ANALYSIS 1 Kapitel 5: Unendliche Reihen

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1 ANALYSIS 1 Kapitel 5: Unendliche Reihen MAB.01012UB MAT.101UB Vorlesung im WS 2017/18 Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität Graz

2 5.1 Grundbegrie Denition (1) Es sei k Z und (a i ) i k eine (komplexe) Folge. Unter der unendlichen Reihe a i versteht man die Folge (s n := n ) a i n k der Partialsummen s n. Die unendliche Reihe a i heiÿt konvergent [bzw. divergent bzw. bestimmt divergent gegen ± ], wenn die Folge (s n ) n k die entsprechende Eigenschaft besitzt. Im Falle (s n ) n k a C R nennt man a die Summe der Reihe. Schreibweise: a = a i = lim s n. n Die Reihe a i heiÿt absolut konvergent, wenn a i konvergiert.

3 5.1 Grundbegrie Denition (1) Es sei k Z und (a i ) i k eine (komplexe) Folge. Unter der unendlichen Reihe a i versteht man die Folge (s n := n ) a i n k der Partialsummen s n. Die unendliche Reihe a i heiÿt konvergent [bzw. divergent bzw. bestimmt divergent gegen ± ], wenn die Folge (s n ) n k die entsprechende Eigenschaft besitzt. Im Falle (s n ) n k a C R nennt man a die Summe der Reihe. Schreibweise: a = a i = lim s n. n Die Reihe a i heiÿt absolut konvergent, wenn a i konvergiert.

4 Satz (1) Es seien a i = a und b i = b konvergente Reihen. Dann gilt: a) Für alle m k ist die Reihe i=m a i konvergent und es gilt: i=m m 1 a i = a a i. b) Für alle α, β C gilt: c) a i = a. (αa i + βb i ) = αa + βb.

5 Satz (2) (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die Reihe a i konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, sodass für alle n, m N mit n > m N gilt: n a i < ε. i=m+1 Korollar a) Ist die Reihe a i absolut konvergent, so ist sie auch konvergent. b) Ist die Reihe a i konvergent, so gilt lim a n = 0. n

6 Satz (2) (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die Reihe a i konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, sodass für alle n, m N mit n > m N gilt: n a i < ε. i=m+1 Korollar a) Ist die Reihe a i absolut konvergent, so ist sie auch konvergent. b) Ist die Reihe a i konvergent, so gilt lim a n = 0. n

7 5.2 Reihen mit reellen Summanden Alternierende Reihen: Eine Reihe mit reellen Summanden und,,abwechselnden Vorzeichen (d. h.: 0 sgn(a i ) = sgn(a i+1 )) heiÿt alternierend. Satz (3) (Leibnizkriterium) Es sei (a i ) i 0 eine monoton fallende Nullfolge. Dann ist die Reihe ( 1) i a i = a 0 a 1 + a 2 a i=0 konvergent, und für ihre Summe a gilt: n a ( 1) i a i a n+1. i=0

8 Reihen mit nicht-negativen Gliedern: a i mit 0 a i R. Für solche Reihen gilt: die Folge der Partialsummen (s n ) n 1 ist (nicht negativ und) monoton wachsend. Nach Ÿ4 (Sätze 5, 6 und Denition 4) gilt daher: es existiert lim n s n [0, ]. Satz (4) (Vergleichskriterium) Es seien a i und b i Reihen und k N so, dass für alle i k gilt: a i b i. Dann gilt: a i b i.

9 Satz (4) (Vergleichskriterium) (Fortsetzung) Insbesondere gilt: a) Konvergiert b i, so ist a i absolut konvergent (also auch konvergent), und b i heiÿt (konvergente) Majorante für a i. b) Ist a i divergent, so divergiert auch b i, und a i heiÿt (divergente) Minorante für b i.

