Kapitel 3 Die reellen Zahlen

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1 Kapitel 3 Die reellen Zahlen Inhalt Was Was sind sind reelle Zahlen? Wie Wie viele viele reelle Zahlen gibt gibt es? es? Folgen Was Was sind sind reelle Zahlen? Teil Teil II II Ungleichungen und und Betrag Summen Seite 2

2 3.1 Was sind reelle Zahlen? Eine Eine ausgesprochen schwierige Frage! Wir Wir bezeichnen die die Menge der der reellen Zahlen (von (von der der wir wir noch noch nicht nicht wissen, was was sie sie ist) ist) mit mit R. R. Wir Wir können natürlich Beispiele von von reellen Zahlen angeben: alle alle natürlichen, ganzen, rationalen Zahlen sind sind auch auch reelle Zahlen (d.h. (d.h. R ist ist eine eine Erweiterung von von Q) Q) 2, 2, 5, 5, sind sind reelle Zahlen, π ist ist eine eine reelle Zahl, Zahl, Aber: Wie Wie kann kann man man alle allereellen Zahlen beschreiben??? Seite Beschreibung der reellen Zahlen Wir Wir werden die die reellen Zahlen nicht nicht explizit konstruieren, sondern verschiedene Beschreibungen angeben Beschreibung: Die Die reellen Zahlen füllen füllen die die Zahlengerade lückenlos aus. aus. Dies Dies ist ist die die elementarste, aber aber wichtigste Vorstellung. Wir Wir stellen, dass dass sich sich an an jeder jeder Stelle der der Zahlengeraden eine eine Zahl Zahl befindet. Wenn wir wir mit mit einem unendlich dünnen Messer die die Zahlengerade anschneiden, haben wir wir eine eine reelle Zahl Zahl getroffen. Mit Mit anderen Worten: Die Die reelle Zahlengerade hat hat keine Lücke. Seite 4

3 2. 2. Beschreibung durch Dezimalbrüche Die Die reellen Zahlen sind sind genau die die Dezimalbrüche. Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder oder nichtperiodisch sein. sein. Endliche (abbrechende) Dezimalbrüche sind sind zum zum Beispiel 3,14; 3,14; ; ,35. Bei Bei periodischen Dezimalbrüchen wiederholt sich sich ab ab einer einer gewissen Stelle eine eine gewisse Ziffernfolge ständig. Beispiel: 24,9 24, Wir Wir notieren dies dies wie wie üblich auch auch so: so: 24,9 24, Ein Ein nichtperiodischer Dezimalbruch ist ist einer, der der keine Periode hat. hat. Zum Zum Beispiel sind sind 2 2 und und π keine periodischen Dezimalbrüche. Seite 5 Weitere Beschreibungen Wir Wir werden weitere Beschreibungen der der reellen Zahlen angeben: als als Grenzwerte von von Folgen, durch Dedekindsche Schnitte und und durch die die Supremumseigenschaft. Dazu brauchen wir wir aber aber noch noch einige Vorbereitungen. Bereits jetzt jetzt könne wir wir aber aber beweisen, dass dass es es überabzählbar viele viele reelle Zahlen gibt! gibt! Seite 6

4 3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es? Wir Wir wissen: die die Mengen Z und und Q sind sind gleichmächtig zu zu N sind. sind. Ist Ist auch auch R gleichmächtig zu zu N? N? Oder Oder besitzt R wesentlich mehr mehr Elemente als als N? N? Es Es ist ist eine eine der der großen Leistungen von von Georg Cantor ( ), des des Erfinders der der Mengentheorie, bewiesen zu zu haben, dass dass R wesentlich mehr mehr Elemente wie wie N enthält: Es Es gibt gibt keine Möglichkeit, die die reellen Zahlen zu zu nummerieren! Wir Wir bezeichnen die die Menge der der reellen Zahlen zwischen 0 (einschließlich) und und 1 (ausschließlich) mit mit dem dem Symbol [0, [0, 1). 1). Man Man nennt dies dies ein ein haboffenes Intervall ; dazu dazu später. Seite 7 Überabzählbarkeit von R Satz Satz (Cantor). Es Es gibt gibt keine bijektive Abbildung von von N auf auf [0,1). [0,1). Das Das heißt: Die Die reellen Zahlen zwischen 0 und und 1 sind sind nicht nicht abzählbar. Erst Erst recht recht ist ist die die Menge aller aller reellen Zahlen nicht nicht abzählbar! Beweis. ( Cantorsches Diagonalverfahren ) Der Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir Wir nehmen an, an, dass dass sich sich die die reellen Zahlen zwischen 0 und und 1 abzählen lassen. Es Es gibt gibt also also eine eine erste erste reelle Zahl Zahl r 1 r, 1, eine eine zweite r 2 r, 2, eine eine dritte dritte r 3 r, 3, usw. usw. Seite 8

