Ferienkurs Analysis 1

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Ferienurs Analysis 1 Potenzreihen, Exponentialfuntion, Stetigeit, Konvergenz, Grenzwert Henri Thoma Inhaltsverzeichnis 1. Potenzreihen: Exponentialfuntion Stetigeit I Konvergenz Stetigeit II Grenzwert... 6

2 Analysis 1 1. Potenzreihen: Seite: 1 1. Potenzreihen: Definition Potenzreihe: Eine Reihe P(z) = =0 a (z z 0 ) mit Koeffizienten a C heißt Potenzreihe zum Entwiclungspunt z 0. Definition Konvergenzradius: R sup{ z z 0 z C P(z) onvergent} [0, ] heißt Konvergenzradius der Potenzreihe P zum Entwiclungspunt z 0. Eindeutigeit von Potenzreihen: Es gelte f(x) = =0 a (x x 0 ) = =0 b (x x 0 ) für alle x (x 0 R, x 0 + R), dann gilt a = b = f() (x 0 ), = 0,1,,! Bemerung: Somit ist die Taylorreihe eines Polynoms, das Polynom selbst. Konvergenz von Potenzreihen: z z 0 < R =0 a (z z 0 ) ist absolut onvergent z z 0 > R =0 a (z z 0 ) ist divergent Formel von Cauchy: R = Für lim sup a 1 lim sup a (Folgt aus dem Wurzelriterium) = 0 folgt R =, für lim sup a = folgt R = 0 Formel von Euler: R = lim a (Folgt aus dem Quotientenriterium) n a +1 Falls der Limes nicht existiert muss die Formel von Cauchy verwendet werden. Für lim a uneigentlich onvergent gegen + folgt R =. n a +1 Differentiation von Potenzreihen: Die Potenzreihe P(x) = =0 a (x x 0 ) ist im Konvergenzintervall, das heißt x x (x o R, x 0 + R) mit R > 0, beliebeig oft differenzierbar. Die abgeleiteten sowie die integrierten Reihen haben den gleichen Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe =0 Po- Rechenregeln für Potenzreihen: Seien P(z) = =0 a (z z 0 ) und Q(z) = b (z z 0 ) tenzreihen mit den Konvergenzradien R 1, R > 0 um den gleichen Entwiclungspunt z 0. Dann gilt: λp(z) + Q(z) = =0 (λa + b )(z z 0 ) für z z 0 < min(r 1, R ) l=0 P(z) Q(z) = =0 (a l b l )(z z 0 ) für z z 0 < min(r 1, R ) (Cauchy-Produt) Wichtige Beispiele für Potenzreihen: =0 x = 1 für x R und x < 1 1 x z (geometrische Reihe) =0 = e z für z C (Exponentialreihe)! ( a =0 ) x = (1 + x) a für x 1; a > 0 oder x < 1; a < 0 (Binominalreihe) a (a 1) (a +1) Mit ( a, wenn > 0 ) {! 1, wenn = 0 0, wenn < 0 ( 1) +1 =1 x = ln(1 + x) für 1 < x 1 mit a R, N

3 Analysis 1. Exponentialfuntion Seite:. Exponentialfuntion Definition Exponentialfuntion: Man definiert die Exponentialreihe exp(z) = = e z als Exponentialfuntion, wobei z C. Der Konvergenzradius ist R =. z n n=0 n! Definition Umehrfuntion (Logarithmus): Da exp: R R + eine Bijetion ist, ann man eine Umehrfuntion definieren: ln: (0, ) R Definition allgemeine Potenzfuntion: Für a C, z C\{0} definiert man: z a a ln(z) exp(a ln(z)) = e Exponentialfuntion: o z C exp( z) = 1 exp(z) o z C exp(z) > 0 o z C exp(αz) ist streng monoton wachsend (fallend) für α > 0 (α < 0) o z C exp(z) = lim (1 + z n n )n o w, z C exp(z + w) = exp(z) exp(w) (Funtionalgleichung) o Die Exponentialfuntion ist stetig und differenzierbar mit d exp(x) = exp(x) dx Logarithmus: o x > 0, q Q ln(x q ) = q ln(x) o x, y > 0 ln(xy) = ln(x) + ln(y) (Funtionalgleichung) o x > 0 e ln(x) = x (Umehrfuntion) o o o x > 0 ln (x) = 1 x x, a > 0 log a (x) = ln(x) ln(a) Die Logarithmusfuntion ist streng monoton steigend Definition trigonometrische Funtionen: Sei z C. Diese Potenzreihen haben den Konvergenzradius R = und sind auf ganz C stetig. ( 1) (+1)! z+1 sin(z) =0 = 1 i (eiz e iz ) ( 1) cos(z) =0 = 1 (eiz + e iz ) ()! z Definition hyperbolische Funtionen: Man definiert sinh(x) 1 sin(ix) = 1 i =0 (+1)! x+1 = 1 (e z e z ) 1 ()! x cosh(x) cos(ix) = =0 = 1 (e z + e z ) Definition Tangens und Kotangens: Sein z C tan(z) = sin(z) cos(z) m+1 für z π mit m Z cot(z) = cos(z) für z πm mit m Z sin(z)

