 b b n + b a n a < < a + ε 2 b b ε ε + ε = ε Weil die Dreiecksungleichung impliziert a n a a n a a n a, folgt a n a a n a und wir können zu jedem ε > 0 für die Folge { a n } n=0 das N ε für {a n } n=0 wählen. 6. Weil Re a n Re a a n a folgt die letzte Aussage auf ähnliche Art Das Einschließungslemma. Lemma 5.6 (Einschließungslemma) Wenn {a n } n=0, {b n} n=0 und {c n} n=0 drei reelle Folgen sind, wobei lim a n = l = lim c n und a n b n c n, dann gilt lim b n = l. Bemerkung 5.6. Das Lemma ist auch bekannt als das Lemma der Räuber und Gendarmen. Auf Englisch heißt es das Sandwichlemma. Frage: Wieso diese eigenartigen ε und ε 2? Antwort: Weil es damit klappt. Frage: Wieso klappt es denn mit diesen Zahlen? Antwort: Weil man erst das Ende berechnet und dann im Rückwärtsgang anschaut, was man dazu braucht.

9 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz 26. November Beweis. Sei ε > 0. Dann gibt es N a ε, N c ε N, so dass a n l < ε für n > N a ε und c n l < ε für n > N c ε. Für n > max (N a ε, N c ε ) gilt b n l a n l a n l > ε und b n l c n l c n l < ε, also b n l < ε für n > N b ε := max (N a ε, N c ε ). Beispiel 5.7 Wir wollen lim n 2 2 n bestimmen. Wir setzen a n = n 2 2 n und betrachten a n+ /a n. Es gilt a n+ = (n + ( )2 2 (n+) = + ) 2 a n n 2 2 n n 2 und für n 0 folgt a n+.2 a n Es folgt also, dass a n+ 0.7 a n und a n a n+ und so weiter. Kombinieren wir diese Ungleichungen, so finden wir Für n 0 gilt, dass a n a n+2 (0.7) 2 a n+ (0.7) 3 a n (0.7) n 7 a 0. 0 a n (0.7) n 0 a 0. Weil lim 0 = 0 = lim (0.7) n 0 a 0 gilt, folgt mit dem Einschließungslemma, dass lim n2 2 n = 0. Dies wäre ein Fall von: Potenzen gewinnen von Polynomen. Bei Lemma 6.5 beweisen wir allgemein, dass für k N + n k und s > gilt lim s = 0. n Eine Beweisidee für diese Behauptung findet man schon, wenn man das letzte Beispiel betrachtet. Lemma 5.8 Einige sonstige Standardgrenzwerte. s n Sei s R. Dann gilt lim n! = 0. n! Es gilt lim n = 0. n Beweis. Für die erste Behauptung bemerke man, dass für n > N > s folgendes gilt 0 s n n! s N N N! N +... N n s N N N! n < N N+ N! n. Für die zweite Behauptung bemerke man, dass für n folgt 0 < n! n = n n n n n Das Einschließungslemma liefert das Ergebnis n n n.