5 Erster Trick Erster Trick: Wir Wir schreiben die die Zahlen zwischen 0 und und 1 in in dieser Reihenfolge als als Dezimalbrüche auf! auf! rr 1 = 1 0, 0, a 11 a a a a a rr 2 = 2 0, 0, a 21 a a a a a rr 3 = 3 0, 0, a 31 a a a a a rr 4 = 4 0, 0, a 41 a a a a a rr 5 = 5 0, 0, a 51 a a a a a Beispiel: Wenn r 1 r = 1 0, 0, ist, ist, so so ist ist a 11 = 11 0, 0, a 12 = 12 9, 9, a 13 = 13 2 usw. usw. Die Die vierte Nachkommastelle von von r 7 r wird 7 wird mit mit a 74 bezeichnet. 74 Seite 9 Zweiter Trick Zweiter Trick Trick (genial!): Wir Wir konstruieren eine eine reelle Zahl Zahl t t zwischen 0 und und 1, 1, die die nicht nicht in in dieser Liste Liste vorkommt! Dies Dies ist ist ein ein Widerspruch, denn denn die die obige Liste Liste soll soll ja ja alle alle reellen Zahlen zwischen 0 und und 1 enthalten. Konstruktion von von t: t: Die Die Zahl Zahl t t hat hat eine eine Null Null vor vor dem dem Komma und und nach nach dem dem Komma die die Stellen b 1, 1, b 2, 2, b 3, 3, Für Für die die Ziffer b 1 ist 1 ist nur nur verboten, dass dass sie sie gleich a 11 ist. 11 ist. Also Also unterscheidet sich sich t t wenigstens an an der der ersten Nachkommastelle von von r 1 r. 1. Somit ist ist sicher t t rr Die Die Ziffer Ziffer b 2 darf 2 darf nicht nicht gleich a 22 sein. 22 sein. Daher unterscheidet sich sich t t jedenfalls an an der der zweiten Nachkommastelle von von r 2 r; 2 ; somit ist ist t t rr Seite 10

6 Der Widerspruch Und Und so so weiter: Die Die Ziffer Ziffer b i wird i wird so so gewählt, dass dass b i i a ii ist. ii ist. Dann unterscheidet sich sich t t an an der der i-ten i-ten Stelle von von r i r, i, also also ist ist t t rr i. i. So So erhalten wir wir eine eine reelle Zahl Zahl t t = 0, 0, b 1 b 1 2 b zwischen 0 und und Behauptung: Die Die Zahl Zahl t t steht steht nicht nicht in in obiger Liste! Warum? Wenn t t auf auf der der Liste Liste wäre, müsste t t gleich einer einer Zahl Zahl r i rsein. i Wir Wir haben aber aber schon gesehen, dass dass dies dies (wegen b i i a ii ) ii ) nicht nicht der der Fall Fall sein sein kann. Widerspruch! Dieser Widerspruch kommt von von der der Annahme her. her. Also Also ist ist die die Annahme falsch. Daher ist ist die die Menge [0, [0, 1) 1) nicht nicht abzählbar. Seite 11 Folgerungen Definition: Eine Eine unendliche Menge heißt überabzählbar, wenn sie sie nicht nicht abzählbar ist. ist. Wenn eine eine Menge überabzählbar ist, ist, hat hat sie sie also also eine eine höhere Stufe der der Unendlichkeit als als eine eine abzählbare Menge Folgerung. Die Die Menge R der der reellen Zahlen ist ist überabzählbar Folgerung. Es Es gibt gibt unendlich viele, sogar überabz ählbar viele viele irrationale Zahlen! Beweis. Wenn die die Menge der der irrationalen Zahlen abzählbar wäre, dann dann wäre wäre auch auch R abzählbar, denn denn die die Vereinigung von von zwei zwei abzählbaren Mengen ist ist wieder abzählbar: Widerspruch! Also Also muss die die Menge der der irrationalen Zahlen überabzählbar sein. sein. Seite 12

7 3.3 Folgen Definition: Eine Eine Folge reeller Zahlen ist ist eine eine (unendliche) Folge a 1, 1, a 2, 2, a 3, 3,... von von reellen Zahlen a i. i. Beispiele: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, , 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 1/4, 1/4, , 3, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 5, 5, 9, 9, Seite 13 Schreibweisen für Folgen Für Für die die Folge a 1, 1, a 2, 2, a 3, 3,... schreiben wir wir auch auch (a (a n ) n ) oder oder (a (a n ) n ) n N. n N. Beispiele: (n) (n) n N, n N, (1) (1) n N, n N, (( 1) (( 1) n+1 n+1 )) n N n N (1/ (1/ n ) n ) n N. n N. Eine Eine Folge muss nicht nicht mit mit der der Nummer 1 beginnen; auch auch (a (a n ) n ) n n 5 ist 5 ist eine eine Folge. Seite 14

