10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit

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1 10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit

2 Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2 3,... ist 2 das erste Folgenglied, 3 ist das zweite Folgenglied usw.

3 Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2 3,... ist 2 das erste Folgenglied, 3 ist das zweite Folgenglied usw. Allgemein schreiben wir (a n ) n Æ = (a n ) = (a 1, a 2, a 3,...), a n Ê, wobei a 1 das erste Folgenglied ist, a 2 ist das zweite Folgenglied, und a n, n Æ, ist das n-te Folgenglied.

4 Beispiele von Zahlenfolgen a n = 1 oder (a n ) = (1, 1, 1,...) (=konstante Folge).

5 Beispiele von Zahlenfolgen a n = 1 oder (a n ) = (1, 1, 1,...) (=konstante Folge). a n = ( 1) n oder (a n ) = ( 1, 1, 1, 1,...) (=alternierende Folge)

6 Beispiele von Zahlenfolgen a n = 1 oder (a n ) = (1, 1, 1,...) (=konstante Folge). a n = ( 1) n oder (a n ) = ( 1, 1, 1, 1,...) (=alternierende Folge) (a n ) = (3, 3, 1, 3, 14, 3, 141,...)

7 Beschränkte Folgen Eine Folge (a n ) n Æ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit a n M für alle n Æ.

8 Beschränkte Folgen Eine Folge (a n ) n Æ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit a n M für alle n Æ. Alternativ: Die Menge {a 1, a 2,...} ist beschränkt.

9 Beschränkte Folgen Eine Folge (a n ) n Æ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit a n M für alle n Æ. Alternativ: Die Menge {a 1, a 2,...} ist beschränkt. Beachte: Endliche Mengen sind beschränkt. Zahlenfolgen, in denen nur endlich viele Werte vorkommen, sind daher ebenfalls beschränkt.

10 Konvergente Folgen Eine Folge (a n ) konvergiert gegen ein a Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein N Æ gibt mit a n a < ε für alle n N.

11 Konvergente Folgen Eine Folge (a n ) konvergiert gegen ein a Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein N Æ gibt mit a n a < ε für alle n N. a+ε a a-ε N n Ab einem Index N liegen alle Folgenglieder im Schlauch {x : x a < ε}.

12 Schreibweisen Konvergiert die Folge (a n ) gegen a Ê, so schreiben wir a n a für n oder lim n a n = a. Das n läßt man oft auch weg.

13 Schreibweisen Konvergiert die Folge (a n ) gegen a Ê, so schreiben wir a n a für n oder lim n a n = a. Das n läßt man oft auch weg. Wie formuliert man a n a?

14 Schreibweisen Konvergiert die Folge (a n ) gegen a Ê, so schreiben wir a n a für n oder lim n a n = a. Das n läßt man oft auch weg. Wie formuliert man a n a? Es gibt ein ε > 0 mit: Zu jedem N Æ gibt es ein n N mit a n a ε.

15 Beispiele zur Konvergenz 1. Die konstante Folge a n = 1 konvergiert gegen a = 1 wegen a n a = 1 1 = 0 < ε n Æ.

16 Beispiele zur Konvergenz 1. Die konstante Folge a n = 1 konvergiert gegen a = 1 wegen a n a = 1 1 = 0 < ε n Æ. 2. Die Folge a n = 1 n konvergiert gegen a = 0. Zu jedem ε > 0 gibt es ein N Æ mit 1 N < ε. Für n N gilt daher a n a = 1 n 1 N < ε.

17 Beispiele zur Konvergenz 1. Die konstante Folge a n = 1 konvergiert gegen a = 1 wegen a n a = 1 1 = 0 < ε n Æ. 2. Die Folge a n = 1 n konvergiert gegen a = 0. Zu jedem ε > 0 gibt es ein N Æ mit 1 N < ε. Für n N gilt daher a n a = 1 n 1 N < ε. Klar, n α 0 für α < 0 zeigt man genauso.

18 Beispiele zur Konvergenz 3. Die alternierende Folge a n = ( 1) n konvergiert nicht. Wir wählen ε = 1 2.

19 Beispiele zur Konvergenz 3. Die alternierende Folge a n = ( 1) n konvergiert nicht. Wir wählen ε = 1 2. a+1/2 a a-1/2 n Gleichgültig, welches a Ê wir wählen, es liegen immer unendlich viele Folgenglieder außerhalb des Schlauchs.