10 November 205 Woche 5, Folgen und Konvergenz 5.2 Analytische Fundamente 5.2. Maximum, Minimum, Supremum und Infimum Notation 5.9 Man definiert für a, b R das Maximum beziehungsweise das Minimum wie folgt { { b falls a b, a falls a b, max (a, b) := und min (a, b) := (5.3) a falls a > b, b falls a > b. Für mehr als zwei Termen wird Maximum und Minimum wie folgt definiert. Definition 5.20 Sei A R.. Wenn es a A gibt mit x a für alle x A, dann heißt a das Maximum von A. 2. Wenn es a A gibt mit x a für alle x A, dann heißt a das Minimum von A. Bemerkung Für endlich viele Terme, dass heißt A = {a,..., a n }, kann man das Maximum (und auch das Minimum) iterativ definieren. Für zwei Terme nimmt man (5.3) und man setzt anschließend für n 2: max (a,..., a n, a n+ ) := max (max (a,..., a n ), a n+ ). Wenn A mehr als endlich viele Elemente hat, hat man nicht unbedingt ein Maximum. Zum Beispiel hat A = { n+ ; n N} kein Maximum, denn n+ < und kleiner als n+2 n+2 kann ein Maximum nicht sein, denn für jede Zahl a < gibt es ein n N mit n+ > a. n+2 Auch B = {sin (n) ; n N} hat kein Maximum. Wenn B ein Maximum hätte, dann wäre π eine rationale Zahl. Die Menge C = {cos (n) ; n N} hat jedoch ein Maximum, denn cos (n) cos (0) =. Das Maximum einer Menge muss in der Menge liegen. Allgemeiner ist der folgende Begriff. Definition 5.2 Sei A R.. Das Supremum von A ist definiert durch sup A = die kleinste obere Schranke für A. Wenn A nicht nach oben beschränkt ist, dann setzt man sup A = (also sup A existiert nicht als eine reelle Zahl und nur, wie man sagt, im uneigentlichen Sinne). Wenn A =, dann sup A =. 2. Das Infimum von A ist definiert durch inf A = die größte untere Schranke für A. Beispiel 5.22 Für A = {x Q; x 2 < 2} gilt sup A = 2 und inf A = 2. Für B = { n ; n N+} gilt sup B = und inf B = 0. Bemerkung Wenn also A ein Maximum hat, dann gilt sup A = max A. Eine beschränkte Menge hat nicht unbedingt ein Maximum. Die Vollständigkeit von R impliziert, dass jede beschränkte Menge in R ein Supremum und ein Infimum hat. Bemerkung Übrigens heißt eine Menge A C (oder R) beschränkt, wenn es R R + gibt, so dass für alle a A gilt a < R.

11 5.2 Analytische Fundamente 26. November Limes Superior und Limes Inferior Definition 5.23 Sei {a n } n=0 eine reelle Folge.. Der Limes Superior von {a n } n=0 ist definiert durch lim sup a n = lim sup a k. k n 2. Der Limes Inferior von {a n } n=0 lim inf ist definiert durch a n = lim inf a k. k n Bemerkung Wenn {a n } n=0 nicht nach oben beschränkt ist, sagt man lim sup a n = im uneigentlichen Sinne. Das heißt, lim sup a n existiert nicht als Zahl. Änliches kann man beim Limes inferior finden. Beispiel 5.24 Betrachte die Folge { ( ) n } n+2. Setzt man n+ n N a n = ( ) n n + 2 n + und b n = sup a k, dann werden die Terme wie folgt aufgelistet: n a n b n 2 3 Es folgt, dass b n = n+2 und weil lim = = lim n +2 n+ n { n k n für n gerade, n+ für n ungerade, n +2 n + gilt, folgt lim sup a n = lim b n =. Lemma 5.25 Sei {a n } n=0 eine beschränkte reelle Folge. Dann existiert lim sup a n in R. Beweis. Weil auch {a n } n=k beschränkt ist, existiert sup k n a k. Weil sup k n+ a k sup a k k n ist {b n } n=0 mit b n = sup k n a k eine fallende beschränkte Folge. Eine fallende beschränkte reelle Folge hat einen Grenzwert in R: b = lim b n existiert.

12 November 205 Woche 5, Folgen und Konvergenz Beispiel 5.26 Für {a n } n=0 mit a n = ( )n n n+ gilt lim sup a n = und lim inf a n =. Wir können vermuten, dass auch für {b n } n=0 mit b n = Re ( ( i) 2n ) gilt lim sup b n = und lim inf b n =. - Hier steht eine Skizze von {(n, b n ) ; n N}: Die Notation verführt dazu, mit dem Limes Superior und dem Limes Inferior zu rechnen wie mit dem Limes. Leider ist eine solche Annahme falsch. Einige Regeln, die gelten, stehen im folgenden Lemma. Lemma 5.27 Wenn {a n } n=0 und {b n} n=0 lim inf b n R, dann gilt: reelle Folgen sind mit lim sup a n, lim sup b n,. lim sup 2. lim sup (a n + b n ) lim sup a n + lim sup b n ; (a n + b n ) lim sup a n + lim inf b n Beweis. Die erste Behauptung folgt aus ( und Limesrechnung: die zweite aus sup (a k + b k ) sup k n k n lim ( sup k n und eine ähnliche Limesrechnung. a k + sup l n ) a k + sup b l = lim l n b l ) = sup k n sup k n sup (a k + b k ) sup a k + inf b l k n k n l n a k + lim a k + sup b l l n sup l n b l ; = sup a k + inf b l k n l n Beispiel 5.28 Die Ungleichungen in Lemma 5.27 können strikt sein. Betrachte die Folge {a n } n=0, definiert durch a n = (( ) n ) n und b n = ( ( ) n+ ) n. Die ersten Terme sind wie folgt: Dann hat man a n : 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 4, 0,... b n : 0, 0, 4, 0, 8, 0, 2, 0, 6,... a n + b n : 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6,... = lim sup (a n + b n ) lim sup a n + lim sup b n = = 0. Ein Beispiel, bei dem die zweite Ungleichung strikt ist, darf man selber basteln.

