< hergeleitet. < war nach 1.9 mit Hilfe von Rechenregeln für

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1 2 Angeordnete Körper 2.1 Grundrechenregeln für < in einem angeordneten Körper 2.3 Weitere Rechenregeln für < und 2.4 Positive und negative Elemente 2.5 Ungleichung des arithmetischen Mittels 2.7 Betrag und dessen Grundeigenschaften 2.8 Folgerungen aus den Betragsregeln In diesem Paragraphen sei K immer ein angeordneter Körper. Es werden also nur die in 1.14, (ii) und (iii) angegebenen Bedingungen vorausgesetzt. Alle Ergebnisse dieses Paragraphen gelten damit jedoch insbesondere für den Körper R der reellen Zahlen. Als erstes werden die Grundrechenregeln für die Kleiner-Relation < hergeleitet. < war nach 1.9 mit Hilfe von definiert worden. Die Beweise für die Rechenregeln für < werden daher aus den Regeln für das Rechnen mit in einem angeordneten Körper hergeleitet. 2.1 Grundrechenregeln für < in einem angeordneten Körper Für a, b K gilt genau eine der drei Beziehungen: a < b, a = b, a > b. Sind a, b, c K, so gilt: (ii) a < b b < c a < c. (iii) (A) a < b a + c < b + c, (M) a < b 0 < c ac < bc. Beweis. In einem angeordneten Körper ist eine lineare Ordnung (siehe (ii) der Definition 1.14 eines angeordneten Körpers). Nach 1.10 gelten daher und (ii). (iii) Nach 1.14(iii)(A) folgt aus a < b zunächst a+c b+c. Wäre a+c = b+c, so folgte a = b, im Widerspruch zu a < b. C 1 [2] 1

2 Kapitel I Reelle Zahlen Nach 1.14(iii)(M) folgt aus a 0; a b b a 0. (ii) a < 0 a > 0; a 0 a 0. (iii) a > 0 a < 0; a 0 a 0. (iv) a . a 0 0 0 b < a. Die Beziehungen mit folgen nun unmittelbar aus den Beziehungen mit <. Z.B. gilt a b (a = b a < b) (b a = 0 b a > 0) b a 0. Wir schreiben im folgenden abkürzend: a b c für (a b b c). 2.3 Weitere Rechenregeln für < und Sind a, b, c, d K, so gilt: a b c d a + c b + d; (ii) a 0 b 0 a + b > 0; (iii) (0 a b) (0 c d) ac bd; (iv) (0 a < b) (0 < c d) ac < bd; Insbesondere: a > 0 b > 0 ab > 0; (v) a b c 0 ac bc; [2] 2 C 1

3 Angeordnete Körper (vi) a bc; (vii) (a 2 := a a 0) (a 0 a 2 > 0); (viii) (ix) (x) (xi) 1 > 0 (a + 1 > a); 0 < a 0 < 1/a; 0 < a 0 a/c < b/c. Beweis. a b = 1.14(iii)(A) a + c b + c, c d = 1.14(iii)(A) c + b d + b. Aus der Transitivität von folgt a + c b + d. (ii) Ist c = d, so folgt die Behauptung aus (A). Im Fall c < d aus der Transitivität von < (siehe 2.1(ii)) und a < b = a + c < b + c; c < d = b + c < b + d. Setze a := 0 und c := 0 in (ii); dann folgt aus 0 < b 0 d auch 0 < b + d. (iii) a b 0 c = ac bc; 1.14(iii)(M) c d 0 b = cb db. 1.14(iii)(M) Aus der Transitivität von folgt daher ac bd. (iv) a 0 c > 0 bc > 0. (v) a b c 0 = 2.2(ii) a b 0 c, = a( c) b( c) ac bc = bc ac. 1.14(iii)(M) 2.2(iv) (vi) a 0 = a 2 > 0; a < 0 a > 0 a 2 = ( a) 2 > 0. (iv) (iv) C 1 [2] 3

