Kapitel 3. Funktionen. Grundbegriffe. Grenzwerte bei Funktionen. Stetigkeit. Die elementaren Funktionen. Anwendungen

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1 Kapitel 3 Funktionen Grundbegriffe Grenzwerte bei Funktionen Stetigkeit Die elementaren Funktionen Anwendungen

2 Funktionen Grundbegriffe Funktionen und ihre Darstellung Unter einer Abbildung von einer Menge D in eine Menge W versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x von D genau ein Element y von W zuordnet. D W Statt Abbildung sagt man auch Funktion, besonders dann, wenn D und W Teilmengen von IR n, n, sind. Der Funktionsbegriff spielt eine wichtige Rolle bei der quantitativen Beschreibung der Umwelt. Mathematik kompakt

3 Funktionen Grundbegriffe Reelle Funktion Definition Eine reelle Funktion f ist eine Vorschrift, die jedem Element x D IR genau ein Element y W IR zuordnet. Man schreibt dafür x y = f(x) oder f : D W. D heißt Definitionsbereich, W nennt man Wertebereich ( ˆ= Menge der Funktionswerte f(x), wenn x den Definitionsbereich D durchläuft). x wird als Argument, unabhängige Variable oder Veränderliche bezeichnet, y als abhängige Variable oder Veränderliche. f(x 0 ) heißt Funktionswert an der Stelle x 0 oder Bild von x 0. Mathematik kompakt 3

4 Funktionen Grundbegriffe Injektive und surjektive Funktion Eine Funktion f : D W heißt injektiv, wenn keine zwei verschiedenen Argumente x und x gleiche Funktionswerte haben. Aus f(x ) = f(x ) folgt also stets x = x. Dies ist genau dann der Fall, wenn jede Parallele zur x- Achse den Graph G f in höchstens einem Punkt schneidet. Eine Funktion f : D W heißt surjektiv, wenn jedes Element y W auch wenigstens einmal als Bild von f auftritt. Man schreibt dann auch W = W = f(d). Mathematik kompakt 7

5 Funktionen Grundbegriffe Bijektive Funktion Eine Funktion nennt man bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Für eine bijektive Funktion ist also die Gleichung f(x) = y mit y W immer eindeutig lösbar. x x D? f( ) = f( ) x x y ~ W Mathematik kompakt 8

6 Funktionen Grundbegriffe Die Umkehrfunktion Definition Eine Funktion f : D W heißt umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert y W genau ein Argumentwert x D gehört. Die Funktion f : W D, welche den Elementen von W eindeutig die Elemente von D zuordnet, heißt Umkehrfunktion der Funktion f oder die zu f inverse Funktion. Mathematik kompakt 9

7 Funktionen Grundbegriffe Bestimmung der Umkehrfunktion Zur praktischen Bestimmung einer Umkehrfunktion empfiehlt sich daher folgendes Vorgehen: Löse die Gleichung y = f(x) nach x auf. Dies ergibt x = f (y). Vertausche x und y. Dies liefert y = f (x). y-achse y=x x=f x-achse -(y) f - x=y f y x=f -(y) x-achse y y-achse Mathematik kompakt 0

8 Funktionen Grundbegriffe Monotonie Definition Eine Funktion f(x) : D W heißt in einem Intervall I D - monoton wachsend bzw. steigend, falls für alle x, x I mit x < x stets f(x ) f(x ) gilt; - monoton fallend, falls für alle x, x I mit x < x stets f(x ) f(x ) folgt. Gilt in den Ungleichungen strikte Ungleichheit, so spricht man von strenger Monotonie. Mathematik kompakt 4

9 Funktionen Grundbegriffe Periodizität Definition Ist f eine auf IR definierte Funktion und gilt für eine Konstante p > 0 f(x + p) = f(x) für alle x IR, so heißt f periodisch mit der Periode p. Auch p, 3p,... sind dann Perioden. Beispiel Die Funktionen sin x und cos x haben die (kleinste) Periode p = π (z.b. sin(x + π) = sin x), während tan x und cot x die (kleinste) Periode p = π (z.b. tan(x + π) = tan x) aufweisen. Mathematik kompakt 6