8 Schreibweise Die Die einzige Regel: Für Für jedes n muss klar klar sein, sein, was was a n ist! n ist! Eine Eine Folge kann kann durch eine eine Formel angegeben werden. Man Man kann kann aber aber auch auch zwei zwei (oder mehrere) Formeln verwenden: a n = n 1, 1, falls falls n ungerade ist ist a n = n n, n, falls falls n gerade ist. ist. Man Man kann kann eine eine Folge aber aber auch auch verbal beschreiben: a n ist n ist n 2 2,, falls falls n eine eine Primzahl ist; ist; sonst ist ist a n = n 1, 1, es es sei sei denn denn n = 2005; in in diesem Fall Fall ist ist a n gleich n der der Anzahl der der Hörer der der WGMS IV. IV. Seite 15 Konvergente Folgen: Die Vorstellung Wichtig und und zentral für für die die Analysis ist ist der der Konvergenzbegriff. Vorstellung: Eine Eine Folge konvergiert, wenn die die Folgenglieder einer einer gewissen Zahl Zahl (dem (dem Grenzwert ) beliebig nahe nahe kommen. Diese intuitive Vorstellung wollen wir wir präzisieren. Beispiele: 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 1/4, 1/4, konvergent 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, nicht nicht konvergent 1000, , , 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 1/4, 1/4, konvergent 1, 1, 1/2, 1/2, 1, 1, 1/3, 1/3, 1, 1, 1/4, 1/4, 1, 1, 1/5, 1/5, 1, 1, 1/6, 1/6, 1, 1, 1/7, 1/7, nicht nicht konvergent 1, 1, 1/2, 1/2, 1/4, 1/4, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16, 1/32, konvergent Seite 16

9 Konvergente Folgen: Beschreibungen Was Was bedeutet konvergent? Wir Wir beschreiben dieses Phänomen in in sechs Schritten mit mit zunehmender mathematischer Präzision. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge und und a eine eine reelle Zahl. Zahl Beschreibung. Eine Eine Folge von von Punkten der der Zahlengerade nähert sich sich immer mehr einem Punkt Beschreibung. Eine Eine Folge konvergiert, wenn sie sie einen Grenzwert hat. hat Beschreibung. Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert gegen den den Grenzwert a, a, wenn die die Folgenglieder a n mit n mit wachsendem n der der Zahl Zahl a immer näher kommen. Seite 17 Definition Beschreibung. Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert gegen den den Grenzwert a, a, wenn in in jeder jeder noch noch so so kleinen Umgebung von von a fast fast alle alle Folgenglieder a n liegen. n Beschreibung (und (und schon fast fast die die formale Definition): Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert gegen den den Grenzwert a, a, wenn für für jedes (noch so so kleine) ε > 0 ab ab einer einer gewissen Nummer N alle alle Folgenglieder höchsten den den Abstand ε von von a haben Beschreibung (die (die formale Definition): Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert gegen eine eine reelle Zahl Zahl a (ihren Grenzwert), wenn es es für für jede jede reelle Zahl Zahl ε > 0 eine eine Nummer N gibt, gibt, so so dass dass für für alle alle Folgenglieder a n n mit mit n N die die Ungleichung a a n a n a < ε gilt. gilt. Seite 18

10 Beispiele (a) (a) Die Die Folge (1/n) (1/n) konvergiert und und hat hat den den Grenzwert a = Denn für für alle alle ε > 0 existiert ein ein N mit mit 1/N 1/N < ε. ε. Dann gilt gilt 1/N 1/N 0 0 = 1/N 1/N 0 = 1/N 1/N < ε Erst Erst recht recht gilt gilt dann dann für für alle alle n N: N: 1/n 1/n 0 0 = 1/n 1/n 0 = 1/n 1/n < 1/N 1/N < ε. ε. (b) (b) Die Die Folge ((n 1)/n) konvergiert und und hat hat den den Grenzwert Denn sei sei ε > 0 beliebig. Dann existiert ein ein N mit mit 1/N 1/N < ε. ε. Also Also ist ist (N 1)/N 1 1 = 1/N = 1/N = 1/N 1/N < ε. ε. Dann gilt gilt auch auch für für alle alle n N: N: (n 1)/n 1 1 = 1/n = 1/n = 1/n 1/n 1/N 1/N < ε. ε. Seite 19 Wann konvergiert eine Folge nicht? Auch Auch das das werden wir wir auf auf verschiedenen Sprachebenen beschreiben Beschreibung: Eine Eine Folge konvergiert nicht, wenn sie sie keinen Grenzwert hat. hat Beschreibung: Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert nicht, wenn es es keine reelle Zahl Zahl gibt, gibt, der der die die Folgenglieder an an mit mit wachsendem n immer näher kommen Beschreibung: Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert nicht, wenn es es für für jede jede Zahl Zahl a eine eine kleine Umgebung von von a gibt, gibt, so so dass dass außerhalb unendlich viele viele Folgenglieder an an liegen. Seite 20

