Unendliche Reihen. D.h. Die Summe einer unendlichen Reihe ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen.

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1 Unendliche Reihen Wegen der elementaren Eigenschaften der Zahlen ist lar, was unter einer endlichen Summe von Zahlen a + a zu verstehen ist. Vorderhand ist noch nicht erlärt, was unter einer unendlichen Summe von Zahlen zu verstehen ist. Mittels des Begriffes der Folge läßt sich nun auch dem Begriff der unendlichen Summe bzw. einer unendlichen Reihe eine exate Bedeutung geben. Sei ( ) N eine Folge (die Folge der Summanden). Wir bilden eine zugehörige Folge (s n ) n N mit s n = n. s n heißt n-te Partialsumme. Konvergiert die Folge (s n ) der Partialsummen, s n s, dann sagt man, dass die unendliche Reihe onvergiert, und schreibt s =. D.h. Die Summe einer unendlichen Reihe ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen. Bemerung. Reihen der Form =m önnen durch Umindizierung auf die Standardform gebracht werden, und damit hat die Schreibweise ebenfalls eine lare Bedeutung. =m Definition. heißt divergent, wenn sie nicht onvergiert. Eine Reihe Beispiel. q = + q + q (Geometrische Reihe) s n = + q + q q n und qs n = q + q q n+. Für q = ist s n = n + und damit ist (s n ) divergent. Für q

2 ist s n = qn+ q. Aus den Eigenschaften der geometrischen Folge folgt, dass für q < die Reihe onvergiert und es gilt Für q divergiert die Reihe. q = q. Beispiel 2. =2 ( ) = (Telesop-Reihe) Wegen ( ) = ist s n = ( 2 ) + ( 2 3 ) ( n n ) = = n. Also ist die Reihe onvergent. Beispiel 3. = Zu N betrachten wir σ = (Harmonische Reihe) 2 m=2 + m. Hier gibt es 2 2 Summanden und 2 ist der leinste Summand. Folglich ist σ (2 2 ) 2 = 2 = 2. Ist nun n = 2, dann ist s n = + σ + σ σ + 2. Damit ist (s n ) eine beschränte Folge, ann also nicht onvergent sein, und folglich ist die harmonische Reihe divergent. Beispiel 4. 2 = Setze c = und c = ( ) für 2. Dann gilt c 2 und weil onvergent ist (siehe Beispiel 2.), folgt mit dem Vergleichsriterium c (siehe später), dass 2 onvergent ist. Aus bereits erwähnten Aussagen über Folgen ergibt sich sofort 2

3 Satz. Seien und b onvergent sowie α, β R. Dann ist (α + βb ) ebenfalls onvergent und es gilt (α + βb ) = α + β b. Beispiel ! = 3 (Wir setzen als beannt voraus, dass e x =! ( 2 ) 5! ( 4 ) = 3e /2 5e /4. x! ) Für eine Reihe heißt s m,n = n Teilstüc der Reihe. r n = =n+ =m+ mit n > m 0 ein heißt ein Endstüc der Reihe bzw. ein Reihenrest. Weil s m,n = s n s m, ist die Reihe ε > 0 N ε sodass s m,n = n =m+ genau dann onvergent wenn < ε für n > m > N ε. Ist speziell n = m +, dann ist s m,m+ = a m+. Dies liefert ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe : onvergent ( ) ist eine Nullfolge. Sei = s onvergent. Wegen s s m = r m, muß die Folge der Reihenreste (r m ) eine Nullfolge sein, d.h. der Reihenrest ann beliebig lein gemacht werden. Offenbar ändert sich das Konvergenzverhalten einer Reihe nicht, wenn endlich viele Summanden weggelassen, hinzugefügt oder abgeändert werden. 3