10 Funktionen Grundbegriffe Gerade und ungerade Funktion Definition Eine Funktion f : IR IR heißt - gerade, falls f( x) = f(x), - ungerade, falls f( x) = f(x) für alle x IR gilt. Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-achse. Der Graph einer ungeraden Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Mathematik kompakt 7

11 Funktionen Grundbegriffe Gerade und ungerade Funktion y y (x,f(x)) (-x,f(-x)) =(-x,f(x)) (x,f(x)) (-x,f(-x)) =(-x,-f(x)) -x x x -x i) f(x)=x, gerade x x ii) f(x)=x 3, ungerade Beispiel Gerade Funktionen:f(x) = x, f(x) = x, und f(x) = cos(x). Ungerade Funktionen: f(x) = sgn(x), f(x) = x 3, und f(x) = sin(x). Mathematik kompakt 8

12 Funktionen Grundbegriffe Nullstelle Definition Eine Stelle x 0 im Definitionsbereich einer Funktion f(x) heißt Nullstelle, wenn f(x 0 ) = 0 gilt. Beispiel Der Graph der Parabel f(x) = x hat in x 0 = 0 einen Berührpunkt mit der x-achse, der Graph der kubischen Parabel f(x) = x 3 schneidet in x 0 = 0 die x-achse. In beiden Fällen liegt in x 0 = 0 eine Nullstelle vor. Mathematik kompakt 9

13 Funktionen Grundbegriffe Komposition, Verkettung, Hintereinanderschaltung Definition Mit Hilfe der beiden Funktionen f : D f W f und g : D g W g kann eine neue Funktion h : D f W g definiert werden, wenn der Wertebereich von f im Definitionsbereich von g enthalten ist (W f D g ). Die so definierte Funktion heißt Hintereinanderschaltung, Verkettung oder Komposition von f und g. Man schreibt h = g f bzw. h(x) = g(f(x)). Man kann auch mehr als zwei Funktionen verketten: h g f bedeutet z.b. h[g(f(x))]. Mathematik kompakt 0

14 Funktionen Grundbegriffe Geometrische Operationen am Funktionsgraphen Ersetzt man y = f(x) durch so wird der zugehörige Graph. y = f(x x 0 ) um x 0 in x-richtung verschoben, falls x 0 > 0: nach rechts falls x 0 < 0: nach links. y = f(x) + y 0 um y 0 in y-richtung verschoben, falls y 0 > 0: nach oben falls y 0 < 0: nach unten 3. y = f(x) an der x-achse gespiegelt 4. y = f( x) an der y-achse gespiegelt 5. x = f(y) an Winkelhalb. y = x gespiegelt 6. y = af(x), a > 0 in y-richtung mit a gestreckt 7. y = f(bx), b > 0 in x-richtung mit b gestreckt Mathematik kompakt

15 Funktionen Grenzwerte Grenzwert einer Funktion I Definition Die Funktion f : D W hat in einem Punkt x 0 (der nicht in D liegen muss!) genau dann den Grenzwert a, wenn für alle Folgen (x n ) n IN+ mit x n D, x n x 0 und lim n x n = x 0 gilt: lim n f(x n) = a. In diesem Falle sagt man, dass f(x) für x x 0 gegen a konvergiert und schreibt: lim f(x) = a. x x 0 Mathematik kompakt 3

16 Funktionen Grenzwerte Linksseitiger Grenzwert Definition Sei f(x) definiert auf dem Intervall (x 0 b, x 0 ) mit b > 0. Man sagt dann, dass f(x) in x 0 den linksseitigen Grenzwert a L hat, wenn für alle Folgen (x n ) n IN+ mit x n < x 0 und lim n x n = x 0 gilt: lim n f(x n) = a L. Mögliche Schreibweisen sind: oder lim x x 0 f(x) = a L lim x x 0 0 f(x) = a L. Mathematik kompakt 8

17 Funktionen Grenzwerte Rechtsseitiger Grenzwert Definition Sei f(x) definiert auf dem Intervall (x 0, x 0 + b) mit b > 0. Man sagt dann, dass f(x) in x 0 den rechtsseitigen Grenzwert a R hat, wenn für alle Folgen (x n ) n IN+ mit x n > x 0 und lim n x n = x 0 gilt: lim n f(x n) = a R. Mögliche Schreibweisen sind: oder lim x x 0 + f(x) = a R lim x x 0 +0 f(x) = a R. Mathematik kompakt 9