20 Beispiele zur Konvergenz 4. Sei a n der n te Abschnitt in der Dezimaldarstellung von π, also a 1 = 3, 1, a 2 = 3, 14, a 3 = 3, 141, a 4 = 3, 1415,.... Dann gilt π a n 0, }{{} = 10 n+1. n-mal

21 Beispiele zur Konvergenz 4. Sei a n der n te Abschnitt in der Dezimaldarstellung von π, also a 1 = 3, 1, a 2 = 3, 14, a 3 = 3, 141, a 4 = 3, 1415,.... Dann gilt π a n 0, }{{} = 10 n+1. n-mal Zu ε > 0 gibt es ein N mit 10 N+1 < ε. Für n N gilt dann π a n 10 n+1 10 N+1 < ε.

22 Beispiele zur Konvergenz 5. Für a n = q n mit q < 1 gilt a n 0.

23 Beispiele zur Konvergenz 5. Für a n = q n mit q < 1 gilt a n 0. Für ε > 0 folgt aus der binomischen Formel (1 + ε) n = 1 + nε ε n 1 + nε.

24 Beispiele zur Konvergenz 5. Für a n = q n mit q < 1 gilt a n 0. Für ε > 0 folgt aus der binomischen Formel (1 + ε) n = 1 + nε ε n 1 + nε. Damit gilt für 0 < q < 1 mit q = (1 + ε) 1 q n = q n = (1 + ε) n 0.

25 Beispiele zur Konvergenz 6. Für a n = n n gilt a n 1.

26 Beispiele zur Konvergenz 6. Für a n = n n gilt a n 1. Wir setzen x n = n n 1 0 und erhalten aus der binomischen Formel ( n ) n = (1 + x n ) n x 2 (n 1)n n = x n.

27 Beispiele zur Konvergenz 6. Für a n = n n gilt a n 1. Wir setzen x n = n n 1 0 und erhalten aus der binomischen Formel ( n ) n = (1 + x n ) n x 2 (n 1)n n = x n. 2 Hieraus folgt 0 x n n 1 0. Demnach gilt für beliebiges α n n α = ( n n) α 1.

28 Alternative Definitionen der Konvergenz Wir sagen, eine Eigenschaft trifft auf fast alle n zu, wenn sie für alle n bis auf endlich viele zutrifft. Dann gilt: a n a Für alle ε > 0 gilt a n a < ε für fast alle n.

29 Alternative Definitionen der Konvergenz Wir sagen, eine Eigenschaft trifft auf fast alle n zu, wenn sie für alle n bis auf endlich viele zutrifft. Dann gilt: a n a Für alle ε > 0 gilt a n a < ε für fast alle n. Beweis: : In der Definition der Konvergenz trifft a n a < ε auf alle n N zu, das sind fast alle.

30 Alternative Definitionen der Konvergenz Wir sagen, eine Eigenschaft trifft auf fast alle n zu, wenn sie für alle n bis auf endlich viele zutrifft. Dann gilt: a n a Für alle ε > 0 gilt a n a < ε für fast alle n. Beweis: : In der Definition der Konvergenz trifft a n a < ε auf alle n N zu, das sind fast alle. Trifft es für fast alle n zu, gibt es ein maximales N 0, auf die es nicht zutrifft (endliche Menge!). Damit gilt a n a < ε für alle n N = N

31 Alternative Definitionen der Konvergenz Für a Ê und ε > 0 heißt U ε (a) = {x Ê : a ε < x < a + ε} = (a ε, a + ε) ε-umgebung von a. Es gilt:

32 Alternative Definitionen der Konvergenz Für a Ê und ε > 0 heißt U ε (a) = {x Ê : a ε < x < a + ε} = (a ε, a + ε) ε-umgebung von a. Es gilt: a n a Für alle ε > 0 gilt a n U ε (a) für fast alle n.

33 Alternative Definitionen der Konvergenz Für a Ê und ε > 0 heißt U ε (a) = {x Ê : a ε < x < a + ε} = (a ε, a + ε) ε-umgebung von a. Es gilt: a n a Für alle ε > 0 gilt a n U ε (a) für fast alle n. a n U ε (a) bedeutet ja a n a < ε.

