ANALYSIS 1 Kapitel 2: Reelle und komplexe Zahlen

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1 ANALYSIS 1 Kapitel 2: Reelle und komplexe Zahlen MAB.01012UB MAT.101UB Vorlesung im WS 2017/18 Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität Graz

2 2.1 Körperstruktur und Anordnung von R Für (beliebige) reelle Zahlen a, b, c R gelten die folgenden (algebraischen) Körperaxiome: (K1) a + b = b + a und a b = b a (Kommutativgesetze) (K2) (a + b) + c = a + (b + c) und (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetze) (K3) x R mit a + x = b und - falls a 0 - gibt es auch ein y R mit a y = b. Für x schreibt man auch b a, und für y auch b : a = b a. (K4) a (b + c) = a b + a c (Distributivgesetz)

3 Lemma (1) Es seien a, b R. a) Die Lösungen x, y R der Gleichungen in (K3) sind eindeutig bestimmt. b) (Produkt-Null-Satz) Ist a b = 0, so folgt a = 0 oder b = 0.

4 R ist archimedisch geordnet: Gewisse reelle Zahlen x R sind als,,positiv ausgezeichnet (nämlich diejenigen, die auf der Zahlengeraden rechts von der Zahl 0 liegen); Schreibweise: x > 0. Für beliebige reelle Zahlen a, b gelten die folgenden Anordnungsaxiome: (A1) Genau eine der 3 Relationen ist erfüllt: a > 0, a = 0, a > 0. (A2) Sind a > 0 und b > 0, so gilt a + b > 0 und a b > 0. (A3) Es existiert ein n N mit n a > 0 (,,Archimedisches Axiom)

5 Denition (1) Es seien a, b R. a heiÿt negativ, wenn a > 0 gilt. a heiÿt gröÿer als b (a > b), falls a b > 0 gilt. a heiÿt kleiner als b (a < b), falls b > a gilt. a heiÿt kleiner oder gleich b (a b), falls (a < b) (a = b) gilt. R + := {x R x > 0} R := {x R x < 0} R 0 := {x R x 0}.

6 Satz (1) (Rechenregeln für Ungleichungen) Es seien a, b, c, d R. Dann gilt: a) Genau eine der Relationen a > b, a = b oder a < b ist erfüllt. b) Aus a > b und b > c folgt a > c (Transitivität von,,>). c) Ist a > b, so gilt: i) Wenn b > 0 ist, so folgt 1 a < 1 b. ii) a + c > b + c iii) Wenn c > 0 ist, so folgt ac > bc; und wenn c < 0 ist, folgt ac < bc. d) Sind a > b und c > d, so folgt: i) a + c > b + d ii) Wenn b, d 0 gilt, so folgt ac > bd. e) Ist a 0, so ist a 2 > 0 f) Jede natürliche Zahl ist positiv.

7 Satz (2) (Bernoulli'sche Ungleichung) Es sei 0 x R mit x 1 und 1 n N. Dann gilt: (1 + x) n > 1 + nx Satz (3) Es sei q R +. Dann gilt: a) Ist q > 1, so gibt es zu jedem K R ein n N mit q n > K. b) Ist 0 < q < 1, so gibt es zu jedem ε > 0 ein n N mit q n < ε.

8 Satz (2) (Bernoulli'sche Ungleichung) Es sei 0 x R mit x 1 und 1 n N. Dann gilt: (1 + x) n > 1 + nx Satz (3) Es sei q R +. Dann gilt: a) Ist q > 1, so gibt es zu jedem K R ein n N mit q n > K. b) Ist 0 < q < 1, so gibt es zu jedem ε > 0 ein n N mit q n < ε.