18 Funktionen Grenzwerte Beispiel Für die Funktion f(x) = sgn(x) gilt: lim f(x) =, x 0 lim f(x) =. x 0+ Es ist a L a R und damit f(x) in x = 0 nicht konvergent. Mathematik kompakt 30

19 Funktionen Grenzwerte Grenzwerte für x bzw. x Bei x gibt es natürlich höchstens einen linksseitigen Grenzwert a L, bei x höchstens einen rechtsseitigen Grenzwert a R. In beiden Fällen spricht man von einem Grenzwert schlechthin und schreibt lim x f(x) = a L oder lim x f(x) = a R. Beispiel Für die Funktion f(x) = x gilt lim f(x) = 0, x da mit x n gilt: lim f(x) = lim x n x n = 0. Mathematik kompakt 3

20 Funktionen Grenzwerte Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte Wenn lim f(x) und lim g(x) (für x x 0 oder auch für x ± ) existieren, dann gilt: a) lim[f(x)±g(x)] = lim f(x)±lim g(x), b) lim[f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x), Spezialfall (c = const): lim[c f(x)] = c lim f(x), c) lim f(x) lim f(x) =, falls g(x) 0, g(x) lim g(x) d) Sandwichtheorem : Aus g(x) h(x) f(x) und lim g(x) = lim f(x) = a, folgt lim h(x) = a. Spezialfall (g(x) = f(x), a = 0): Gilt h(x) f(x) und lim f(x) = 0, so folgt lim h(x) = 0. Mathematik kompakt 34

21 Funktionen Grenzwerte Beispiel Wir betrachten die Funktion f(x) = x +sin x +x für x. Ausklammern von x in Zähler und Nenner mit anschließendem Kürzen liefert f(x) = + sin x x x +. Nun ist wegen Regel b) lim x x = lim x x lim x Daraus folgt aufgrund von sin x x Sandwichtheorem lim x sin x x = 0. x = 0 0 = 0. x nach dem Unter Beachtung von Regel a) und c) ergibt sich somit lim x f(x) = =. Mathematik kompakt 35

22 Funktionen Stetigkeit Stetige Funktion Definition Eine Funktion f : D W heißt in x 0 D - stetig, falls lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), d.h. der Grenzwert muss existieren und gleich dem Funktionswert in x 0 sein, - linksseitig stetig, falls lim x x 0 f(x) = f(x 0), - rechtsseitig stetig, falls lim x x 0 + f(x) = f(x 0). Die Funktion heißt stetig im Intervall I, wenn f(x) für jedes x I stetig ist. Mathematik kompakt 39

23 Funktionen Stetigkeit Wichtige Merkregel: f stetig in x 0 lim f(x) = f(x x x 0 ) = f( lim x). 0 x x 0 Da Wurzel- und Exponentialfunktion stetig sind, bedeutet dies beispielsweise, dass Umformungen der Form bzw. möglich sind. lim f(x) = lim f(x) lim e f(x) = e lim f(x) Mathematik kompakt 40

24 Funktionen Stetigkeit Kombination stetiger Funktionen Seien f(x) und g(x) stetige Funktionen in x 0. Dann sind auch folgende Funktionen in x 0 stetig: f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) g(x), falls g(x 0) 0. Komposition stetiger Funktionen Ist f(x) stetig in x 0 und g(u) stetig in u 0 = f(x 0 ), so ist die zusammengesetzte Funktion y = g(f(x)) stetig in x 0. Mathematik kompakt 44

25 Funktionen Stetigkeit Zwischenwertsatz Seien y = f(x) stetig auf dem abgeschlossen Intervall I = [a, b] und c eine Zahl zwischen f(a) und f(b). Dann existiert mindestens ein ξ (a, b) mit f(ξ) = c. y f(a) c a b x f(b) Spezialfall: Nullstellensatz von Bolzano: Haben f(a) und f(b) unterschiedliches Vorzeichen, dann hat f(x) in [a, b] mindestens eine Nullstelle. Dies ist Grundlage für viele numerische Verfahren zur Bestimmung von Funktions-Nullstellen. Mathematik kompakt 46