11 Formale Beschreibung Beschreibung: Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert nicht, wenn es es für für jede jede reelle Zahl Zahl a ein ein ε > 0 gibt, gibt, so so dass dass unendlich viele viele Folgenglieder a n außerhalb der der ε-umgebung von von a liegen. a n Beschreibung (formal): Die Die Folge (a (a n ) n ) konvergiert nicht, wenn es es für für alle alle reellen Zahlen a ein ein ε > 0 gibt, gibt, so so dass dass für für jede jede Nummer N gilt: gilt: Es Es gibt gibt ein ein Folgenglied a n mit n mit n N, N, für für das das die die Ungleichung a a n a n a > ε gilt. gilt. Wenn eine eine Folge nicht nicht konvergiert, sagt sagt man man auch, sie sie divergiert. Seite 21 Beispiele (a) (a) Die Die Folge 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, divergiert (konvergiert nicht). Denn wir wir wählen ε = Dann haben für für jede jede reelle Zahl Zahl a unendlich viele viele Folgenglieder einen Abstand größer als als ε (= (= 1) 1) von von a. a. Dies Dies sind sind alle alle Folgenglieder, die die größer als als a+1 a+1 oder oder kleiner als als a 1 a 1 sind. sind. (b) (b) Die Die Folge 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, konvergiert nicht. Denn wir wir wählen ε = 1/4. 1/4. Dann haben für für jede jede reelle Zahl Zahl a die die Folgenglieder 1 oder oder die die Folgenglieder 1 1 einen Abstand > 1/4. 1/4. Also Also kann kann keine Zahl Zahl a ein ein Grenzwert dieser Folge sein. sein. Seite 22

12 Cauchy-Folge Frage: Kann man man die die Konvergenz einer einer Folge auch auch erkennen, wenn man man den den Grenzwert nicht nicht kennt? Definition. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine Folge. Man Man sagt, sagt, dass dass (a (a n ) n ) eine eine Cauchy- Folge ist ist bzw. bzw. dass dass die die Verdichtungseigenschaft gilt, gilt, wenn es es für für jedes (noch so so kleine) ε > 0 eine eine Nummer N so so gibt, gibt, dass dass für für alle alle Folgenglieder an an und und am am mit mit n, n, m N die die Ungleichung a a n a n a n n < ε gilt. gilt. (A.-L. Cauchy, franz.mathematiker, ) Vorstellung: Späte Glieder der der Folge kommen sich sich immer näher. Seite 23 Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen Satz. Jede Jede konvergente Folge ist ist eine eine Cauchy-Folge. Beweis. Sei Sei (a (a n ) n ) eine eine konvergente Folge mit mit Grenzwert a. a. Idee: Idee: Da Da sich sich späte Glieder der der Folge immer weniger vom vom Grenzwert unterscheiden, können sich sich diese Glieder auch auch untereinander nicht nicht stark stark unterscheiden. Genauer gesagt: Der Der Abstand zweier Folgenglieder a n, n, a m kann kann höchstens doppelt so so groß groß sein sein wie wie der der Abstand von von a n bzw. n bzw. a m von von a. a. Seite 24

13 Beweis Dies Dies beschreiben wir wir nun nun genauer: Sei Sei ε eine eine beliebige reelle Zahl Zahl > Wir Wir wenden die die Definition der der Konvergenz von von (a (a n ) n ) auf auf ε/2 ε/2 an. an. Dann gibt gibt es es eine eine Nummer N, N, so so dass dass für für alle alle Folgenglieder a n mit n mit n N die die Ungleichung a a n a n a < ε/2 ε/2 gilt. gilt. Seien nun nun n,m n,m N. N. Dann gilt: gilt: a a n a n a m a a n a n a + a a m < ε/2 ε/2 + ε/2 ε/2 = ε. ε. Also Also gilt gilt die die Verdichtungseigenschaft. Somit ist ist (a (a n ) n ) eine eine Cauchy- Folge. Seite 25 Vollständigkeit von R Mit Mit Cauchy-Folgen kann kann man man nicht nicht nur nur konvergente Folgen beschreiben, deren Grenzwert man man nicht nicht kennt, sondern auch auch solche, von von denen es es den den Grenzwert bislang gar gar nicht nicht gibt. gibt. Man Man kann kann die die reellen Zahlen auch auch so so einführen, dass dass man man fordert, dass dass jede jede Cauchy-Folge konvergiert. Man Man spricht von von der der Vollständigkeit der der reellen Zahlen. Dies Dies soll soll im im folgenden geschehen. Seite 26

