Mathematik III für MW: (nur!) WS 18/19. Karsten Eppler (Vertretung Prof. Sander) Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik

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1 Mathematik III für MW: (nur!) WS 18/19 Karsten Eppler (Vertretung Prof. Sander) Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik eppler Vorlesungsassistent: Dr. Scheithauer scheith/...

2 Organisatorische Hinweise I K. Eppler: Willersbau, Zi.: C 318, Tel.: (463) Sprechzeit f. Studenten: Di Uhr 1. Übung: Kurvenintegrale (1. Art: Länge, Schwerpkt. etc.) 2. Übung: Zahlenreihen + Potenzreihen (Berechnungen und Konvergenz) Klausur(en): Ma III: Juli 2019 (Wdhlg. Ma II: März 2019) Literatur: Bärwolf (Spektrum) Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure (Neue Auflage); Wenzel/Heinrich Übungsaufgaben zur Analysis (Ü1+Ü2); Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann Übungsaufgaben zur linearen Algebra und linearen Optimierung (Ü3)

3 Organisatorische Hinweise II Lehrbegleitende Skripte: Mathematik I, II, III (ehem. Skript VIW) erhältlich in: Copy Cabana, Helmholtzstr. 4 Weitere detailliertere Hinweise zu: (Klaus.), Übungen, Vorlesungsinhalt(e - s.: Schwerpunkte) etc. auf meiner Homepage und bei Dr. Scheithauer Aktueller Hinweis zu den Klausureinsichten: 1.) Wdhlg.-Klausur Ma. I (Grundl.): , 7.00 Uhr-8.30 Uhr, 2.) Klausur Ma. II (Ing.-math.): , 7.00 Uhr-8.30 Uhr, jeweils Raum WIL C 307.

4 Zahlen- und Potenzreihen Gegeben: ZF {a n } n=0, n-te Partialsumme: s n := Damit ist {s n } n=0 eine (Zahlen-)Folge n a k. Definition: Eine Reihe a k heißt konvergent, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen konvergiert. Schreibweise: a k := lim n s n (= lim n n a k ) Aufgabenstellungen: 1.) Berechnung der Reihensumme 2.) Nachweis der Konvergenz (!!) (Achilles Schildkrötenparadoxon: Die Summe unendlich vieler positiver Größen kann einen endlichen Wert besitzen(!))

5 Beispiele für Konvergenz/Divergenz Beispiel 1: Die harmonische Reihe ist divergent (bei naiver Summation auf Rechnern: scheinbar endliche Reihensumme): n H n := k 1 lim H n =, Genauer: H n γ + ln n n k=1 (γ = Euler-Mascheroni-Konstante lim H n ln n = 1) aber: Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent: n ( 1) k+1 k 1 = ln 2 (Taylorentw. für ln(1 + x), x = 1) k=1 Beispiel 2: Die geometrische Reihe (divergent für q 1) n s n = q k = 1 qn+1 (q 1) q k = 1 ( q < 1). 1 q 1 q

6 Reihen bei Nicole Oresme (14. Jh.) I (Ausgangssituation für beide Aufgaben: Wir betrachten eine Stunde, unterteilt in geometrischer Progression mit q = 1/2). Wenn ein Mobile [beweglicher Körper - Punktmasse ] sich im ersten proportionalen Teil einer Stunde (also eine halbe Stunde) mit irgendeiner (konstanter) Geschwindigkeit bewegen würde und im zweiten Teil (eine Viertelstunde) doppelt so schnell und im dritten dreimal und im vierten viermal und so fort, bis ins Unendliche immer zunehmend, so würde jenes Mobile in der ganzen Stunde genau das Vierfache durchlaufen von dem, was im ersten Teil der Stunde durchlaufen wurde.

7 Reihen bei Nicole Oresme (14. Jh.) II Ein Mobile bewegt sich im ersten proportionalen Teil einer Stunde mit konstanter Geschwindigkeit. Im zweiten Teil bewegt es sich gleichförmig beschleunigt, bis es die doppelte Geschwindigkeit erreicht hat. Dann bewegt es sich im dritten Teil konstant weiter und im vierten Teil der Strecke wieder gleichförmig beschleunigt von der doppelten zur vierfachen Geschwindigkeit und so fort. Ich sage nun, daß der in der Gesamtzeit durchlaufene Weg sich zum im ersten Abschnitt durchlaufenen Weg verhält wie 7:2.

8 Kriterien zur Konvergenzuntersuchung I Notwendiges Konvergenzkriterium: Falls a k konvergiert, so gilt lim a k = 0 für k. Vergleichskriterien: Seien 0 a k b k gegeben. Dann gilt: 1.) Konvergiert b k, so konvergiert auch a k. 2.) Divergiert a k, so divergiert auch b k. (Konvergente Majorante und Divergente Minorante) 3.) Falls lim k a k b k = c > 0, dann b k konv. a k konv.

9 Anwendung Konvergenzkriterien c) a) b) n=1 n=1 n + 1 3n nicht konv., da lim a n = 1 3 0, n=1 ln n n (ln n) 2 nicht konvergent, da a n > 1, n > 2, n n konvergent, da lim (ln n) 2 n = 0, folglich existiert ein N 0 mit (ln n) 2 n , n > N 0. Dann gilt aber: a n 1/n , n > N 0. Generell ausreichend: Die Kriterien sind erfüllt ab einem (beliebig großen, aber endlichen) Summationsindex n 0.