26 Funktionen Die elementaren Funktionen Polynome Definition Für n IN und a n ( 0), a n,..., a, a 0 IR heißt die Funktion p : IR IR, x p(x) mit p(x) = a n x n + a n x n +...+a x + a 0 Polynom n-ten Grades mit den Koeffizienten a k, k = 0,,..., n. Mathematik kompakt 47

27 Funktionen Die elementaren Funktionen Nullstellen, Linearfaktoren Definition Die Zahl x heißt Nullstelle des Polynoms p(x), wenn gilt: p(x ) = 0. Ist x eine Nullstelle des Polynoms p(x) vom Grade n > 0, so kann man den Linearfaktor (x x ) ohne Rest abdividieren: p(x) = (x x ) p n (x) Dabei ist p n (x) ein Polynom (n )-ten Grades. Mathematik kompakt 49

28 Funktionen Die elementaren Funktionen Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen y y=cos x / / 3/ x - y=sin x y y = tan x y = cot x x Mathematik kompakt 60

29 Funktionen Die elementaren Funktionen Wichtige Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Alle Winkelfunktionen sind periodisch, d.h. der Kurvenverlauf wiederholt sich: Sinus und Cosinus sind π-periodisch, Tangens und Cotangens sind π-periodisch. Alle Winkelfunktionen lassen sich ineinander umrechnen. Der Cosinus ist z.b. ein verschobener Sinus: ( π ) cos x = sin(x), Tangens und Cotangens sind über Sinus und Cosinus definiert: tan x = sin x cos x, cos x cot x = sin x. Für den Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus ist auch der Satz von Pythagoras wichtig: sin x + cos x =. Mathematik kompakt 6

30 Funktionen Die elementaren Funktionen Wichtige Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Bei der praktischen Anwendung von trigonometrischen Funktionen muss man oft die so genannten Additionstheoreme (vgl. Formelsammlung) verwenden, etwa: sin(x ± x ) = sin x cos x ± cos x sin x cos(x ± x ) = cos x cos x sin x sin x. Die Techniker benötigen häufig eine Tabelle (mit einer Eselsbrücke zum Merken spezieller Sinus- und Cosinuswerte): Gradmaß Bogenmaß 0 π 6 π 4 π 3 π Sinus = Cosinus 3 0 = 0 Mathematik kompakt 6

31 Funktionen Die elementaren Funktionen Umkehrung der trigonometrischen Funktionen y y=arcsin x - y=sin x x Definition Die Umkehrfunktion des Sinus auf dem Intervall [ π, π ] heißt Arcussinus (arcsin). Es gilt: arcsin x : [, ] π, π. Mathematik kompakt 64

32 Funktionen Die elementaren Funktionen Umkehrung der trigonometrischen Funktionen Definition Entsprechende Umkehrfunktionen (genannt Arcusfunktionen) existieren auch für die anderen trigonometrischen Funktionen Cosinus, Tangens und Cotangens mit arccos x : [, ] [0, π], arctan x : IR ( π, π ), arccot x : IR (0, π). y y=arccos x y y=arcsin x x x y=arctan x - y y y=arccot x x 0 x - Mathematik kompakt 65

33 Funktionen Die elementaren Funktionen Die Potenzfunktionen Man kann nun f(x) = x auch ganz allgemein für reelle Exponenten definieren und erhält eine so genannte Potenzfunktion. Als Basis könnte man natürlich auch andere Werte als wählen, etwa 0 oder die in der Mathematik so beliebte Euler sche Zahl e Die zugehörigen Potenzfunktionen ähneln einander sehr: 5 y y=0 x y=e x y= x x Mathematik kompakt 67

34 Funktionen Die elementaren Funktionen Die Exponentialfunktion f(x) = e x Sie dient in den Anwendungen meist zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen; Die Eulersche Zahl e haben wir schon als Grenzwert einer Folge eingeführt: e = lim n ( + n) n, analog gilt ( e x = lim + x n. n n) Allerdings wird die Exponentialfunktion meist als unendliche Reihe eingeführt: e x = k=0 x k k! = + x + x! + x3 3! Mathematik kompakt 68

35 Funktionen Die elementaren Funktionen Funktionalgleichung der e Funktion Für die Exponentialfkt. e x : IR (0, ) gilt (für x, x IR): e x +x = e x e x. In Übereinstimmung mit den bekannten Rechenregeln für Potenzen gelten dann auch die weiteren Rechengesetze: Es gilt: e x = e x, (ex ) y = e x y, e 0 =, e = e. Mathematik kompakt 69