14 3.4 Was sind reelle Zahlen II II Wir Wir werden jetzt jetzt noch noch drei drei mathematische Beschreibungen der der entscheidenden Eigenschaften der der reellen Zahlen angeben. Alle Alle drei drei Beschreibungen sind sind mathematisch gleichwertig, aber aber aus aus begrifflicher sicht sicht unterschiedlich schwierig zu zu verstehen. Wir Wir fordern drei drei verschiedene Dinge von von den den reellen Zahlen: Man Man soll soll wie wie gewohnt mit mit ihnen rechnen können, sie sie sollen sinnvoll bezüglich < geordnet sein sein und und sie sie sollen lückenlos sein. sein. Grundforderung: Die Die reellen Zahlen sollen mit mit + und und einen Körper bilden. Das Das heißt: Man Man kann kann mit mit + und und wie wie üblich rechnen. Seite 27 Vollständigkeit Beschreibung: Die Die Menge der der reellen Zahlen ist ist vollständig. Das Das bedeutet, dass dass jede jede Cauchy-Folge in in R konvergiert. Die Die Bedeutung dieses Axioms ist ist für für uns uns im im Augenblick noch noch kaum abschätzbar. Tatsache ist, ist, dass dass die die Analysis ohne ohne dieses (oder ein ein äquivalentes) Axiom nicht nicht funktionieren würde. Damit sind sind nicht nicht nur nur die die Grenzwerte der der konvergenten Folgen reelle Zahlen, sondern umgekehrt: Wir Wir fordern, dass dass jede jede Folge, die die konvergieren könnte (Cauchy -Folge) auch auch tatsächlich konvergiert! Mit Mit anderen Worten: Die Die meisten reellen Zahlen existieren (zunächst) nur nur als als Grenzwerte von von Cauchy-Folgen. Seite 28

15 Anordnung Auf Auf R gibt gibt es es eine eine Relation < mit mit folgenden Eigenschaften: Für Für je je zwei zwei reelle Zahlen a und und b gilt gilt a < b, b, a = b oder oder a > b. b. Wenn für für drei drei reelle Zahlen a, a, b und und c gilt gilt a < b und und b < c, c, so so gilt gilt auch auch a < c. c. (Transitivität von von <.) <.) Seien a und und b reelle Zahlen mit mit a < b. b. Dann gilt gilt für für jede jede reelle Zahl Zahl r: r: a + r r < b + rr Ferner gilt gilt für für jede jede positive reelle Zahl Zahl r: r: a r a r < b r. b r. Für Für jede jedenegative reelle Zahl Zahl r r gilt: gilt: a r a r > b r. b r. (Monotoniegesetze für für Addition und und Multiplikation) Seite 29 Dedekindscher Schnitt Durch jede jede reelle Zahl Zahl s kann kann man man die die Menge R in in zwei Hälften A und und B zerschneiden. Dazu definieren wir wir A = {r {r R r r < s} s} und und B = {r {r R r r s}. s}. Dann haben die die Mengen A und und B folgende Eigenschaften: A und und B sind sind nicht nicht leer. leer. A B = R. R. Für Für alle alle a A und und alle alle b B gilt gilt a < b. b. Jedes Paar Paar A, A, B von von Mengen reeller Zahlen mit mit diesen Eigenschaften heißt ein ein Schnitt (auch: Dedekindscher Schnitt); Richard Dedekind ( ). Seite 30

16 Beispiel Bei Bei einem Schnitt, der der so so konstruiert ist, ist, heißt heißt s die die Trennungszahl. Beispiel: Im Im Falle Falle s = 2 2 geben wir wir einige Elemente von von A und und B an: an: 10; 10; 1; 1; 1,3; 1,3; 1,4; 1,4; 1,41 1,41 A, A, 1,42; 1,42; 1,415 B. B. Ein Ein Schnitt hat hat praktische Konsequenzen: Jede Jede Zahl, Zahl, die die in in A oder oder B liegt, liegt, ist ist eine eine untere bzw. bzw. obere Abschätzung der der Zahl Zahl s. s. Seite 31 Schnittaxiom Beschreibung: Jeder Schnitt besitzt genau eine eine Trennungszahl. Das Das heißt: Wenn immer wir wir nichtleere Mengen A und und B finden, die die zusammen alle alle reellen Zahlen enthalten und und die die Eigenschaft haben, dass dass jedes Element aus aus A kleiner ist ist als als jedes Element aus aus B, B, dann dann gibt gibt es es eine eine reelle Zahl Zahl s, s, so so dass dass A und und B durch Trennung der der Menge der der reellen Zahlen an an der der Schnittzahl s entstehen! Das Das Schnittaxiom ist ist die die mathematisch präzise Formulierung der der anschaulichen Vorstellung, dass dass an an jeder jeder Stelle ( wo ( wo immer man man durchschneidet ) der der Zahlengerade eine eine reelle Zahl Zahl liegt. liegt. Seite 32