9 Denition (2) Es sei a R. Dann heiÿt { a falls a 0 a := der Absolutbetrag von a und a falls a < 0 1 falls a > 0 sgn(a) := 0 falls a = 0 das Vorzeichen (oder Signum) von a. 1 falls a < 0 Satz (4) Für a, b R gilt: a) a b = a b b) a < b b < a < b und a b b a b c) a b a ± b a + b

10 Denition (2) Es sei a R. Dann heiÿt { a falls a 0 a := der Absolutbetrag von a und a falls a < 0 1 falls a > 0 sgn(a) := 0 falls a = 0 das Vorzeichen (oder Signum) von a. 1 falls a < 0 Satz (4) Für a, b R gilt: a) a b = a b b) a < b b < a < b und a b b a b c) a b a ± b a + b

11 2.2 Die Vollständigkeit von R Satz (5) 2 ist eine irrationale Zahl. Denition (3. a)) Es seien a, b R mit a < b. Dann heiÿt I = [a, b] := {x R a x b} das abgeschlossene (auch: kompakte) Intervall (von a nach b); I =(a, b) := {x R a < x < b} das oene Intervall (vona nach b); I = [a, b) := {x R a x < b} das (nach rechts) halboene Intervall (von a nach b); I = (a, b] := {x R a < x b} das (nach links) halboene Intervall (von a nach b). a und b heiÿen die Randpunkte jedes solchen Intervalls I, und I = b a heiÿt dessen Länge.

12 2.2 Die Vollständigkeit von R Satz (5) 2 ist eine irrationale Zahl. Denition (3. a)) Es seien a, b R mit a < b. Dann heiÿt I = [a, b] := {x R a x b} das abgeschlossene (auch: kompakte) Intervall (von a nach b); I =(a, b) := {x R a < x < b} das oene Intervall (vona nach b); I = [a, b) := {x R a x < b} das (nach rechts) halboene Intervall (von a nach b); I = (a, b] := {x R a < x b} das (nach links) halboene Intervall (von a nach b). a und b heiÿen die Randpunkte jedes solchen Intervalls I, und I = b a heiÿt dessen Länge.

13 Denition (3. b)) Eine Folge von kompakten Intervallen (I n ) n N = I 1, I 2, I 3,... heiÿt eine Intervallschachtelung, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (IS1) n N: I n+1 I n (IS2) ε > 0: n N mit I n < ε. Vollständigkeitsaxiom (für R): Zu jeder Intervallschachtelung (I n ) n N in R gibt es eine reelle Zahl, die in jedem der Intervalle I n enthalten ist. Behauptung: Ist (I n ) n N eine Intervallschachtelung in R, so gibt es genau eine reelle Zahl α, sodass n N gilt: α I n.

14 Denition (3. b)) Eine Folge von kompakten Intervallen (I n ) n N = I 1, I 2, I 3,... heiÿt eine Intervallschachtelung, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (IS1) n N: I n+1 I n (IS2) ε > 0: n N mit I n < ε. Vollständigkeitsaxiom (für R): Zu jeder Intervallschachtelung (I n ) n N in R gibt es eine reelle Zahl, die in jedem der Intervalle I n enthalten ist. Behauptung: Ist (I n ) n N eine Intervallschachtelung in R, so gibt es genau eine reelle Zahl α, sodass n N gilt: α I n.

15 Satz (6) (Existenz von Wurzeln aus positiven reellen Zahlen) Für jedes 0 < x R und jedes k N existiert genau eine reelle Zahl y > 0 mit y k = x. Schreibweise: y = k x = x 1 k. Korollar (Denition rationaler Potenzen positiver reeller Zahlen) Es seien 0 < x R und p, p Z, q, q N mit p q = p q = r Q. Dann gilt: q x p = q x p ( =: def x r, ist unabhängig von der Darstellung von r als Bruchzahl).

16 Satz (6) (Existenz von Wurzeln aus positiven reellen Zahlen) Für jedes 0 < x R und jedes k N existiert genau eine reelle Zahl y > 0 mit y k = x. Schreibweise: y = k x = x 1 k. Korollar (Denition rationaler Potenzen positiver reeller Zahlen) Es seien 0 < x R und p, p Z, q, q N mit p q = p q = r Q. Dann gilt: q x p = q x p ( =: def x r, ist unabhängig von der Darstellung von r als Bruchzahl).

17 Satz (7) (Arithmetisch-geometrische Mittelungleichung) Für n N und a 1, a 2,..., a n R 0 gilt: n a1 a 2... a n a 1 + a a n n, und in dieser Ungleichung gilt,,= genau dann, wenn a 1 = a 2 =... = a n. Hilfssatz (zum Beweis): Sind n N und x 1,..., x n R >0 mit x x n = n, so gilt x 1... x n 1, und,,= gilt genau dann, wenn x 1 = x 2 =... = x n = 1.

