Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

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1 Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 2008/2009

2 Übung 11 Einleitung Es wird eine 15-minütige Mikroklausur geschrieben. i) Sei D R oderd C. Wann heißt eine Funktion f : D C stetig in a D? ii) Wann heißt eine Funktion f : D C Lipschitz-stetig? iii) Zeigen Sie, daß jede Lipschitz-stetige Funktion stetig ist. iv) Formulieren Sie den Zwischenwertsatz. Die Lösung wird angegeben: i) Eine Funktion f : D C heißt stetig in a D, falls zu jeder ε-umgebung Bfa), ε) von fa) eine δ-umgebung Ba, δ) von a existiert, sodaß gilt: In Quantor-Schreibweise bedeutet dies: fba, δ) D) Bfa), ɛ). ε > 0 δ > 0 : x a < δ fx) fa) < ε x D. ii) Sei D C und f : D C eine Funktion. f heißt Lipschitz-stetig, falls es eine Konstante L > 0 gibt, mit für alle z, w D. fz) fw) L z w iii) Ist f Lipschitz-stetig, so existiert ein L > 0 mit fz) fw) L z w. Ist a D und ε > 0, so wähle δ = ε. Ist x D und x a < δ = ε, so folgt: L L fx) fa) L x a < ε. iv) Sei f : [a, b] R eine stetige Funktion. Dann existiert zu jeder Zahl y R zwischen fa) und fb) ein c [a, b] mit fc) = y. Desweiteren sollen Fragen zur Vorlesung und Hausaufgaben beantwortet werden. 2

3 Aufgaben Aufgabe 1 f Lipschitz-stetig f stetig) ABER f stetig f Lipschitz-stetig)! i) Zeigen Sie, daß die Funktion f : R R mit fx) = x 2 stetig aber nicht Lipschitzstetig ist. ii) Sei a < b. Ist f : [a, b] R mit fx) = x 2 Lipschitz-stetig? Lösung Hier soll das Verständnis der Folgenstetigkeit geübt werden. i) fx) = x 2 ist stetig. Dazu betrachte g : R R mit gx) = x. Wegen der Stetigkeit von g und den Rechenregeln für stetige Funktionen folgt, daß f = g g mit g g)x) = gx)) 2 = x x = x 2 stetig ist. Wir brauchen also nur zu zeigen, daß g stetig ist. Dazu betrachte eine Folge x n ) mit x n R und lim x n = x, x R beliebig. n Dann folgt: gx n ) = x n und somit lim gx n ) = lim x n = x = gx). Mit Satz n n Folgenstetigkeit) folgt, daß g stetig ist. Bemerkung Verallgemeinerung auf hx) = x n mit n N ergibt sich zwangslos durch die vollständige Induktion. Damit und mit Rechenregeln für stetige Funktionen folgt, daß auch jedes Polynom px) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 stetig ist. Um zu zeigen, daß f : R R mit fx) = x 2 nicht Lipschitz-stetig ist, führen wir einen Widerspruchsbeweis durch. Angenommen, f : R R mit fx) = x 2 wäre Lipschitz-stetig. Dann folgt: x, y R L > 0 mit fx) fy) L x y x 2 y 2 L x y x + y)x y) L x y x + y x y L x y x y x + y L Setze beispielweise x = L und y = 2L, so folgt aus obiger Äquivalenzumformung: L x + y = L + 2L = 3L, also 3L L. Dies ist offensichtlich ein Widerspruch zu L > 0. ii) f : [a, b] R mit fx) = x 2 ist Lipschitz-stetig. Setze dazu L := 2 max a, b ). Es gilt: fx) fy) = x 2 y 2 = x+y x y. Da aber, wegen der Dreiecksungleichung x+y x + y max a, b )+max a, b ) = 2 max a, b ) = L x, y [a, b], folgt die Behauptung. 3