13 5.2 Analytische Fundamente 26. November Häufungswert und Bolzano-Weierstrass Definition 5.29 Sei {a n } n=0 eine Folge. Dann heißt h Häufungswert für diese Folge, wenn es eine Teilfolge {a nk } k=0 gibt mit lim a n k = h. k Statt Häufungswert sagt man auch Häufungspunkt. Theorem 5.30 (Bolzano-Weierstrass) Jede beschränkte Folge in R (in C) hat einen Häufungswert in R (in C). Abbildung 5.2: Skizze zu einer komplexen Folge beschränkt durch M = 8 Beweis. Sei also {a n } n=0 eine beschränkte komplexe Folge. Dann gibt es M R+ so, dass a n < M für alle n N und also auch Re a n < M und Im a n < M. Wenn unendlich viele Zahlen {a n } in dem Quadrat Q 0 = [ M, M] + i [ M, M] = {z C; M Re z M und M Im z M} liegen, dann liegen auch unendlich viele Zahlen {a n } in einem der vier Teilquadrate mit halb so großen Längen. Nenne dieses Teilquadrat, das auch unendlich viele Zahlen {a n } enthält, Q. Es könnte zum Beispiel Q = [0, M] + i [ M, 0] sein. Wir wiederholen diese Aufteilung und finden eine Folge von Quadraten: Q 0 Q Q 2 Q Nehme a n0 = a 0 Q 0. Dann gibt es a n Q mit n > 0, a n2 Q 2 mit n 2 > n, a n3 Q 3 mit n 3 > n 2 usw. Wir bekommen eine Teilfolge {a nk } k= mit a n k Q k. Weil a nk, a nl Q min(k,l) gilt, hat man a nk a nl Re (a nk a nl ) + Im (a nk a nl ) 4M min(k,l). 2

14 November 205 Woche 5, Folgen und Konvergenz So ist die Folge {a nk } k= eine Cauchy-Folge, und Cauchy-Folgen in C sind konvergent. Der Limes, der zu dieser Folge {a nk } k= gehört, ist ein Häufungswert für {a n} n=0. Übrigens hätte man auch Lemma 5. benutzen können: Die Folge {Re (a n )} n=0 ist beschränkt und hat also eine monotone Teilfolge { {Re ( (a nk )} )} k=0. Die Folge {Im (a n k )} k=0 ist beschränkt und hat eine monotone Teilfolge Im a nkl Wegen Lemma 5.2 konvergiert Im a nkl in R und auch Re a nkl als Teilfolge einer konvergente { } { } l=0. l=0 { } l=0 Folge in R. Dann konvergiert a nkl in C. l=0 { ( Beispiel 5.3 Die Folge + i 3 ) } n hat 6 Häufungspunkte, nämlich 2 2 n N {,, i 3, i 3, 2 2 i 3, 2 } 2 i 3. Beispiel 5.32 Die Folge {sin (n)} n N hat als Häufungspunkte Dies zu beweisen ist jedoch nicht einfach. [, ] = {x R; x }. Lemma 5.33 Sei {a n } n=0 eine reelle Folge. Dann ist lim sup a n, wenn er existiert in R, der größte Häufungswert und lim inf a n, wenn er existiert in R, der kleinste Häufungswert von {a n } n=0. Beweis. Selber machen.