18 Denition (4) Es sei M R eine Menge reeller Zahlen. a) Eine Zahl m M heiÿt Maximum [bzw. Minimum] von M, wenn für alle x M gilt: x m [bzw. m x]. Schreibweise: m = max(m) [bzw. m = min(m)]. b) Eine reelle Zahl s R heiÿt obere [bzw. untere] Schranke von M, wenn für alle x M gilt: x s [bzw. s x]. c) M heiÿt nach oben [bzw. nach unten] beschränkt, wenn eine obere [bzw. untere] Schranke von M existiert. M heiÿt beschränkt, wenn M nach oben und nach unten beschränkt ist; andernfalls heiÿt M unbeschränkt.

19 Denition (4) (Fortsetzung) d) Eine reelle Zahl s R heiÿt Supremum (oder kleinste obere Schranke) von M, wenn i) s eine obere Schranke von M ist und ii) jedes s R mit s < s keine obere Schranke von M ist. Schreibweise: s = sup(m). Eine reelle Zahl s R heiÿt Inmum (oder gröÿte untere Schranke) von M, wenn i) s eine untere Schranke von M ist und ii) jedes s R mit s < s keine untere Schranke von M ist. Schreibweise: s = inf(m).

20 Satz (8) (Supremumseigenschaft von R) Jede nicht leere Menge M R, die nach oben [bzw. nach unten] beschränkt ist, besitzt ein Supremum [bzw. ein Inmum]. Satz (9) (,,Q liegt dicht in R) Zu jedem x R und jedem 0 < ε R gibt es eine rationale Zahl r Q mit x r < ε.

21 Satz (8) (Supremumseigenschaft von R) Jede nicht leere Menge M R, die nach oben [bzw. nach unten] beschränkt ist, besitzt ein Supremum [bzw. ein Inmum]. Satz (9) (,,Q liegt dicht in R) Zu jedem x R und jedem 0 < ε R gibt es eine rationale Zahl r Q mit x r < ε.

22 2.3 Die komplexen Zahlen Denition (5) Auf der Menge R 2 = {(x, y) x, y R} werde eine Addition und eine Multiplikation wie folgt deniert: Für (x, y), (u, v) R 2 seien (A) (x, y) (u, v) = (x + u, y + v) (M) (x, y) (u, v) = (xu yv, xv + yu) Satz (10) Mit den in Denition 5 denierten Operationen und bildet die Menge R 2 einen Körper (mit Nullelement (0, 0) und Einselement (1, 0)), in dem die Gleichung 2 Lösungen besitzt. z 2 = z z = ( 1, 0)

23 2.3 Die komplexen Zahlen Denition (5) Auf der Menge R 2 = {(x, y) x, y R} werde eine Addition und eine Multiplikation wie folgt deniert: Für (x, y), (u, v) R 2 seien (A) (x, y) (u, v) = (x + u, y + v) (M) (x, y) (u, v) = (xu yv, xv + yu) Satz (10) Mit den in Denition 5 denierten Operationen und bildet die Menge R 2 einen Körper (mit Nullelement (0, 0) und Einselement (1, 0)), in dem die Gleichung 2 Lösungen besitzt. z 2 = z z = ( 1, 0)

24 Denition (6) C = {a + bi a, b R} heiÿt der Körper der komplexen Zahlen. Für eine komplexe Zahl z = x + iy C (mit x, y R) heiÿt: x = R(z) der Realteil von z y = I(z) der Imaginärteil von z z = x iy die zu z konjugiert komplexe Zahl z = x 2 + y 2 der (Absolut-)Betrag von z. z C heiÿt rein imaginär, wenn R(z) = 0 gilt.

25 Satz (11) (Rechenregeln für den Absolutbetrag) Für w, z C gilt: a) z 0 und ( z = 0 z = 0) b) z = z = z z, z + z = 2 R(z), z z = i 2 I(z) c) R(z) z und I(z) z d) z + w = z + w und z w = z w e) z w = z w und z + w z + w (Dreiecksungleichung) Fundamentalsatz der Algebra: Jede Gleichung z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 mit n N und a 0, a 1,..., a n 1 C besitzt eine Lösung in C.