36 Funktionen Die elementaren Funktionen Grenzverhalten der e Funktion Es ist: lim x ex = 0, lim x ex =. Bezüglich des Wachstumsverhaltens der Exponentialfunktion lässt sich weiterhin bemerken, dass die Exponentialfunktion sehr rasch ansteigt, und zwar (auf lange Sicht) schneller als jede noch so große Potenz von x, in Formelzeichen lim x e x x n = für beliebiges n. In der Informatik spricht man daher auch von exponentiellem Wachstum im Gegensatz zum langsameren polynomialen Wachstum. Mathematik kompakt 70

37 Funktionen Die elementaren Funktionen (Natürlicher) Logarithmus Da die Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist, gehören zu verschiedenen Argumenten x und x auch verschiedene Funktionswerte e x und e x. Man kann also die Gleichung e x = y für jedes y > 0 nach x auflösen. Definition Die Funktion ln x : (0, ) IR, genannt (natürlicher) Logarithmus, ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Der Graph von ln x ergibt sich entsprechend durch Spiegelung der Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden. 4 3 y y=e x y y=ln x 3 4 x x - Mathematik kompakt 7

38 Funktionen Die elementaren Funktionen Die Funktionalgleichung für den Logarithmus Für den (natürlichen) Logarithmus gilt: für x, x > 0. ln(x x ) = ln x + ln x Dies folgt unmittelbar aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und der Eigenschaft, dass Exponentialfunktion und Logarithmus Umkehrfunktionen sind: e ln x +ln x = e ln x e ln x = x x = e ln(x x ). Exponentenvergleich links und rechts liefert das Ergebnis. Mathematik kompakt 7

39 Funktionen Die elementaren Funktionen Weitere wichtige Rechenregeln für Logarithmen Es gilt für x, x > 0: ln x x = ln x ln x, ln ( x x ) = x ln x. Mathematik kompakt 73

40 Funktionen Die elementaren Funktionen Allgemeine Exponentialfunktion Definition Als allgemeine Exponentialfunktion wird die Funktion a x := e x ln a : IR (0, ) mit a > 0 bezeichnet. Auch hier gilt für x, x IR die Funktionalgleichung a x +x = a x a x. Auch die anderen Eigenschaften übertragen sich von der Exponentialfunktion auf die allgemeine Exponentialfunktion: So ist sie stetig, es gilt a 0 =. Die allgemeine Exponentialfunktion ist auch monoton und zwar streng monoton wachsend für a > und streng monoton fallend für 0 < a <. Mathematik kompakt 78

41 Funktionen Die elementaren Funktionen a Logarithmus als Umkehrfunktion von y = a x Definition Die Funktion log a x : (0, ) IR für a > 0, a, genannt a Logarithmus, ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion. Auch für den Logarithmus gilt für x, x > 0 die Funktionalgleichung log a (x x ) = log a x + log a x. Mathematik kompakt 79

42 Funktionen Die elementaren Funktionen a Logarithmus und natürlicher Logarithmus Für a > 0 und x > 0 gilt: log a x = ln x ln a. Neben dem (natürlichen) Logarithmus ln x = log e x (also dem Logarithmus zur Basis e) wird auch der duale oder binäre Logarithmus ld x = log x (zur Basis ) und der dekadische bzw. Brigg sche Logarithmus log x = log 0 x (zur Basis 0) häufig verwendet. y ld x = log x ln x = logex log x = log x x Mathematik kompakt 80

43 Mathematik kompakt 8 Definition Hyperbelfunktionen Die Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus sind wie folgt definiert: sinh x = cosh x = ( e x e x) : IR IR, ( e x + e x) : IR [, ), tanh x = sinh x cosh x : IR (, ), coth x = cosh x sinh x : IR \ {0} (, ) (, ). Funktionen Die elementaren Funktionen

44 Funktionen Die elementaren Funktionen Hyperbelfunktionen y y y = coth x y = cosh x 0 y = tanh x x x - y = sinh x y = coth x Interessant an den Hyperbelfunktionen ist, dass sie sich in mancher Hinsicht analog zu den trigonometrischen Funktionen verhalten. So gelten etwa die Gleichungen: cosh x sinh x = sinh(x +x ) = sinh x cosh x +cosh x sinh x. Mathematik kompakt 8