34 Beschränktheit konvergenter Folgen Satz Konvergente Folgen sind beschränkt.

35 Beschränktheit konvergenter Folgen Satz Konvergente Folgen sind beschränkt. Beweis: Sei a n a. In der Definition der Konvergenz wähle ε = 1, a n a < 1 für alle n mit n N

36 Beschränktheit konvergenter Folgen Satz Konvergente Folgen sind beschränkt. Beweis: Sei a n a. In der Definition der Konvergenz wähle ε = 1, a n a < 1 für alle n mit n N Für n N folgt aus der Dreiecksungleichung a n = a n a + a a n a + a 1 + a.

37 Beschränktheit konvergenter Folgen Satz Konvergente Folgen sind beschränkt. Beweis: Sei a n a. In der Definition der Konvergenz wähle ε = 1, a n a < 1 für alle n mit n N Für n N folgt aus der Dreiecksungleichung a n = a n a + a a n a + a 1 + a. Die n < N sind nur endlich viele. Unsere Schranke M ist daher M = max { a 1, a 2,..., a N 1, 1 + a }.

38 Konvergenz und algebraische Operationen Satz Mit a n a und b n b ist auch αa n αa, a n ± b n a ± b, a n b n ab. Ist b n, b 0, so gilt a n /b n a/b.

39 Konvergenz und algebraische Operationen Satz Mit a n a und b n b ist auch αa n αa, a n ± b n a ± b, a n b n ab. Ist b n, b 0, so gilt a n /b n a/b. Beweis: nur a n b n ab. Mit der Dreiecksungleichung folgt a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a.

40 Konvergenz und algebraische Operationen Satz Mit a n a und b n b ist auch αa n αa, a n ± b n a ± b, a n b n ab. Ist b n, b 0, so gilt a n /b n a/b. Beweis: nur a n b n ab. Mit der Dreiecksungleichung folgt a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a. Da (a n ) konvergent, gilt a n M. Für n N = max{n a, N b } folgt a n b n ab Mε + b ε.

41 Beispiele 1. a n = n2 + n + 1 n 2 + 2n = n + 1 n n Wie bereits gesehen, gilt 1/n, 1/n 2 0. Nach dem letzten Satz daher a n 1.

42 Beispiele 1. a n = n2 + n + 1 n 2 + 2n = n + 1 n n Wie bereits gesehen, gilt 1/n, 1/n 2 0. Nach dem letzten Satz daher a n a n = n + 1 n

43 Beispiele 1. a n = n2 + n + 1 n 2 + 2n = n + 1 n n Wie bereits gesehen, gilt 1/n, 1/n 2 0. Nach dem letzten Satz daher a n a n = n + 1 n = ( n + 1 n )( n n ) n n = 1 n n 0.

44 Monotone Folgen und Konvergenz Eine Folge (a n ) heißt monoton steigend, wenn a n a n+1 für alle n Æ. Monoton fallend ist dann klar.

45 Monotone Folgen und Konvergenz Eine Folge (a n ) heißt monoton steigend, wenn a n a n+1 für alle n Æ. Monoton fallend ist dann klar. Satz Eine nach oben beschränkte, monoton steigende Folge ist konvergent.

46 Monotone Folgen und Konvergenz Eine Folge (a n ) heißt monoton steigend, wenn a n a n+1 für alle n Æ. Monoton fallend ist dann klar. Satz Eine nach oben beschränkte, monoton steigende Folge ist konvergent. Es existiert a = sup{a n : n Æ} (=kleinste obere Schranke). Dies ist die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Zeige a n a.

47 Monotone Folgen und Konvergenz Eine Folge (a n ) heißt monoton steigend, wenn a n a n+1 für alle n Æ. Monoton fallend ist dann klar. Satz Eine nach oben beschränkte, monoton steigende Folge ist konvergent. Es existiert a = sup{a n : n Æ} (=kleinste obere Schranke). Dies ist die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Zeige a n a. Sei ε > 0. Aufgrund der Definition des Supremums gibt es ein N mit a ε < a N a Da (a n ) monoton wachsend, gilt für n N a ε < a N a n a a a n < ε.

48 Cauchy-Folgen (a n ) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein N Æ gibt mit a m a n < ε für alle m, n N.

49 Cauchy-Folgen (a n ) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein N Æ gibt mit a m a n < ε für alle m, n N. Satz (a n ) konvergent (a n ) ist Cauchy-Folge.

