x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert

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1 4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K gegen s konvergiert. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k 0. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied. 4.2 Satz. Es seien x k x und y k y konvergent. Dann folgt (x k + y k ) x + y und (cx k ) cx für c K. Die konvergenten Reihen bilden also einen Vektorraum. Beweis. Folgt sofort aus Cauchy-Kriterium. In K ist eine Folge genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Daher gilt x k konvergiert Def. 3.2 Partialsummenfolge konvergiert Partialsummenfolge ist Cauchy-Folge; mit anderen Worten: M ε > 0 n 0 : x k < ε N, M n 0 kn 4.4 Satz. Die Glieder einer konvergenten Reihe bilden eine Nullfolge: Ist n x k konvergent in K, so gilt x k 0. (Die Umkehrung gilt nicht; siehe 4.8.) Beweis. Die Partialsummenfolge (s n ) ist eine Cauchy-Folge nach 3.6. Daraus folgt, dass zu ε > 0 ein n 0 existiert mit s n s m < ε n, m n 0 x n s n s n < ε n > n Definition. Eine Reihe x k heißt absolut konvergent, falls x k konvergiert. 4.6 Satz. Absolut konvergente Reihen sind konvergent. Aber: konvergent absolut konvergent ( alternierende harmonische Reihe)! 20

2 Beweis. Wende Cauchy-Kriterium 4.3 an: M M x k x k. kn kn 4.7 Bemerkung. Für Fragen der (absoluten) Konvergenz spielen alle Veränderungen, die an lediglich endlich vielen Gliedern vorgenommen werden keine Rolle (für den Wert schon). Wenn man endlich viele Glieder einer konvergenten Reihe umordnet, ändert sich der Wert der Reihe nicht. 4.8 Beispiele. ( )k ist nicht konvergent, da (( ) k ) keine Nullfolge ist. (Harmonische Reihe) k ist nicht konvergent, obwohl ( k ) eine Nullfolge ist! Wir betrachten die Partialsummen s s (d) s > > 4 s > Mit Induktion: s 2 k + k 2, also nicht konvergent. (Geometrische Reihe) Es sei z C, z <. Dann ist weil z k z, z k.22 zn+ z nach 3.5. k(k+), denn k(k+) k k+. Also ist n z. k(k + ) n(n + ) n n + n Satz (Cauchy-Produkt). Es seien x k und y k absolut konvergent. Dann ist (mit absoluter Konvergenz) ( ) k x k x k j y j. j0 y j 2 j0

3 Veranschaulichung: Es werden erst die Werte entlang der Diagonalen multipliziert und addiert; dann werden diese aufaddiert. Beweis. Konvergenzkriterien x 0 y 0 + x y 0 + x 0 y + x 2 y 0 + x y + x 0 y 2 k Satz (Leibniz-Kriterium). Es sei (x n ) eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen. Dann ist ( )k x k konvergent. Beweis. Setze s n n ( )k x k. Dann gilt s 2n+2 s 2n x 2n+ + x 2n+2 0 s 2n+3 s 2n+ +x 2n+2 x 2n+ 0. Man sieht: () (s 2n ) monoton fallend und nach unten beschränkt, da s 2n s n, hat also einen Grenzwert s nach 3.8. (2) (s 2n+ ) monoton wachsend und nach oben beschränkt: s 2n+ s 2n s 2 ; hat also einen Grenzwert s. Man sieht nun leicht, dass s s ist, und ist fertig. konvergiert nach dem Leib- 4. Beispiel. Die alternierende harmonische Reihe nizkriterium. ( )k k 4.2 Satz (Vergleichskriterium/Majorantenkriterium). Es seien x k K, r k 0 und r k konvergent. Ferner sei Dann ist x k absolut konvergent. x k r k k k 0. Beweis. Cauchy-Kriterium 4.3: Für K, L k 0 ist L L x k r k. kk kk 4.3 Beispiel. Die Reihe k 2 konvergiert, weil k(k+) konvergiert und k 2 2 k(k+). 22

4 4.4 Satz (Quotientenkriterium). Es sei (x k ) Folge in K. Falls ein k 0 existiert, so dass für k k 0 gilt x k 0 und x k+ x k c <, () so ist x k absolut konvergent. Beweis. Aus () folgt mit vollständiger Induktion, dass x k0 +k c k x k0, k, 2,... (2) Damit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium, denn die Reihe ist ein Vielfaches der geometrischen Reihe. kk 0 x k0 c k x k0 kk 0 c k 4.5 Satz (Wurzelkriterium). Es sei (x k ) Folge in K mit k xk c < für alle k k 0. () Dann ist x k absolut konvergent. Beweis. Wegen x k c k folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe. 4.6 Bemerkung. Das Wurzelkriterium bzw. das Quotientenkriterium sind insbesondere erfüllt, wenn die folgenden Grenzwerte existieren und < sind: x k+ k lim < bzw. lim xk <. k x k k Existiert ein k 0 mit x k+ x k oder k x k für alle k k 0, so ist die Reihe divergent, denn dann bilden die Glieder keine Nullfolge. Dies ist insbesondere der Fall wenn die obigen Grenzwerte > sind. (Sind die Grenzwerte 0, so ist keine Aussage möglich.) Ist das Quotientenkriterium erfüllt, so ist auch das Wurzelkriterium erfüllt, s. 4.4(2). (d) Ist die Reihe absolut konvergent, so kann man die Glieder beliebig umordnen, ohne dass sich der Reihenwert ändert. 4.7 Die Exponentialfunktion. Sinus. Cosinus. Die Reihe zk k! : ez (auch exp z) konvergiert für alle z C, da z k+ (k + )! zk k! z k + 0 (Quotientenkriterium). Man setzt e : e. 23

5 ( )k (2k)! z2k cos z konvergiert für alle z C (Wurzelkriterium). ( )k (2k z2k+ sin z konvergiert für alle z C (Wurzelkriterium). + )! 4.8 Satz. e(0) e z e w e z+w. Insbesondere: e z 0 z C, da e z e z e 0. e iz cos z + i sin z, z C (Eulersche Formel). Speziell: x R: cos x Re e ix, sin x Im e ix. (d) cos( z) cos z, sin( z) sin z, z C (e) cos z eiz + e iz, sin z eiz e iz, z C. 2 2i (f) e ix für x R, insbesondere cos x, sin x für x R (auf C sind beide Funktionen unbeschränkt). (g) e z e z (h) cos(w + z) cos w cos z sin w sin z sin(w + z) sin w cos z + cos w sin z, w, z C. Beweis. klar e z e w Cauchy Produkt BIN LS k j0 z j j! w k j (k j)! k! (z + w)k e z+w. k j0 k! ( ) k z j w k j j e iz 4.2 (iz) k k! 4.2 (iz) 2l (2l)! + (iz) 2l+ (2l + )! ( ) l z 2l (2l)! + i ( ) l z 2l+ (2l + )! cos z + i sin z Speziell für x R gilt cos x R, sin x R, also cos x Re e ix und sin x Im e ix. (d) Einsetzen in 4.7,(d) (e) folgt aus. (f) e ix cos x i sin x cos( x) + i sin( x) e ix e ix 2 e ix e ix e 0. Da e ix 2 cos 2 x + sin 2 x folgt Aussage über sin, cos. 24