4 Analysis 1 3. Stetigeit I Seite: 3 sin( z) = sin(z) (ungerade Funtion) cos( z) = cos(z) (gerade Funtion) e iz = cos(z) + isin(z) (Eulersche Formel) (cos(z) + isin(z)) n = cos(nz) + isin(nz) Additionstheoreme: cos (z) + sin (z) = 1 cosh (x) sinh (x) = 1 sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x) = sin(x) cos(x) cos(x) = cos (x) sin (x) = cos (x) 1 sin (x) = 1 (1 cos(x)) cos (x) = 1 (1 + cos(x)) sin(x) ± sin(y) = sin ( x±y ) cos (x y ) cos(x) + cos(y) = cos ( x+y ) cos (x y ) cos(x) cos(y) = sin ( x+y ) sin (x y ) sin(x) sin(y) = 1 (cos(x y) cos(x + y)) cos(x) cos(y) = 1 (cos(x y) + cos(x + y)) sin(x) cos(y) = 1 (sin(x y) + sin(x + y)) 3. Stetigeit I Definition Stetigeit: Sind (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume und f D X Y eine Funtion, dann heißt f im Punt x 0 D X stetig, wenn: ε > 0 δ ε > 0 x D: d X (x 0, x) δ ε d Y (f(x 0 ), f(x)) ε f D X Y heißt stetig, wenn f stetig ist in jedem Punt x 0 D Bemerung: δ ε darf von ε und x 0 abhängig sein! Definition gleichmäßige Stetigeit: Sind (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume und f D X Y eine Funtion, dann heißt f in D gleichmäßig stetig (eine loale Definition!), wenn: ε > 0 δ ε > 0 x 0 D x D: d X (x 0, x) δ ε d Y (f(x 0 ), f(x)) ε Bemerung: δ ε darf nur von ε abhängig sein, sprich unabhängig von x und x 0!

5 Analysis 1 4. Konvergenz Seite: 4 Definition Lipschitz-Stetigeit: Sind (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume und f D X Y eine Funtion, dann heißt f in D Lipschitz-stetig, falls es eine Konstante L 0 gibt, so dass d Y (f(x 0 ), f(x)) L d X (x 0, x) x 0, x D Definition Beschräntheit: f X C heißt beschränt genau dann, wenn ein c > 0 existiert, so dass f(x) c für alle x X. Definition monoton wachsend: f I R heißt monoton wachsend, falls f(x 1 ) f(x ) für alle x 1, x I mit x 1 x. Für streng monoton wachsend, falls " < " statt " ". (Streng) monoton fallend analog. Definition Loales Maxiumum: f I R hat ein loales Maximum in x 0, falls δ > 0 so, dass x U δ (x 0 ) I mit der δ-umegebung U δ (x 0 ) {x R x x 0 < δ} gilt: f(x) f(x 0 ) Rechenregeln: Sind (X, d X ), (Y, d Y ) und (M, d M ) metrische Räume und f, h X Y stetig in x X und g Y M stetig in f(x). Dann gelten: f + h und f h sind stetig g f X M, (g f)(x) g(f(x)) ist stetig in x f, f X C, Re(f), Im(f) X R sind stetig in x Sei X 0 {x X h(x) 0}. Dann ist für x 0 X 0 die Funtion f X h 0 Y stetig Impliationen: Lipschitz-Stetigeit gleichmäßige Stetigeit Stetigeit Jede auf dem abgeschlossenen Intervall I [a, b] stetige Funtion f I R ist beschränt Jede auf dem abgeschlossenen Intervall I [a, b] stetige Funtion f I R nimmt dort ihr Maximum und Minimum an. Extremwerte önnen auch an den Intervallenden angenommen werden. Zwischenwertsatz: Sei f: [a, b] R eine stetige Funtion und f(a) < 0, f(b) > 0 es existiert mindestens eine Nullstelle x 0 (a, b) mit f(x 0 ) = 0 Bemerung: Somit besitzt jedes Polynom P R R ungerader Ordnung mindestens eine reelle Nullstelle Fixpuntsatz: Sei f [a, b] [a, b] stetig f hat mindestens einen Fixpunt, d.h. x [a, b] f(x) = x Sei f (a, b) B R surjetiv und streng monoton wachsend, dann ist f 1 B (a, b) eine streng monoton wachsende, stetige Funtion. Analoges gilt bei monoton fallend. 4. Konvergenz Definition puntweise Konvergenz: Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume, f n X Y eine Folge von Abbildungen und f X Y, dann heißt die Folge (f n ) puntweise onvergent gegen f, wenn gilt: d.h. x X f n (x) f(x) x X ε > 0 N N n N, n N d y (f n (x), f(x)) < ε