50 Cauchy-Folgen (a n ) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein N Æ gibt mit a m a n < ε für alle m, n N. Satz (a n ) konvergent (a n ) ist Cauchy-Folge. Beweis von : Es gilt a m a < ε für alle m N. Für m, n N gilt dann mit der Dreiecksungleichung a m a n = a m a + a a n a m a + a n a < 2ε.

51 Cauchy-Folgen (a n ) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein N Æ gibt mit a m a n < ε für alle m, n N. Satz (a n ) konvergent (a n ) ist Cauchy-Folge. Beweis von : Es gilt a m a < ε für alle m N. Für m, n N gilt dann mit der Dreiecksungleichung a m a n = a m a + a a n a m a + a n a < 2ε. Die andere Richtung ist äquivalent zur Vollständigkeit der reellen Zahlen.

52 Konvergenz von Reihen Einer unendlichen Reihe i=1 a i ordnen wir die Folge der Partialsummen zu n s n = a i. i=1 Die Reihe heißt konvergent, wenn (s n ) konvergiert und wir schreiben dann a i = lim s n. n i=1

53 Absolute Konvergenz von Reihen a i heißt absolut konvergent i=1 a i ist konvergent. i=1

54 Absolute Konvergenz von Reihen a i heißt absolut konvergent i=1 a i ist konvergent. i=1 Absolut konvergente Reihen dürfen beliebig umgeordnet werden, ohne dass sich der Grenzwert der Reihe ändert.

55 Die geometrische Reihe Sei q Ê. Für s n = n i=0 qi gilt n+1 qs n = q i = s n 1 + q n+1 s n = 1 qn+1 1 q i=1 für q 1.

56 Die geometrische Reihe Sei q Ê. Für s n = n i=0 qi gilt n+1 qs n = q i = s n 1 + q n+1 s n = 1 qn+1 1 q i=1 für q 1. Wir hatten bereits gesehen, dass q n 0 für q < 1. Damit ist die unendliche geometrische Reihe absolut konvergent mit i=0 q i = 1 1 q.

57 Die geometrische Reihe Sei q Ê. Für s n = n i=0 qi gilt n+1 qs n = q i = s n 1 + q n+1 s n = 1 qn+1 1 q i=1 für q 1. Wir hatten bereits gesehen, dass q n 0 für q < 1. Damit ist die unendliche geometrische Reihe absolut konvergent mit i=0 q i = 1 1 q. Beispiel: 9, 9 = 9 i= i = 9 1 1/10 = 10.

58 Ein wichtiger Reihen-Typ ist n=1 1 n α = { divergent für 0 α 1 konvergent für α > 1.

59 Ein wichtiger Reihen-Typ ist n=1 { 1 divergent für 0 α 1 n α = konvergent für α > 1. Beweis am einfachsten mit der Integralvergleichsmethode (dazu braucht man die Integralrechnung).

60 Ein wichtiger Reihen-Typ ist n=1 { 1 divergent für 0 α 1 n α = konvergent für α > 1. Beweis am einfachsten mit der Integralvergleichsmethode (dazu braucht man die Integralrechnung). Wichtiger Spezialfall ist die divergente harmonische Reihe n=1 1 n.

61 Cauchy-Kriterium für Reihen Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Letzteres ist äquivalent dazu, dass die Partialsummen eine Cauchy-Folge bilden. Für die Reihe bedeutet dies:

62 Cauchy-Kriterium für Reihen Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Letzteres ist äquivalent dazu, dass die Partialsummen eine Cauchy-Folge bilden. Für die Reihe bedeutet dies: a i konvergent i=1 Für alle ε > 0 existiert N mit n a i < ε für alle n > m N. i=m

63 Cauchy-Kriterium für Reihen Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Letzteres ist äquivalent dazu, dass die Partialsummen eine Cauchy-Folge bilden. Für die Reihe bedeutet dies: a i konvergent i=1 Für alle ε > 0 existiert N mit n a i < ε für alle n > m N. i=m Mit n = m + 1 folgt: (a m ) muss Nullfolge sein.

64 Majoranten- und Minorantenkriterium Majorantenkriterium: Ist a i c i und i c i konvergent, so ist die Reihe i a i absolut konvergent. Beweis: Das Cauchy-Kriterium für Reihen ist in diesem Fall erfüllt n n n a i a i c i < ε für alle n > m N. i=m i=m i=m

65 Majoranten- und Minorantenkriterium Majorantenkriterium: Ist a i c i und i c i konvergent, so ist die Reihe i a i absolut konvergent. Beweis: Das Cauchy-Kriterium für Reihen ist in diesem Fall erfüllt n n n a i a i c i < ε für alle n > m N. i=m i=m i=m Minorantenkriterium: Ist a i c i 0 und i c i divergent, so ist auch i a i divergent.