45 Funktionsauswertungen mittels Taschenrechner Funktionsauswertungen mittels Taschenrechner Hauptfehlerquelle bei Auswertung der trigonometrischen Funktionen: Benutzer hat z.b. Gradmaß eingeschaltet, gibt die entsprechenden Winkel aber im Bogenmaß ein (oder umgekehrt). Auf fast allen Taschenrechnern kann man durch die MODE -Taste oder durch SHIFT DRG spezifizieren, ob man mit DEG (=degree=gradmaß) oder mit RAD (=radiant=bogenmaß) rechnet. sin(30 ) = 0.5, sin ( ) π ( ) π 6 = 0.5, sin Taschenrechner gibt anders als Computeralgebra- Systeme (wie Maple oder Mathematica) nur Näherungswerte nicht exakte Werte aus wie etwa sin( π 3 ) = 3. Mathematik kompakt 00

46 Funktionsauswertungen mittels Taschenrechner Fehlender Cotangens Bei den trigonometrischen Funktionen fällt auf, dass zwar Sinus, Cosinus und Tangens durch die entsprechenden Tasten SIN, COS und TAN vorhanden sind, dass aber der Cotangens fehlt. Hier sollte man z.b. die Formel für den Cotangens verwenden. cot x = tan x Vorsicht ist geboten, da Tangens und Cotangens nicht für alle reellen Zahlen definiert sind. Dann melden viele Taschenrechner Error wie z.b. - E -, etwa bei tan( π ). Mathematik kompakt 0

47 Funktionsauswertungen mittels Taschenrechner Arcusfunktionen Man berechnet etwa Werte des Arcussinus über die beiden Tasten SHIFT und SIN. Die zweite Belegung von Tasten steht meist über der Taste, wobei man hier vorsichtig sein muss: So bedeutet sin keineswegs sin, sondern die Umkehrfunktion des Sinus, also den Arcussinus. Bsp.: arcsin ( ) Man erhält nicht den exakten Wert, nämlich π 6, sondern eben die obige Näherung (wenn man Bogenmaß als Mode eingestellt hat!). Der Arcuscotangens fehlt, aber hier kann man ohne Probleme folgende Beziehung verwenden: arccot x = π arctan x. Mathematik kompakt 0

48 Funktionsauswertungen mittels Taschenrechner Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Wenn Sie etwa die Gleichung sin x = lösen wollen, so tippen Sie in Ihren Taschenrechner SHIFT SIN (d.h. Arcussinus) ein und erhalten als Lösung arcsin ( ) Andere Lösungen von sin x = erhält man nicht, weil bei Definition der Arcusfunktionen deren Wertebereiche geeignet eingeschränkt wurden, etwa beim Arcussinus auf [ π, π ]. Die Gleichung sin x = y hat bei gegebenem y [, ], etwa y =, aber in jedem der Intervalle I k := [ π + kπ, π + kπ] mit k Z genau eine Lösung. Mathematik kompakt 03

49 Funktionsauswertungen mittels Taschenrechner Zweige der Umkehrfunktionen y = sin x hat auch auf I k := [ π + kπ, π + kπ] eine Umkehrfunktion, die k ter Zweig des Arcussinus heißt. Die bereits definierte Umkehrfunktion arcsin x heißt Hauptzweig. Man kann sich etwa graphisch klarmachen, dass für den k-ten Zweig des Arcussinus gilt: arcsin k x = ( ) k arcsin x + kπ. Mathematik kompakt 04

50 Mathematik kompakt 05 Zweige der Umkehrfunktionen Die weiteren Stellen, an denen der Sinus den Wert annimmt, sind:... ( ) arcsin = ( ) arcsin ( ) π = π 6 π = ( ) 6 π, arcsin = ( ) arcsin ( ) π = π 6 π = 7 ( ) 6 π, arcsin = ( ) arcsin ( ) + π = π 6 + π = 5 ( ) 6 π, arcsin = ( ) arcsin ( ) + π = π 6 + π = 3 6 π,... D.h. alle Lösungen der Gleichung sin x = y k = ( ) k arcsin ( ) }{{} = π 6 ergeben sich zu +kπ, k Z. Funktionsauswertungen mittels Taschenrechner