10 Kriterien zur Konvergenzuntersuchung II Wurzel- und Quotientenkriterium: Wir betrachten den GW a) g = lim a k+1 a k und b) w = lim k a k (jeweils k ). A) Falls g < 1 (g > 1), dann konvergiert (divergiert) Reihe. B) Falls w < 1 (w > 1), dann konvergiert (divergiert) Reihe. Leibnizkriterium: Es sei {a n } n=0 eine monotone Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe ( 1)k a k. Integralkriterium: Es sei a k = f(k) mit einer monoton fallenden Funktion f : R + R +. Dann gilt a k konv. 1 f(x) dx konv. (uneigentl. Integral).

11 Anwendung Integralkriterium Satz: Sei p R. Dann gilt p > 1 : p 1 : n=1 1 1 n p konvergiert dx A x p = lim A 1 = lim A n=1 1 n p 1 p 1 1 dx x p dx [ x p = lim A konvergiert. 1 p 1 [ 1 1 A p 1 ] = 1 p 1 < 1 ] A x p 1 1 Reihe divergent, auch harmonische Reihe. Zeta-Fkt.: ζ(p) := n=1 1 n zunächst definiert für p C, mit p Re(p) > 1, in den Bereich C \ {1} fortsetzbar. =

12 Die harmonische Brücke zum Mond (Eine (kleine) Herbstgeschichte) Bau aus Ziegelsteinen. Forderung: Der Gesamtschwerpunkt der Brücke befindet sich über dem Basisstein. Konstruktionsidee (n Steine gegeben): Inverse Anordnung(!), d.h.: 2-ter Stein: Überhang =(2n) 1, 3-ter Stein: ÜH=(2[n 1]) 1,.. j-ter Stein: ÜH=(2[n + 2 j]) 1,.. (n 1)-ter Stein: ÜH=1/6, n-ter Stein: ÜH=1/4. Erreichbarer Gesamtüberhang (= Brückenlänge) U g (n) = n j=2 1 2j = 1 2 [H n 1] lim n U g(n) = (da lim H n = ). n Schwerpunkt: S n = 1 H n 2n < 1, n (lim S n = 1).

13 Absolute und bedingte Konvergenz Definition: Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe der Beträge konvergiert: a k <. Anderenfalls heißt die Reihe bedingt konvergent. Bedingt konvergente Reihen haben ein sehr exotisches Verhalten, z.b.: Für jede bedingt konvergente Reihen existiert eine Umordnung, die einen beliebigen Wert x R ± als Reihensumme besitzt. Bemerkung: Additivität und Homogenität gilt generell bei konvergenten Reihen, d.h.: a k <, b k < λ a k + b k = [λa k + b k ] aber: z.b. Multiplikation ist nur bei absolut konvergenten Reihen (sinnvoll) möglich.

14 Darstellung mittels Funktionenreihen Das Grundkonzept/Ziel: Die Darstellung einer (gesuchten oder gegebenen) Funktion f : R R (auch f : R n R m ) mit bekannten Funktionen f k ist in Form einer Reihe zu ermitteln, d.h., ( ) N f(x) = c k f k (x) Näherung: f(x) c k f k (x) Beispiele: 1.) Potenzreihen (Taylor- ); 2.) Fourierreihen 1) f k (x) = x k ; 2) f k (x) = sin(kx); g k (x) = cos(kx) Achtung: GW (bei punktweiser Konvergenz) von Folgen (Reihen) stetiger Funktionen müssen nicht stetig sein!

15 Potenzreihen, Konvergenzradius Satz: Für eine Potenzreihe a k x k setzen wir ρ := [ lim sup k a k ] 1, ρ R+ { }. Dann ist die Potenzreihe für x < ρ absolut konvergent und für x > ρ divergent. Für x < ρ kann die Reihe gliedweise differenziert und integriert werden ( ) a k x k = ka k x k 1 ( ) a k x k k=1 dx = c + a k k + 1 xk+1

16 Taylorreihen als Potenzreihen Falls f C [x 0 a, x 0 + a] (unendlich oft stetig diffbar), dann kann das Taylorpolynom für beliebiges n N aufgestellt werden f(x) = f(x) n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ) k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k (??) k! In vielen praktisch relevanten Fällen ja, aber Problem 1: Konvergenzradius ρ = 0 ist möglich. f (k) (x 0 ) Problem 2: f(x) (x x 0 ) k, x x 0 ist möglich. k!

17 Potenzreihen zur Lösung von AWA Es sei folgende AWA gegeben: ẏ = y, y(t 0 ) = 2. Lösungsansatz: y = y(t) = α k (t t 0 ) k, t t 0. AB: y(t 0 ) = 0 α 0 = 2; dann: Ansatz 1 (formal) differenzieren und dies in die DGL einsetzen: y (t) = kα k (t t 0 ) k 1 = y(t) = α k (t t 0 ) k k=1 Koeffizientenvergleich: 1 α 1 = α 0 = 2 2 α 2 = α 1 = Allgemein ergibt sich: kα k = α k 1, k 1, (Rekursion!) +AB = Bedg. für α 0... α k = 2 1 k!, k.

18 Lösung: y(t) = 2 (t t 0 ) k k! = 2e t t 0 ( ) Konvergenzradius: Es gilt lim sup k 1/k! = lim k 1/k! = 0, und damit ρ =, wegen der Stirlingschen Entwicklungsformel: lim k ( ) ist konvergent für alle t t 0 (auch für t t 0 ). Zusatzaufgabe: Zeigen Sie: die Potenzreihe ŷ = f(x) = n=1 x n (n 1)! k! ( k e )k 2πk = 1. löst xy = y(x + 1). Welcher AB genügt die partikuläre Lösung ŷ bei x = 1?