66 Wurzelkriterium Seien a n Ê und q = lim sup n n an. Ist q < 1, so konvergieren die Reihen n a n und n a n.

67 Wurzelkriterium Seien a n Ê und q = lim sup n n an. Ist q < 1, so konvergieren die Reihen n a n und n a n. Ist q > 1, so divergiert die Reihe n a n.

68 Wurzelkriterium Seien a n Ê und q = lim sup n n an. Ist q < 1, so konvergieren die Reihen n a n und n a n. Ist q > 1, so divergiert die Reihe n a n. lim sup ist der größte Häufungspunkt. Ist q < 1, so ist erfüllt mit einem p < 1. a n p n für alle n N

69 Wurzelkriterium Seien a n Ê und q = lim sup n n an. Ist q < 1, so konvergieren die Reihen n a n und n a n. Ist q > 1, so divergiert die Reihe n a n. lim sup ist der größte Häufungspunkt. Ist q < 1, so ist erfüllt mit einem p < 1. a n p n für alle n N Das Wurzelkriterium ist also nichts weiter als das Majorantenkriterium mit der geometrischen Reihe als Majorante.

70 Probleme beim Wurzelkriterium Wenn q = 1, so ist keine Aussage möglich. Das Wurzelkriterium ist daher ein grober Klotz.

71 Probleme beim Wurzelkriterium Wenn q = 1, so ist keine Aussage möglich. Das Wurzelkriterium ist daher ein grober Klotz. Bei z.b. n=1 1 nα, α 0, ist q = 1. Das Wurzelkriterium kann also nicht unterscheiden zwischen dem konvergenten Fall α > 1 und dem divergenten α 1.

72 Quotientenkriterium 1. Falls lim sup n a n+1 a n < 1, so konvergieren die Reihen n a n und n a n.

73 Quotientenkriterium 1. Falls lim sup n a n+1 a n < 1, so konvergieren die Reihen n a n und n a n. 2. Falls es ein N Æ gibt, so dass a n+1 a n 1 für alle n N, so divergiert die Reihe n a n.

74 Quotientenkriterium 1. Falls lim sup n a n+1 a n < 1, so konvergieren die Reihen n a n und n a n. 2. Falls es ein N Æ gibt, so dass a n+1 a n 1 für alle n N, so divergiert die Reihe n a n. Auch hier steht die geometrische Reihe Pate. Bei 1. gilt a n+1 p a n für alle n N mit einem 0 p < 1, d.h. a N+k p k a N n=n a n 1 1 p a N.

75 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen n a n heißt alternierend, wenn a n a n+1 0 für alle n Æ.

76 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen n a n heißt alternierend, wenn a n a n+1 0 für alle n Æ. Satz Ist a n 0 monoton fallend und die Reihe n a n alternierend, so ist die Reihe n a n konvergent.

77 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen n a n heißt alternierend, wenn a n a n+1 0 für alle n Æ. Satz Ist a n 0 monoton fallend und die Reihe n a n alternierend, so ist die Reihe n a n konvergent. Beispiel: n ( 1)n /n ist damit konvergent, n 1/n aber nicht.

78 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen n a n heißt alternierend, wenn a n a n+1 0 für alle n Æ. Satz Ist a n 0 monoton fallend und die Reihe n a n alternierend, so ist die Reihe n a n konvergent. Beispiel: n ( 1)n /n ist damit konvergent, n 1/n aber nicht. Reihen sind ein beliebtes Klausurthema!

79 Übung zu Reihen Sei a n 0 monoton fallende Nullfolge. Beweisen oder widerlegen Sie:

80 Übung zu Reihen Sei a n 0 monoton fallende Nullfolge. Beweisen oder widerlegen Sie: Ist n=1 a n konvergent, so lim n na n = 0.

81 Übung zu Reihen Sei a n 0 monoton fallende Nullfolge. Beweisen oder widerlegen Sie: Ist n=1 a n konvergent, so lim n na n = 0. Solche relativ schwierigen Aufgaben gibt es zu Hauf! Die Aussage ist richtig.