17 Obere Schranke Definition. Sei Sei M eine eine Menge reeller Zahlen. Eine Eine reelle Zahl Zahl a heißt heißt eine eine obere Schranke von von M, M, falls falls gilt gilt a m für für alle alle m M. M. M heißt heißt nach oben beschränkt, falls falls M eine eine obere Schranke hat. hat. Beispiele: (a) (a) Die Die Menge M = {1, {1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3,...}...} ist ist nach nach oben oben beschränkt; obere Schranken sind sind z.b. z.b. 1, 1, 5, 5, usw. usw. (b) (b) Die Die Menge N = {0, {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...}...} ist ist nicht nicht nach nach oben oben beschränkt. Ebenso sind sind Z, Z, R, R, Q nicht nicht nach nach oben oben beschränkt. (c) (c) Jede Jede endliche Menge M ist ist nach nach oben oben beschränkt: Das Das größte Element (Maximum) von von M ist ist eine eine obere Schranke. (Achtung: unendliche Mengen haben meist kein kein größtes Element!) Seite 33 Untere Schranke Definition. Eine Eine reelle Zahl Zahl a heißt heißt eine eine untere Schranke von von M, M, falls falls gilt gilt a m für für alle alle m M. M. Die Die Menge M heißt nach unten beschränkt, falls falls M eine eine untere Schranke besitzt. Beispiele: (a) (a) Die Die Menge M = {1, {1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3,...}...} ist ist nach nach unten beschränkt; untere Schranken sind sind zum zum Beispiel 0, 0, 1, 1, 1000 usw. usw. (b) (b) Die Die Menge N = {0, {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...}...} ist ist nicht nicht nach nach unten beschränkt. Aber Aber Z, Z, R, R, Q sind sind nicht nicht nach nach unten beschränkt. (c) (c) Jede Jede endliche Menge ist ist nach nach unten beschränkt: Das Das kleinste Element (Minimum) von von M ist ist eine eine untere Schranke. Seite 34

18 Supremum Es Es ist ist keine Kunst, große obere Schranken zu zu finden; die die Kunst ist, ist, möglichst kleine obere Schranken zu zu finden. Definition. Eine Eine reelle Zahl Zahl s heißt heißt kleinste obere Schranke (Supremum) von von M, M, falls falls (1) (1) s eine eine obere Schranke von von M ist, ist, und und (2) (2) s die die kleinste obere Schranke von von M ist. ist. Die Die Bedingung (2) (2) heißt, dass dass keine Zahl Zahl s' s' < s eine eine obere Schranke von von M ist. ist. Technisch ausgedrückt: Für Für jede jede reelle Zahl Zahl s' s' < s gibt gibt es es ein ein m M mit mit s' s' < m. m. (Das (Das Element m ist ist ein ein Zeuge dafür, dass dass s' s' keine obere Schranke ist.) ist.) Wir Wir schreiben auch auch s = sup(m). Seite 35 Beispiel Das Das Supremum der der Menge M = {9/10, 99/100, 999/1000,...}...} ist ist Denn (1) (1) ist ist 1 eine eine obere Schranke von von M. M. Zum Zum Nachweis der der Bedingung (2) (2) betrachten wir wir eine eine beliebige reelle Zahl Zahl s' s' < Dann gibt gibt es es immer ein ein Element m der der Menge M mit mit s' s' < m. m. Bemerkung. sup(m) muss nicht nicht in in der der Menge M liegen. Wenn s = sup(m) in in M liegt, liegt, nennt man man das das Element s auch auch das das Maximum von von M. M. Seite 36

19 Infimum Definition. Wir Wir nennen eine eine reelle Zahl Zahl s größte untere Schranke (Infimum) von von M, M, falls falls (1) (1) s eine eine untere Schranke von von M ist, ist, und und (2) (2) s die die größte untere Schranke von von M ist. ist. Die Die Bedingung (2) (2) bedeutet, dass dass keine Zahl Zahl s' s' > s eine eine untere Schranke von von M ist. ist. Das Das heißt heißt :: Für Für jede jede reelle Zahl Zahl s' s' > s gibt gibt es es ein ein m M mit mit s' s' > m. m. (Das (Das Element m ist ist ein ein Zeuge dafür, dass dass s' s' keine untere Schranke ist.) ist.) Wir Wir schreiben auch auch s = inf(m). Seite 37 Supremumsprinzip Klar: Klar: Eine Eine nach nach oben oben unbeschränkte Menge hat hat kein kein Supremum. (Denn eine eine solche Menge hat hat keine obere Schranke, erst erst recht recht keine kleinste obere Schranke.) Das Das Supremumsprinzip sagt, sagt, dass dass ansonsten jede jede Menge ein ein Supremum hat. hat Beschreibung. Jede Jede nichtleere, nach nach oben oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat hat ein ein eindeutig bestimmtes Supremum. Entsprechend gilt gilt auch auch Infimumsprinzip. Jede Jede nichtleere, nach nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen hat hat ein ein Infimum. Seite 38