4 Kapitel I Reelle Zahlen (viii) Aus 1 0 folgt nach (vii), daß 1 = 1 2 > 0 ist. Aus 0 < 1 folgt a = 0 + a < 1 + a. (ix) Wegen a 0 existiert 1/a 0. Wäre 1/a < 0, so würde aus 0 < a folgen: 1 = a 1/a < 0; im Widerspruch zu (viii). (x) 0 < a 0 = (ix) a < b 0 < 1/c = a/c < b/c. Aus 2.3 folgt insbesondere: Die Gleichung t = 0 besitzt keine Lösung t in einem angeordneten Körper K. Denn für jedes t K gilt t 2 0 (siehe 2.3 (vii)) und somit wegen 0 < 1 (siehe 2.3(viii)) 0 < 1 + t (ii) (Da in den komplexen Zahlen i = 0 gilt, können die komplexen Zahlen auf keine Weise zu einem angeordneten Körper gemacht werden.) 2.4 Positive und negative Elemente Ein a K heißt positiv, wenn a > 0 ist. K + := {a K : a > 0} ist also die Menge der positiven Elemente von K. a K heißt negativ, wenn a < 0 ist. K := {a K : a < 0} ist also die Menge der negativen Elemente von K. Ein a K heißt nicht-negativ, wenn a 0 ist. nicht-positiv, wenn a 0 ist. (ii) (iii) a b > 0 Ein a K heißt die Faktoren a, b sind entweder beide positiv oder beide negativ. a b < 0 einer der Faktoren ist positiv, der andere negativ. Für b 0 gilt: a/b > 0 a und b sind entweder beide positiv oder beide negativ. Beweis. : 0 < ab a > 0 = 2.3(xi) 0 < ab a = b; 0 < ab b > 0 = 2.3(xi) 0 < a b b = a. [2] 4 C 1

5 Angeordnete Körper Ist also einer der beiden Faktoren a, b positiv, so auch der andere. Aus a b > 0 folgt a b 0 und somit a 0, b 0. Ist also keiner der beiden Faktoren positiv, so müssen beide negativ sein. : Sind a, b > 0, so folgt a b > 0 nach 2.3(iv). Sind a, b < 0, so folgt: (a b) = ( a) ( b) > 0. (ii) a b < 0 a ( b) > 0 a, b K + a, b K einer der 2.2(ii) Faktoren ist positiv, der andere negativ. (iii) a 1/b = a/b > 0 [(a, 1/b K + ) ( a, 1/b K + )] 2.3(ix) [(a, b K + ) ( a, b K + )] [(a, b K + ) (a, b K )]. 2.5 Ungleichung des arithmetischen Mittels Es seien a, b K und a < b. Ferner sei λ K mit 0 < λ < 1. Dann gilt: Insbesondere gilt mit 2 := a < λa + (1 λ)b < b. a < a+b 2 < b. Ist umgekehrt c K mit a < c 0 und 1 λ > 0 (benutze (A)). Da a 2.3(viii) 1 > 2.3(viii) 0. Also folgt 0 < 2.3(ix) 1/2 < 2.3(x) 1. Daher ergibt sich die Aussage über das arithmetische Mittel aus dem eben Bewiesenen mit λ := 1/2. Sei c K mit a < c < b. Dann folgt 0 < 2.2 b c < 2.2(iv), b a. Aus 2.4(iii) und 2.3(xi) folgt dann 0 < b a b c b c < 1. Setze λ := b a. Dann ist λa + (1 λ)b = (b c)a+(c a)b b a = c. 2.6 Dazwischenliegen Sind a, b, c K, so sagt man c liegt zwischen a und b, wenn gilt: min({a, b}) < c < max({a, b}) Zwischen zwei verschiedenen Elementen von K liegt stets ein weiteres Element von K. C 1 [2] 5