10 5.3 Quotienten- und Wurzelkriterium Satz (5) (Quotientenkriterium) Es sei a i eine Reihe mit a i 0 für fast alle i N. a) Gibt es ein q (0, 1) und ein N N derart, dass für alle n N gilt: a n+1 q, a n so ist a i absolut konvergent. b) Gibt es ein N N, sodass für alle n N gilt: 1 a n+1, a n so ist a i divergent.

11 Satz (6) (Wurzelkriterium) Es sei a i eine Reihe und s = lim sup n a) Ist s < 1, so ist a i absolut konvergent. n an. Dann gilt: b) Gibt es unendlich viele n N mit 1 n a n, so ist divergent. a i

12 5.4 Umordnung und Produkt von Reihen Satz (7) Es sei a i eine absolut konvergente Reihe und ϕ: N N eine bijektive Funktion (= eine Umordnung der Indices). Dann konvergiert auch a ϕ(i) absolut, und es gilt a i = a ϕ(i).

13 Denition (2) Es seien a i und b i Reihen, und für alle k N 0 sei i=0 i=0 k d k = a i b k i = a 0 b k + a 1 b k 1 + a 2 b k a k b 0. i=0 Dann heiÿt die Reihe ( k ) d k = a i b k i k=0 k=0 i=0 das Cauchyprodukt der Reihen a i und b i. i=0 i=0

14 Satz (8) Es seien a = a i und b = b i absolut konvergente Reihen. i=0 i=0 Dann konvergiert auch das Cauchyprodukt der beiden Reihen absolut, und es gilt d k = k=0 k=0 i=0 ( k ) a i b k i = a b. Additionssatz der Binomialreihen: Für s, t C und z K 1 (0) = {z C z < 1} gilt: B s (z) B t (z) = B s+t (z).

15 Satz (8) Es seien a = a i und b = b i absolut konvergente Reihen. i=0 i=0 Dann konvergiert auch das Cauchyprodukt der beiden Reihen absolut, und es gilt d k = k=0 k=0 i=0 ( k ) a i b k i = a b. Additionssatz der Binomialreihen: Für s, t C und z K 1 (0) = {z C z < 1} gilt: B s (z) B t (z) = B s+t (z).

16 5.5 Potenzreihen Denition (3) Es sei (a n ) n 0 eine Folge in C und z C. Dann heiÿt die unendliche Reihe P = a n z n = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z die Potenzreihe in z mit Koezientenfolge (a n ) n 0. Die Menge D P = {z C P konvergiert für z} 0 heiÿt Konvergenzbereich von P, und die (ebenfalls mit P bezeichnete) Funktion P : D P C z P(z) = a n z n heiÿt die durch die Potenzreihe P dargestellte Funktion. ρ P = sup{r R P(r) konvergiert} [0, ] heiÿt der Konvergenzradius von P.

17 5.5 Potenzreihen Denition (3) Es sei (a n ) n 0 eine Folge in C und z C. Dann heiÿt die unendliche Reihe P = a n z n = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z die Potenzreihe in z mit Koezientenfolge (a n ) n 0. Die Menge D P = {z C P konvergiert für z} 0 heiÿt Konvergenzbereich von P, und die (ebenfalls mit P bezeichnete) Funktion P : D P C z P(z) = a n z n heiÿt die durch die Potenzreihe P dargestellte Funktion. ρ P = sup{r R P(r) konvergiert} [0, ] heiÿt der Konvergenzradius von P.

18 5.5 Potenzreihen Denition (3) Es sei (a n ) n 0 eine Folge in C und z C. Dann heiÿt die unendliche Reihe P = a n z n = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z die Potenzreihe in z mit Koezientenfolge (a n ) n 0. Die Menge D P = {z C P konvergiert für z} 0 heiÿt Konvergenzbereich von P, und die (ebenfalls mit P bezeichnete) Funktion P : D P C z P(z) = a n z n heiÿt die durch die Potenzreihe P dargestellte Funktion. ρ P = sup{r R P(r) konvergiert} [0, ] heiÿt der Konvergenzradius von P.