82 Übung zu Reihen Sei a n 0 monoton fallende Nullfolge. Beweisen oder widerlegen Sie: Ist n=1 a n konvergent, so lim n na n = 0. Solche relativ schwierigen Aufgaben gibt es zu Hauf! Die Aussage ist richtig. a 2 k a 2 k+1 1 2k a 2 k+1 a n n=1 2 k a 2 k+1 k=1 Damit 1 2 na n 0 für n = 2 k. Für n zwischen 2 k und 2 k+1 verwenden wir die Abschätzung na n 2 k+1 a 2 k = 22 k a 2 k.

83 Tipps Wenn es heißt: Bestimmen Sie gegebenenfalls den Reihenwert, dann ist Feiertag, weil es im Wesentlichen nur 2 Möglichkeiten gibt:

84 Tipps Wenn es heißt: Bestimmen Sie gegebenenfalls den Reihenwert, dann ist Feiertag, weil es im Wesentlichen nur 2 Möglichkeiten gibt: 1. Die geometrische Reihe (manchmal in versteckter Form), z.b n=0 ( 1) n (1 + x 2 ) 2n xn.

85 Tipps Wenn es heißt: Bestimmen Sie gegebenenfalls den Reihenwert, dann ist Feiertag, weil es im Wesentlichen nur 2 Möglichkeiten gibt: 1. Die geometrische Reihe (manchmal in versteckter Form), z.b n=0 ( 1) n (1 + x 2 ) 2n xn. Vorsicht: Dies ist keine Potenzreihe, weil der Koeffizient von x abhängt, aber eine geometrische Reihe mit x q = (1 + x 2 ) 2. Man braucht nur zu bestimmen, für welche x q(x) < 1 erfüllt ist (hier: für alle x Ê).

86 Tipps 2. Eine Teleskop-Reihe ist z.b n=2 1 n 2 n = ( 1 n 1 1 ) = 1. n n=2

87 Stetigkeit Sei D Ê und f : D Ê. f heißt stetig in x D, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit f (y) f (x) < ε für alle y x < δ.

88 Stetigkeit Sei D Ê und f : D Ê. f heißt stetig in x D, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit f (y) f (x) < ε für alle y x < δ. f(x)+ε f(x) f(x)-ε x-δ x x+δ x

89 Stetigkeit Anschaulich bedeutet die Stetigkeit im Punkt x D: Man kann den Abstand zwischen f (y) und f (x) beliebig klein machen, indem man den Abstand zwischen y und x genügend klein wählt.

90 Stetigkeit Anschaulich bedeutet die Stetigkeit im Punkt x D: Man kann den Abstand zwischen f (y) und f (x) beliebig klein machen, indem man den Abstand zwischen y und x genügend klein wählt. f ist genau dann stetig in x, wenn lim f (x n) = f (x) n für alle Folgen (x n ) in D mit lim x n = x.

91 Stetigkeit Anschaulich bedeutet die Stetigkeit im Punkt x D: Man kann den Abstand zwischen f (y) und f (x) beliebig klein machen, indem man den Abstand zwischen y und x genügend klein wählt. f ist genau dann stetig in x, wenn lim f (x n) = f (x) n für alle Folgen (x n ) in D mit lim x n = x. Stetige Funktionen sind die konvergenzerhaltenden Funktionen. Die Konvergenz ist der Begriff, der die Analysis definiert. Deshalb ist die Stetigkeit so wichtig.

92 Äquivalenz der Stetigkeitsbegiffe Sei f stetig in x und x n x in D. Zeige f (x n ) f (x).

93 Äquivalenz der Stetigkeitsbegiffe Sei f stetig in x und x n x in D. Zeige f (x n ) f (x). Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, mit y x < δ f (y) f (x) < ε.

94 Äquivalenz der Stetigkeitsbegiffe Sei f stetig in x und x n x in D. Zeige f (x n ) f (x). Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, mit y x < δ f (y) f (x) < ε. Zu δ > 0 gibt es ein N Æ mit x n x < δ für alle n N.

95 Äquivalenz der Stetigkeitsbegiffe Sei f stetig in x und x n x in D. Zeige f (x n ) f (x). Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, mit y x < δ f (y) f (x) < ε. Zu δ > 0 gibt es ein N Æ mit x n x < δ für alle n N. Für diese x n gilt f (x n ) f (x) < ε.