4 Definitiion. Die Reihe heißt absolut onvergent, wenn onvergiert. heißt bedingt onvergent, wenn die Reihe onvergiert, aber nicht absolut onvergent ist. Bemerungen. (i) Hat eine reelle Reihe nur positive Summanden, dann sind Konvergenz und absolute Konvergenz gleichbedeutend. n (ii) Wegen s m,n = n folgt aus der absoluten =m+ =m+ Konvergenz auch die Konvergenz der Reihe. Beispiel. onvergent. ( ) + ist onvergent (siehe später) aber nicht absolut Satz. (Vergleichsriterium) Sei ) Gilt c für fast alle und ist absolut onvergent. ) ( c c 2) Gilt d 0 für fast alle und ist ist divergent. ( ) Beweis. zu 2) : ) folgt aus Wäre d n =m+ gegeben. onvergent, dann ist heißt dann eine onvergente Majorante von d divergent, dann heißt dann eine divergente Minorante von n =m+ c. onvergent, dann wegen ) auch d, ein 4

5 Widerspruch. Beispiele. ) Betrachte ( ) 5. Wegen a 2 = 5 5 ist die geometrische 2 2 Reihe 5 ) eine onvergente Majorante, also ist die gegebene Reihe ( 2 absolut onvergent. 2) Betrachte, ist die harmonische Reihe divergent. 3) Betrachte ist 2 2 onvergiert. +. Wegen = = + > eine divergente Minorante, also ist die gegebene Reihe!. Wegen =! = 2 3 = < 2 2 eine onvergente Majorante der gegebenen Reihe, welche somit Bemerung. Bei zahlreichen reellen Reihen sind die einzelnen Reihenglieder 0. In diesem Fall ist die Folge der Partialsummen monoton steigend. Somit onvergiert eine derartige Reihe (s n ) der Partialsummen (nach oben) beschränt ist. genau dann, wenn die Folge Ohne Beweis sei ein weiteres Ergebnis angeführt. Satz. (Verdichtungssatz von Cauchy) Sei gegeben, wobei 0 und die Folge ( ) monoton fallend ist. Dann ist onvergent genau dann, wenn 2 a 2 onvergiert. 5

6 Beispiel. Betrachte α. Für α 0 bilden die Reihenglieder eine Nullfolge, daher ist in diesem Fall die Reihe divergent. Für α > 0 bilden die Reihenglieder eine monoton fallende Nullfolge, sodass der Verdichtungssatz anwendbar ist, d.h. wir betrachten die Reihe 2 a 2 = 2 = (2 α ). (2 ) α Dies ist aber eine geometrische Reihe, die nur für 2 α < onvergiert. Also onvergiert die Reihe nur für α >. Im besonderen onvergiert damit etwa die Reihe α. Ein weiteres wichtiges Kriterium sei ebenfalls ohne Beweis angeführt. Satz. (Grenzwertriterium) a Seien ( ) und (b ) Folgen positiver reeller Zahlen. Gilt lim b = l mit 0 < l <, dann sind die beiden Reihen und entweder beide onvergent oder beide divergent. b Beispiel. Betrachte =2 mit = Wähle b = 2. Dann gilt b = und somit ist =2 onvergent. Im folgenden werden zwei wichtige Kriterien für die absolute Konvergenz einer Reihe disutiert, nämlich das Wurzelriterium und das Quotientenriterium. Satz. (Wurzelriterium) 6

7 ) q R mit 0 q < und q für fast alle absolut onvergent. 2) Gilt für unendlich viele, dann ist divergent. 3) Gilt weder ) noch 2), dann ist (vorderhand) eine Aussage möglich. Beweis. zu ) : Es gilt q für fast alle, und damit ist die geometrische Reihe q wegen q < eine onvergente Majorante. zu 2) : Gilt für unendlich viele, dann ann ( ) eine Nullfolge sein, also ist die Reihe divergent. zu 3) : Die Reihen und 2 ist erfüllen weder ) noch 2), jedoch ist die erste Reihe onvergent und die zweite Reihe divergent. Satz. (Quotientenriterium) ) q R mit 0 q < und + q für fast alle absolut onvergent. 2) Gilt + für fast alle, dann ist divergent. 3) Gilt weder ) noch 2), dann ist (vorderhand) eine Aussage möglich. Beweis. zu ) : Es gelte + q < für > N. Dann ist für > N = 2... a N+ a N a N q N a N = a N q N q = cq. Wiederum ist die geometrische Reihe c q ist eine onvergente Majorante. zu 2) : Gilt + für fast alle, dann ann ( ) eine Nullfolge sein, also ist die Reihe divergent. 7