6 Analysis 1 5. Stetigeit II Seite: 5 Definition gleichmäßige Konvergenz: Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume, f n X Y eine Folge von Abbildungen und f X Y, dann heißt die Folge (f n ) gleichmäßig onvergent gegen f, wenn gilt: ε > 0 N N n N, n N x X d y (f n (x), f(x)) < ε Bemerung: Der Unterschied zwischen der Definition der gleichmäßigen und der puntweisen Konvergenz liegt lediglich in der Stellung des x X. Bei der puntweisen Konvergenz reicht es, für jedes x ein eigenes N zu finden, wohingegen es bei der gleichmäßigen Konvergenz ein N gibt, sodass die Bediungung d y (f n (x), f(x)) < ε für alle x erfüllt ist. Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die puntweise Konvergenz, die Umehrung gilt nicht! Definition normale Konvergenz: Eine Reihe n=1 f n von Funtionen f n X C heißt normal onvergent, wenn f n beschränt ist für alle n und wenn die Reihe n=1 f n X onvergiert Bemerung: Eine auf X normal onvergente Reihe onvergiert dort auch gleichmäßig gegen eine Grenzfuntion f Sei f n X Y eine Folge an der Stelle x 0 stetiger Abbildungen, welche gleichmäßig gegen die Funtion f X Y onvergiert, dann ist auch die Grenzfuntion f stetig an der Stelle x 0. Eine Reihe f = n=1 f n sei normal onvergent auf X mit f n X C n, dann gilt: f n X C stetig in x 0 N N f X C stetig in x 0 Bemerung: Sei n=0 a z eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, dann ist f: U R = {z C z < R} C, f(z) = n=0 a z stetig. Also zum Beispiel exp(z) auf ganz C stetig. 5. Stetigeit II Definition offene Kugel: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Man nennt B r (x) {y X d(y, x) < r} eine offenen Kugel um x. Definition offen: U X heißt offen, wenn gilt: x U ε > 0 B ε (x) U Definition abgeschlossen: A X heißt abgeschlossen, wenn x X gilt: B ε (x) A ε > 0 x A Definition Kompatheit: Sei (X, d) ein metrischer Raum. K X heißt ompat, wenn jede Folge (x n ) in K eine onvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder in K liegt. Sei A X dann sind äquivalent: o A ist abgeschlossen o X\A ist offen o Sei (x n ) eine Folge in a mit lim n x n = x X x A

7 Analysis 1 6. Grenzwert Seite: 6 Seien X, Y metrische Räume, dann gelten: o K X ompat, f X Y stetig f(k) ist ompat o K X ompat K abgeschlossen o K X ompat, A K abgeschlossen A ompat Satz von Borel: Sei K R n oder C n mit eulidischer Metri und eulidischer Norm, dann gilt: K ompat K abgeschlossen und beschränt Seien (X, d X ), (Y, d Y ) metrische Räume, f X Y eine Abbildung, dann sind äquivalent: o f ist stetig o U Y ist offen f 1 (U) ist offen in X o A Y ist abgeschlossen f 1 (A) ist Abgeschlossen in X Seien (X, d X ), (Y, d Y ) metrische Räume. Sei X ompat und f X Y stetig und bijetiv, dann ist f 1 Y X stetig Seien X, Y metrische Räume. Sei X ompat und f X Y stetig f ist gleichmäßig stetig Sei f K R stetig und K ompat f nimmt Maximum und Minimum auf K an 6. Grenzwert Definition rechts-/linsseitiger Grenzwert: Sei I R Intervall, a I und f: I\{a} R Abbildung. f(x) besitzt für x I mit x gegen a den rechtsseitigen (linsseitigen) Grenzwert c + (c ), also lim f(x) = c + (lim f(x) = c ), falls für jede Zahlenfolge (x ) N0 mit x a, x > a (x < a) x a x a auch die Zahlenfolge (f(x )) N0 gegen c + (c ) strebt. Definition Grenzwert: Sei I R Intervall, a I und f: I\{a} R Abbildung. f(x) besitzt den Grenzwert c = lim x a f(x), falls c + = c =: c gilt, also rechts- und linsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Definition Stetigeit: Sei f X Y und x 0 X, dann ist f an der Stelle x 0 genau dann stetig, wenn für jede Folge (x n ) gilt: x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) Bemerung: Für Stetigeit ist die Existenz von f(x 0 ) notwendig, die Existenz von lim x x0 f(x) alleine reicht nicht! Definition Asymptote: Sei I R und f I R stetig. Die Gerade x = a heißt vertiale Asymptote von y = f(x), wenn für x a gilt: f(x) + oder. Analog für x a Die Gerade y = d heißt horizontale Asymptote von y = f(x), wenn lim f(x) = d oder x + lim f(x) = d x Die Gerade y = px + q heißt schräge Asymptote von y = f(x), wenn lim x + (f(x) (px + q)) = 0 oder lim (f(x) (px + q)) = 0 x Bemerung: Die Koeffizienten der schrägen Asymptote (falls existent) lassen sich in zwei Schritten berechnen (ohne Einschränung x + f(x) Berechne lim = p, danach mit diesem p: lim (f(x) px) = q. x + x x +