96 Äquivalenz der Stetigkeitsbegiffe Umgekehrt: Sei f (x n ) f (x) für alle Folgen mit x n x in D. Zeige, dass f stetig in x ist.

97 Äquivalenz der Stetigkeitsbegiffe Umgekehrt: Sei f (x n ) f (x) für alle Folgen mit x n x in D. Zeige, dass f stetig in x ist. Für einen indirekten Beweis müssen wir die Stetigkeit verneinen. Schwer!

98 Äquivalenz der Stetigkeitsbegiffe Umgekehrt: Sei f (x n ) f (x) für alle Folgen mit x n x in D. Zeige, dass f stetig in x ist. Für einen indirekten Beweis müssen wir die Stetigkeit verneinen. Schwer! Es existiert ε > 0 mit: Für alle δ > 0 existiert y D mit y x < δ und f (y) f (x) ε.

99 Äquivalenz der Stetigkeitsbegiffe Umgekehrt: Sei f (x n ) f (x) für alle Folgen mit x n x in D. Zeige, dass f stetig in x ist. Für einen indirekten Beweis müssen wir die Stetigkeit verneinen. Schwer! Es existiert ε > 0 mit: Für alle δ > 0 existiert y D mit y x < δ und f (y) f (x) ε. Hier wählen wir speziell δ = 1 n. Wir erhalten ein y n mit y n x < 1 n. Also gilt y n x, aber f (y n ) f (x).

100 Stetigkeit f : D Ê heißt stetig (in D), wenn es in jedem x D stetig ist.

101 Stetigkeit f : D Ê heißt stetig (in D), wenn es in jedem x D stetig ist. Beispiele: 1. x ist kein Häufungspunkt von D. Dann ist jedes f stetig in x. Denn jede Folge in D mit x n x stimmt ab einem Index mit x überein. Daher f (x n ) f (x).

102 Stetigkeit f : D Ê heißt stetig (in D), wenn es in jedem x D stetig ist. Beispiele: 1. x ist kein Häufungspunkt von D. Dann ist jedes f stetig in x. Denn jede Folge in D mit x n x stimmt ab einem Index mit x überein. Daher f (x n ) f (x). 2. f (x) = 1 und f (x) = x sind in allen Punkten von D stetig.

103 Stetigkeit f : D Ê heißt stetig (in D), wenn es in jedem x D stetig ist. Beispiele: 1. x ist kein Häufungspunkt von D. Dann ist jedes f stetig in x. Denn jede Folge in D mit x n x stimmt ab einem Index mit x überein. Daher f (x n ) f (x). 2. f (x) = 1 und f (x) = x sind in allen Punkten von D stetig. 3. Summe, Produkt, Quotient (sofern Nenner 0) stetiger Funktionen sind stetig. Dies folgt aus den entsprechenden Gesetzen über Zahlenfolgen:

104 Stetigkeit f : D Ê heißt stetig (in D), wenn es in jedem x D stetig ist. Beispiele: 1. x ist kein Häufungspunkt von D. Dann ist jedes f stetig in x. Denn jede Folge in D mit x n x stimmt ab einem Index mit x überein. Daher f (x n ) f (x). 2. f (x) = 1 und f (x) = x sind in allen Punkten von D stetig. 3. Summe, Produkt, Quotient (sofern Nenner 0) stetiger Funktionen sind stetig. Dies folgt aus den entsprechenden Gesetzen über Zahlenfolgen: Ist x n x mit f (x n ) f (x) und g(x n ) g(x), so usw. f (x) ± g(x) f (x) ± g(x)

105 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen f n : D Ê heißt (punktweise) konvergent gegen f : D Ê, wenn f n (x) f (x) für alle x D. Nichts Neues im Vergleich zur Konvergenz von Zahlenfolgen!

106 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen f n : D Ê heißt (punktweise) konvergent gegen f : D Ê, wenn f n (x) f (x) für alle x D. Nichts Neues im Vergleich zur Konvergenz von Zahlenfolgen! f n f gleichmäßig, wenn es zu jedem ε > 0 ein N Æ gibt mit f n (x) f (x) < ε für alle x D und n N.

107 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen f n : D Ê heißt (punktweise) konvergent gegen f : D Ê, wenn f n (x) f (x) für alle x D. Nichts Neues im Vergleich zur Konvergenz von Zahlenfolgen! f n f gleichmäßig, wenn es zu jedem ε > 0 ein N Æ gibt mit f n (x) f (x) < ε für alle x D und n N. Anschaulich: Für fast alle Folgenglieder müssen die f n in einem ε-schlauch um die Funkton f liegen, wobei dieser ε-schlauch beliebig klein gewählt werden kann.