20 Satz des Archimedes Satz Satz des des Archimedes. Zu Zu jeder jeder reellen Zahl Zahl r r gibt gibt es es eine eine natürliche Zahl Zahl n mit mit n > r. r. Mit Mit anderen Worten: Die Die Menge der der natürlichen Zahlen ist ist unbeschränkt. Beweis. Angenommen, N wäre wäre beschränkt. Dann gäbe gäbe es es nach nach dem dem Supremumsprinzip sup(n); dieses nennen wir wir s. s. Dann ist ist s 1 s 1 keine obere Schranke von von N. N. Also Also muss es es eine eine natürliche Zahl Zahl n geben mit mit n > s 1. s 1. (Sonst wäre wäre s 1 s 1 eine eine obere Schranke für für N.) N.) Also Also ist ist s < n+1. n+1. Also Also wäre wäre s kleiner als als die die natürliche Zahl Zahl n+1, n+1, und und somit wäre wäre s keine obere Schranke von von N. N. Archimedes (287 (287 v. v. Chr. Chr v. v. Chr.) Chr.) Seite 39 Satz des Eudoxos Satz Satz des des Eudoxos. Zu Zu jedem ε > 0 gibt gibt es es ein ein n N mit mit 1/n 1/n < ε. ε. Beweis. Nach dem dem Satz Satz des des Archimedes gibt gibt es es ein ein n N mit mit n > 1/ε. 1/ε. Dann ist ist ε > 1/n. 1/n. Eudoxos (400 (400 v. v. Chr. Chr v. v. Chr.) Chr.) Seite 40

21 3.5 Betrag und Ungleichungen Definition. Für Für eine eine reelle Zahl Zahl a definieren wir wir a a = a, a, falls falls a 0 a a = a, a, falls falls a < Wir Wir nennen a a den den Betrag der der reellen Zahl Zahl a. a. Beispiele: 1000 = 1000, 35 = 35, 35, 0 0 = 0, 0, 0,1 = 0,1 0,1.. Seite 41 Eigenschaften der Betragsfunktion Satz. Die Die Betragsfunktion hat hat folgende Eigenschaften: a a 0 mit mit a a = 0 genau dann, wenn a = 0 ist. ist. ab ab = a b. a+b a a + b. b. Beweis. (a) (a) Nach Definition ist ist a a nie nie negativ. Klar: Klar: 0 0 = Wenn a a = 0 ist, ist, ist ist nach nach Definition a Also Also ist ist a = a ; a ; da da a a = 0 ist, ist, muss also also a = 0 sein. sein. Seite 42

22 Beweis (b) (b) (b) Wenn eine eine der der Zahlen a, a, b Null Null ist, ist, sind sind beide Seiten gleich Null. Null. Seien also also a 0 und und b Wir Wir unterscheiden vier vier Fälle Fall: Fall: a, a, b > Dann ist ist auch auch ab ab > 0, 0, also also ab ab = ab ab = a b Fall: Fall: a > 0, 0, b < Dann ist ist auch auch ab ab < 0, 0, also also ab ab = ab ab = a ( b) = a b Fall: Fall: a < 0, 0, b > Analog zu zu Fall Fall Fall: Fall: a, a, b < Dann ist ist ab ab > 0, 0, also also ab ab = ab ab = ( a)( b) = a b. Seite 43 Beweis (c) (c) (c) (c) Wenn a und und b beide positiv oder oder beide negativ sind, sind, dann dann gilt gilt a+b = a a + b. b. Sei Sei also also eine eine der der beiden Zahlen, sagen wir wir a, a, positiv, die die andere (also (also b) b) negativ. Dann ist ist a+b a a (falls (falls b b a ) a ) oder oder a+b b b (falls (falls a a b ). In In jedem Fall Fall ist ist a+b a a + b. b. Bemerkung: Für Für jede jede reelle Zahl Zahl gilt gilt a a = a. Insbesondere gilt gilt für für je je zwei zwei reelle Zahlen a und und b: b: a b = b a. Seite 44