8 zu 3) : Die Reihen und 2 erfüllen weder ) noch 2), jedoch ist die erste Reihe onvergent und die zweite Reihe divergent. Wichtige Bemerung. Ist die Folge ( ) (bzw. ( + ) ) im besonderen onvergent (was ja nicht immer der Fall sein muß), also etwa a q (bzw. + q ), dann liegt für q < absolute Konvergenz vor, für q > Divergenz, und für q = ist eine Aussage möglich. Beispiele. (a) Betrachte a = e ( ) 4 e 4 e. Dann ist = 4 e (b) Für welche x R ist die Reihe und <. Also ist die Reihe absolut onvergent. (!) 2 (2)! x onvergent? + = [(+)!]2 (2)! x + (2+2)!(!) 2 x = (+)2 x (2+)(2+2) x 4 für. Somit ist die Reihe absolut onvergent für x 4 <, i.e. für x < 4, und divergent für x > 4. Für die Randpunte x = ±4 ist eine gesonderte Untersuchung erforderlich. Definition. Die Reihe b heißt alternierend, wenn zwei aufeinanderfolgende Summanden verschiedenes Vorzeichen haben. Somit ann eine derartige Reihe in der Form werden. ( ) + mit 0 geschrieben Für alternierende Reihen gilt folgendes wichtige hinreichende Kriterium Satz. (Leibniz-Kriterium) 8

9 Sei die alternierende Reihe ( ) + gegeben. ) Ist ( ) eine monotone Nullfolge, dann onvergiert die Reihe. 2) Ist s = ( ) +, dann gilt für die Teilsumme s n die Abschätzung s n s a n+. Beispiel. Betrachte ( ) + α. Für α > 0 bildet die Folge ( α ) eine monoton fallende Nullfolge, und damit ist die Reihe nach dem Leibniz- Kriterium onvergent. Im speziellen ist die Reihe ( ) + = onvergent. Weitere Bemerungen. ) Sei gegeben, und ϕ : N N eine bijetive Abbildung. Wir setzen b = a ϕ(). Dann heißt. b eine Umordnung von Es gilt (ohne Beweis) : (i) Ist absolut onvergent zur Summe s, dann onvergiert auch jede Umordnung von (ii) (Umordnungssatz von Riemann) Sei t R. Dann gibt es eine Umordnung t. absolut und hat die gleiche Summe s. b von bedingt onvergent und mit der Summe 9

10 2) Seien die Reihen und b mit Summen s bzw. t gegeben. Wir wollen die beiden Reihen in geeigneter Weise multiplizieren und als Ergebnis wieder eine Reihe erhalten. Dafür gibt es grundsätzlich mehrere Möglicheiten. Wir setzen c = i b i = b 0 + b a 0 b für alle 0. i=0 Also c 0 = a 0 b 0, c = a b 0 + a 0 b, c 2 = a 2 b 0 + a b + a 0 b 2 etc. Die dadurch erhaltene Reihe und b. c (Das Cauchy-Produt tritt in natürlicher Weise bei der Produtbildung zweier Potenzreihen auf.) Es gilt : Ist absolut onvergent zur Summe s und b heißt das Cauchy-Produt der Reihen onvergent zur Summe t, dann onvergiert das Cauchy-Produt der beiden Reihen zur Summe st. 0