108 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig.

109 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig. Sind die Funktionen f n stetig, die Grenzfunktion f aber nicht, so kann keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen.

110 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig. Sind die Funktionen f n stetig, die Grenzfunktion f aber nicht, so kann keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen. Beispiel: Für f n = x n in D = [0, 1] gilt lim f n (x) = 0 für 0 x < 1, lim f n (1) = 1. Die Konvergenz kann daher nicht gleichmäßig sein.

111 5 Differenzierbarkeit Für eine Funktion f, die bis auf einen Punkt ξ I auf dem Intervall I definiert ist, setzen wir lim f (x) = a x ξ Für alle Folgen (x n ) mit x n ξ und x n ξ gilt f (x n ) a.

112 Differenzierbarkeit s s(t ) - s(t ) 2 1 t t - t t t Die geradlinige Bewegung eines Massepunktes wird beschrieben durch eine Funktion s(t), wobei t die Zeit und s(t) den zurückgelegten Weg des Massepunktes bezeichnet.

113 Differenzierbarkeit s s(t ) - s(t ) 2 1 t t - t t t Sind t 1, t 2 zwei Zeitpunkte, so ist s(t 2 ) s(t 1 ) der im Zeitraum t 2 t 1 zurückgelegte Weg und damit s(t 2 ) s(t 1 ) t 2 t 1 die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum (t 1, t 2 )

114 Differenzenquotient und Steigung B A x f ξ x x Für eine Funktion f heißt Differenzenquotient. m = f x = f (x) f (ξ) x ξ

115 Differenzenquotient und Steigung B A x f ξ x x Der Differenzenquotient gibt die Steigung m der Sekante durch die Punkte A und B an.

116 Differenzenquotient und Steigung B A x f ξ x x Der Differenzenquotient gibt die Steigung m der Sekante durch die Punkte A und B an. Wandert x nach links zum Punkt ξ, so läuft B nach A und die Sekante geht in die Tangente im Punkt A über.

117 Differenzierbarkeit Sei f in einer Umgebung von ξ Ê definiert. f heißt in ξ differenzierbar, wenn der Grenzwert f (ξ) = existiert. df (ξ) dx f (x) f (ξ) f (ξ + h) f (ξ) = lim = lim x ξ x ξ h 0 h

118 Differenzierbarkeit Sei f in einer Umgebung von ξ Ê definiert. f heißt in ξ differenzierbar, wenn der Grenzwert f (ξ) = df (ξ) dx f (x) f (ξ) f (ξ + h) f (ξ) = lim = lim x ξ x ξ h 0 h existiert. f (ξ) heißt Ableitung von f in ξ. Geometrisch gibt f (ξ) die Steigung der Tangenten im Punkt (ξ, f (ξ)) an.

119 Beispiel s s(t ) - s(t ) 2 1 t t - t t t Führen wir den Grenzübergang t 2 t 1 durch, so erhalten wir die Interpretation der Ableitung als Momentangeschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers.

120 Beispiel Für f (x) = ax + b erhalten wir f a(ξ + h) + b (aξ + b) (ξ) = lim = a. h 0 h

121 Differenzierbare Funktionen sind stetig Für x n ξ gilt f (x n ) f (ξ) x n ξ f (ξ) f (x n ) f (ξ) 0.

122 Differenzierbare Funktionen Satz Sind die Funktionen f, g in ξ differenzierbar, so sind für α, β Ê auch die Funktionen αf + βg sowie fg und, falls g(ξ) 0, f /g in ξ differenzierbar.

123 Differenzierbare Funktionen Satz Sind die Funktionen f, g in ξ differenzierbar, so sind für α, β Ê auch die Funktionen αf + βg sowie fg und, falls g(ξ) 0, f /g in ξ differenzierbar. Für diese Ableitungen gilt (αf + βg) (ξ) = αf (ξ) + βg (ξ), (fg) (ξ) = f (ξ)g(ξ) + f (ξ)g (ξ) ( ) f (ξ) = f (ξ)g(ξ) f (ξ)g (ξ) g g 2 (ξ) (Linearität), (Produktregel), (Quotientenregel).

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