6 Kapitel I Reelle Zahlen Beweis. Man bezeichne das kleinere der beiden Elemente mit a, das größere mit b. Dann folgt mit c := a+b 2 K nach 2.5: a < c < b. 2.7 Betrag und dessen Grundeigenschaften Für a K heißt der Betrag von a. Für alle a, b K gilt: a := max({ a, a}) = { a, falls a 0, a, falls a < 0, a 0, wobei a = 0 a = 0 (Definitheit); (ii) a b = a b (Multiplikativität); (iii) a + b a + b (Dreiecksungleichung). Beweis. Ist a 0, so ist a 0 und daher max({ a, a}) = a( 0). Ist a < 0, so ist a > 0 und daher max({ a, a}) = a( 0). Dies beweist die Darstellung von max({ a, a}). Die Vorüberlegung zeigt, daß a = max({ a, a}) 0 ist. Sei a = 0. Wäre a > 0, so wäre a = a > 0. Wäre a < 0, so wäre a = a > 0. Also muß a = 0 sein. Ist a = 0, so gilt a = a = 0. (ii) Ist a b = 0, so folgt a = 0 oder b = 0 und somit a = 0 oder b = 0. Also gilt: a b = 0 = a b. Ist a b > 0, so sind a > 0 und b > 0 oder a < 0 und b < 0 (siehe 2.4). Es folgt daher: { a b, für a, b > 0, a b = a b = ( a) ( b) = a b, für a, b < 0. Ist a b < 0, so sind a > 0 und b < 0 oder a < 0 und b > 0 (siehe 2.4(ii)). Es folgt daher { a ( b) = a b, falls a > 0, b < 0, a b = (a b) = ( a) b = a b, falls a < 0, b > 0. (iii) Es sind a, a a und b, b b. Also gilt (a + b), a + b a + b. 2.3 Also ist a + b = max({a + b, (a + b)}) a + b. [2] 6 C 1

7 Angeordnete Körper 2.8 Folgerungen aus den Betragsregeln Für a, b K gilt: (ii) (iii) (iv) a = a ; a b = b a ; { a b, a b a + b ; b 0 a b = a b. Beweis. a = ( 1)a = 1 a = 2.7(ii) (ii) a b = (a b) = b a. 2.3(viii) 1 a = a. (iii) a = (a b) + b 2.7(iii) a b + b, also ist a b a b. Folglich ist auch ( a b ) = b a b a = a b. Also gilt (ii) a b = max{ a b, ( a b )} a b. Die zweite Ungleichung in (iii) folgt aus der ersten, indem man für b den Wert b einsetzt und berücksichtigt. (iv) Für b 0 ist a 1/b b = 2.7(ii) (a 1/b) b = a, also gilt (iv). 2.9 Betrag und Kleiner-Relation Sei ε K +. Dann gilt für a, b K : a < ε ε < a < ε; (ii) b a < ε a ε < b < a + ε. (iii) Die Aussagen und (ii) bleiben richtig, wenn überall < durch ersetzt wird. Beweis. a < ε (a < ε a < ε) a =max({ a,a}) ε < a < ε. 2.2(iv) (ii) b a < ε ε < b a < ε a ε < b < a + ε. (a < ε ε < a) (iii) Wegen b a ε ( b a < ε b a = ε) folgt (iii) aus (ii) bzw. aus. Ist T eine Teilmenge der linear geordneten Menge (M :=)K, so läßt sich die Beschränktheit, die in 1.3 definiert war, mit Hilfe des Betrages ausdrücken. C 1 [2] 7

8 Kapitel I Reelle Zahlen 2.10 Beschränktheit von Teilmengen von K Sei T K. Dann gilt: T ist beschränkt ( r K + ) mit t r für alle t T. Beweis. Nach Definition 1.3 gibt es s 1, s 2 K mit s 1 t s 2 für alle t T. Also gilt mit r := s 1 + s K + für t T : d.h. t r nach 2.9(iii). r s 1 s 2 s 1 t s 2 s 1 + s 2 r, Nach 2.9(iii) gilt r t r für alle t T. Also besitzt T eine untere und obere Schranke. Wir wollen diesen Paragraphen mit einigen Bemerkungen zur Bedeutung und zum Wert von Beweisen schließen: 1) Beweise ermöglichen es, sich davon zu überzeugen, daß Aussagen gültig sind. 2) Sie zeigen, wie Definitionen und andere Sätze angewandt werden; in diesem Sinne können sie selbst als Beispiele für die Vorlesung aufgefaßt werden. 3) Sie verdeutlichen den Ablauf der Veranstaltung, und ermöglichen daher, sich besser an den Inhalt der Veranstaltung zu erinnern. 4) Sie zeigen, welche Techniken immer und immer wieder angewandt werden und lassen daher die grundlegenden Ideen besser hervortreten. 5) Sie ermöglichen es auch, die Gegenstände der Veranstaltung auf andere Situationen anzuwenden, z.b. oftmals durch Beweismodifikationen oder Beweisverallgemeinerungen. 6) Sie sollen als Muster dienen und in die Lage versetzen, selbst die Beweise korrekt durchzuführen bzw. selbst Beweisideen zu finden. 7) Beweise sind ein Teil des intellektuellen Reizes und Inhaltes der Mathematik. [2] 8 C 1