19 Satz (9) Es sei P = a n z n eine Potenzreihe. a) Konvergiert P in einem Punkt z 0 C, so ist P absolut konvergent für alle z C mit z < z 0. b) P ist für alle z C mit z < ρ P absolut konvergent und für alle z C mit z > ρ P divergent; d. h.: K ρp (0) D P K ρp (0) =: {z C z ρ P } c) Es gilt bzw. ρ P = 1 n lim sup an n ρ P = lim n a n a n+1 [Cauchy-Hadamard] [Euler], falls die Folge ( a n a n+1 )n 0 konvergiert oder bestimmt divergiert.

20 Satz (9) Es sei P = a n z n eine Potenzreihe. a) Konvergiert P in einem Punkt z 0 C, so ist P absolut konvergent für alle z C mit z < z 0. b) P ist für alle z C mit z < ρ P absolut konvergent und für alle z C mit z > ρ P divergent; d. h.: K ρp (0) D P K ρp (0) =: {z C z ρ P } c) Es gilt bzw. ρ P = 1 n lim sup an n ρ P = lim n a n a n+1 [Cauchy-Hadamard] [Euler], falls die Folge ( a n a n+1 )n 0 konvergiert oder bestimmt divergiert.

21 Denition (4) Es seien P = a n z n und Q = b n z n Potenzreihen in z und c C. Dann deniert man: P ± Q = (a n ± b n )z n c P = c a n z n und ( n ) P Q = a i b n i z n. i=0

22 Satz (10) Sind P = a n z n und Q = b n z n Potenzreihen in z mit Konvergenzradien ρ P, ρ Q > 0, so gilt mit ρ = min{ρ P, ρ Q }: Jede der Potenzreihen P ± Q, P Q und c P (c C) hat einen Konvergenzradius ρ, und für alle z K ρ (0) gilt: (P ± Q)(z) = P(z) ± Q(z) (P Q)(z) = P(z) Q(z) und (c P)(z) = c P(z).

23 Satz (11) Es sei P = a n z n eine Potenzreihe in z mit Konvergenzradius ρ = ρ P > 0. Dann gilt: a) [Approximationssatz] Variante 1: Für jedes r mit 0 < r < ρ und jedes N N gibt es ein (von r und N abhängiges!) c R, sodass für alle z C mit z r gilt: N 1 P(z) a n z n = a n z n c z N n=n

24 Satz (11) (Fortsetzung) Variante 2: Ist 0 < r < r < ρ, so gibt es ein N 0 N, sodass für alle N N 0 und für alle z C mit z r gilt: N 1 P(z) a n z n r r r ( r r ) N b) Sind nicht alle a n = 0, so gibt es ein r > 0, sodass für alle z K r (0) \ {0} gilt: P(z) 0.

25 Korollar (Identitätssatz für Potenzreihen) Sind P = a n z n und Q = b n z n Potenzreihen mit Konvergenzradien ρ P, ρ Q > 0, ρ = min{ρ P, ρ Q }, und gibt es eine Nullfolge (z k ) k N in K ρ (0) mit z k 0 und P(z k ) = Q(z k ) für alle k N, so gilt: für alle n N 0 ist a n = b n (d. h.: P = Q).

26 Satz (12) (Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen) Es seien P = a n z n und Q = b n z n Potenzreihen mit Konvergenzradien ρ P, ρ Q > 0. Für n N 0 sei Q n = Q Q... Q = }{{} n k=0 b (n) k zk das (n 1)-fache Cauchyprodukt von Q mit sich. Ist b 0 < ρ P, so existiert ein ρ > 0, sodass für alle z K ρ (0) gilt: Q(z) < ρ P und ( ) ( ) P(Q(z)) = a n b (n) k zk = a n b (n) k z k. k=0 k=0 Diese Potenzreihe bezeichnet man mit P(Q).