23 Ungleichung vom Mittelwert Satz Satz (Ungleichung vom vom arithmetischen Mittel). Seien a und und b reelle Zahlen mit mit a b. b. Dann gilt: gilt: a (a+b)/2 b. b. Beweis. Wir Wir zeigen 2a 2a a+b a+b und und a+b a+b 2b. 2b. Zunächst folgt folgt 2a 2a = a+a a+a a+b, a+b, da da a b. b. Entsprechend ergibt sich sich a+b a+b b+b b+b = 2b, 2b, da da a b ist. ist. Durch Multiplikation mit mit ½ ergibt sich sich daraus die die Behauptung. Seite 45 Das arithmetische Mittel Allgemein gilt: gilt: Satz. Seien a 1, 1, a 2, 2,..., a n reelle n Zahlen, wobei a 1 die 1 die kleinste dieser Zahlen (das (das Minimum) und und a n die n die größte (das (das Maximum) ist. ist. Dann gilt: gilt: a1 + a an a 1 1 a n. n. n Beweis: Übungsaufgabe. a + a Bemerkung: Man Man nennt n Zahlen a 1, 1, a 2, 2,..., a n. n. 1 + a n das das arithmetische Mittel der der Seite 46

24 Das geometrische Mittel Man Man nennt die die Zahl Zahl ab das das geometrische Mittel der der positiven reellen Zahlen a und und b. b. Zum Zum Beispiel ist ist das das geometrische Mittel der der Zahlen 2 und und 8 gleich Satz Satz (Ungleichung zwischen arithmetischem und und geometrischem Mittel). Seien a und und b nichtnegative reelle Zahlen. Dann gilt: gilt: ab (a+b)/2.. Kurz: Das Das geometrische Mittel ist ist nie nie größer als als das das arithmetische. Seite 47 Beweis der Ungleichung (I) (I) Beweis. Wir Wir können a 0 und und b 0 voraussetzen. Wir Wir formen die die Behauptung schrittweise äquivalent um: um: ab (a+b)/2 ab ab ((a+b)/2) 2 2 ab ab (a+b) 2 2 // 4 4ab 4ab (a+b) 2 2 4ab 4ab a ab 2ab + b a 2 2 2ab 2ab + b (a b) (a b) 2.. Seite 48

25 Beweis der Ungleichung (II) (II) Diese letzte Ungleichung 0 (a b) 2 2 ist ist aber aber richtig, da da das das Quadrat jeder jeder reellen Zahl Zahl positiv oder oder Null Null ist; ist; also also ist ist das das Quadrat von von a b a b auch auch nichtnegativ. Da Da die die letzte Ungleichung gilt, gilt, gilt gilt auch auch die die erste, also also gilt gilt die die Behauptung. Achtung: Bei Bei dieser Art Art der der Beweisführung muß muß man man darauf achten, daß daß wirklich alle alle Umformungen Äquivalenzumformungen sind. sind. Das Das heißt: Aus Aus der der oberen folgt folgt die die untere und undaus der der unteren folgt folgt die die obere. Seite Summen Wir Wir werden oft oft viele viele reelle Zahlen addieren. Zum Zum Beispiel: n, n, n n,, a a a n. n. Diese Summen kann kann man man auf auf zwei zwei Arten darstellen: Drei-Pünktchen-Schreibweise. Diese Schreibweise ist ist suggestiv und und oft oft unmittelbar verständlich. Nachteil: das das Muster der der einzelnen Terme ist ist nicht nicht explizit klar. klar. Zum Zum Beispiel ist ist nicht nicht klar, klar, ob ob n n eine eine Summe aus aus n+1 n+1 oder oder aus aus 2 n n Gliedern ist. ist. Seite 50

26 Die S-Notation Die Die S- S-Notation ( sigma ). Diese ist ist eine eine Abkürzung für für eine eine Summe. Wir Wirdefinieren n a k = a a a n. n. k= 1 Vorteil: Man Man kann kann den den allgemeinen Term durch eine eine Formal angeben. Zum Zum Beispiel können wir wir ohne ohne weiteres zwischen den den Summen n 2 k 2 und und k= 0 n k k= 1 unterscheiden. Seite 51 Der Summationsindex Die Die Variable k wird wird als alssummationsindex bezeichnet. Statt Statt k wird wird oft oft auch auch i i oder oder n geschrieben. Der Der Summationsindex muss nicht nicht bei bei 1 anfangen und und nicht nicht bei bei n aufhören. Auch Auch Ausdrücke der der Form 5 a k,, bk oder oder c k k= 3 k=10 k= haben ihren ihren Sinn. Sinn. Häufig gibt gibt man man den den Summationsindex nicht nicht direkt, sondern durch eine eine Bedingung unter den den Σ-Zeichen an. an. Beispiel: n 2k statt 2k. 0 k n Der Der Vorteil dieser Schreibweise liegt liegt in in einer einer sehr sehr hohen Flexibilität. k= 0 Seite 52