4 Aufgabe 2 Sei f : R R gegeben durch fx) = { 0, falls x Q 1, falls x / Q. Zeigen Sie, daß f nirgends stetig ist. Lösung Sei x 0 R beliebig. Wir zeigen, daß f nicht stetig an der Stelle x 0 ist. 2 Fälle sind möglich: ˆ x 0 Q. Dann ist fx 0 ) = 0. Wir finden eine Folge x n ) n N, x n R \ Q mit lim x n = x 0. Dann gilt: lim fx n ) = 1 0 = fx 0 ) und mit dem Satz über n n Folgenstetigkeit Satz 3.1.3) ist f nicht stetig an der Stelle x 0. Also bilden wir die Folge x n. Dazu setzen wir x n = x n. Dann gilt: x 0 Q, 2 10 n R \ Q. Damit ist x n R \ Q. Bemerkung Als additiven Teil zu x 0 kann jede beliebige Nullfolge genommen werden, die in R \ Q liegt. ˆ x 0 R \ Q. Dann ist fx 0 ) = 1. Analog finden wir eine Folge x n ) n N, x n Q mit lim x n = x 0. Dann gilt: lim fx n ) = 0 1 = fx 0 ) und mit dem Satz über n n Folgenstetigkeit Satz 3.1.3) ist f nicht stetig an der Stelle x 0. Als x n nehmen wir die n-te Annäherung von x 0 als Dezimalbruch siehe Aufgabe 2, Übungsblatt 5). Aufgabe 3 Hier soll eine wichtige Aussage für stetige Funktionen und deren Anwendung geübt und verstanden werden. i) Sei f : R R eine surjektive stetige Funktion und g : R R eine beschränkte stetige Funktion, d. h. c R, c > 0, mit gx) c x R. Zeigen Sie: Es existiert ein x R mit fx) = gx). ii) Sei f : R R ein reelles Polynom ungeraden Grades, d. h. fx) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 mit a j R, a n 0 und n ungerade. Zeigen Sie: f ist surjektiv. Lösung Der Trick bei diesen Aufgaben ist die Anwendung des Zwischenwertsatzes auf eine gewisse Differenzfunktion. i) Betrachte die Differenzfunktion h : R R, h := f g, mit hx) = fx) gx). h ist wegen der Stetigkeit von f und g stetig, was aus den Rechenregeln für stetige 4

5 Funktionen folgt. Da g beschränkt ist, gilt: c gx) c x R, wobei c > 0. Da f surjektiv ist, existiert zu y = 2c ein a R mit fa) = 2c, aber auch zu y = 2c ein b R mit fb) = 2c. Dann folgt für die Differenzfunktion: und ha) = fa) ga) = 2c ga) hb) = fb) gb) = c gb) 2c + c = c < 0 Satz c c = c > 0. Satz Mit dem Zwischenwertsatz folgt dann, da h stetig ist: Zu jeder Zahl y 0 zwischen ha) und hb) existiert ein x 0 [a, b] mit hx 0 ) = y. Da nun ha) < 0 < hb), existiert zu y 0 = 0 ein x 0 R mit hx 0 ) = 0 und somit x R mit fx) = gx). ii) Wie aus der Bemerkung in Aufgabe 1 folgt, ist f stetig. Sei y R beliebig. Betrachte die Differenzfunktion h : R R, h := f y mit hx) = fx) y. Da f stetig ist und y als konstante Funktion stetig ist, ist auch h nach den Rechenregeln für stetige Funktionen stetig. Dann gilt: hx) = a n x n a 1 x + a 0 y) = a n x n 1 + a n 1 1 a n x a 1 1 a n x + a ). n 1 a n x n Weiterhin betrachte nacheinander 2 Folgen x m ) m N mit x m = m bzw. x m = m. Es gilt: A m := 1 + a n a a ) a n x m a n x n 1 m a n x n m konvergiert wegen der Rechenregeln für konvergente Folgen und der trivialen Konvergenz der auftauchenden Folgen für beide Folgen mit lim A m = 1, woraus folgt, m daß A m beschränkt ist. Daraus folgt: 1 m 0± N mit 0 < 1 + a n a a ) a n x m a n x n 1 m a n x n m für alle m m 0. Außerdem gilt m N: für x m = m, a n x n m = a n m) n = a n m n, sowie, für x m = m, a n x n m = +a n m n, da n ungerade ist. Somit gilt: f m) y = a n m n 1 + a n 1 1 a n m a 1 1 a n m) + a ) n 1 a n m) n und fm) y = +a n m n 1 + a n 1 1 a n m a 1 1 a n m + a ). n 1 a n m n 1 Das Zeichen ± soll die jeweils positive oder negative Folge andeuten, denn für die jeweilige Folge brauchen diese Zahlen, ab den diese Eigenschaft gilt, nicht übereinzustimmen. Im Folgenden definieren wir m 0 := maxm 0, m 0+ ). 5

6 Daraus folgt, daß für beliebiges y R und ab einem genügend groß gewählten m 0 was von der Wahl von y abhängig sein wird) gilt: 2 signhx m )) = { signa n ), falls x m = m +signa n ), falls x m = m Es findet also ein Vorzeichenwechsel statt. Setze nun a := m 0, b := m 0, so gilt, wie oben gezeigt: ha) < 0 < hb), falls signa n ) = +1 hb) < 0 < ha), falls signa n ) = 1. Mit dem Zwischenwertsatz folgt nun, daß zu der Zahl 0 zwischen ha) und hb) es ein x 0 R existiert, sodaß hx 0 ) = 0, für jeden Wert von y R. Dies ist äquivalent zu y R x R mit fx) = y. Dies ist nichts anderes, als die Surjektivität von dem Polynom f.. 2 signr) = { +1, falls r > 0 1, falls r < 0 6