3. Übung zur Analysis II

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1 Universität Augsburg Sommersemester Übung zur Analysis II Prof. Dr. Marc Nieper-Wißkirchen Caren Schinko, M. Sc. 8. Mai (a) m. Die Dirichletsche Reihe. In Abschnitt 5.8 haben wir bereits die Dirichletsche Reihe für s N betrachtet. Jetzt können wir sie für n= n s alle s C definieren. Für reelle s untersuche die Reihe auf Konvergenz, zwar zeige, daß sie für s > in R konvergiert für s gegen konvergiert. (Tip: Cauchysches Verdichtungslemma aus Abschnitt 5.8.) (b) s. Für jedes s R seien H s := {z C R(z) s} H o s := {z C R(z) > s}. Zeige, daß für jedes z H := H o die Dirichletsche Reihe n= n z gegen eine Zahl ζ(z) C konvergiert, daß diese Konvergenz auf jeder Teilmenge H s mit s > gleichmäßig ist daß daher die Funktion ζ : H C stetig ist. Diese Funktion (oder genauer ihre maximale analytische Funktion) heißt Riemannsche Zeta-Funktion. (Tip: Man beachte den ersten Aufgabenteil das Theorem aus Abschnitt 7..) 4. s. Beweise, daß 0 ein anziehender Fixpunkt der Funktion f := x ( x) [0, ] ist; genauer, daß für jedes t [0, ] die f-banachfolge mit Startpunkt t gegen 0 konvergiert. (Tip: Zeige, daß jede f-banachfolge mit einem Startwert t 0 > 0 monoton fallend ist; sie besitzt daher einen Grenzwert, welcher nach Aufgabe (a) aus 4.5 dann der Fixpunkt 0 ist.) Die bearbeiteten Übungsblätter sind bis 2:00 Uhr am 5. Mai 207 in den Analysis-Briefkasten einzuwerfen.

2 5. m. Seien n Z z, w C. Zeige (a) n arg(z) Arg(z n ) (b) arg(z) arg(w) Arg(z/w). Gilt arg(z) arg(w) = arg(z/w) uneingeschränkt? (c) Bestimme die Argumente von ( i 3) 27, (7 + i)/(4 3i), /(3 i) m. Über die Exponentialfunktion. (a) Sei s R. Skizziere s + ir R + is in einem Bild, sowie exp(s + ir) exp(r + is) in einem zweiten. (b) Zeige, daß die Funktion f : C C, z exp(/z) für jedes ε R + auf U ε (0) alle Werte auf C annimmt. 7. m. Komplexe Wurzeln. Für jedes n N jedes z C bezeichne W n (z) die Menge aller komplexen n-ten Wurzeln von z, d. h.: Zeige: W n (z) := {w C w n = z}. (a) W n (0) = {0} W n (z) = { n z exp(i arg(z)+2πk ) k = 0,..., n } für n alle z C. (b) Auf der geschlitzten Ebene E {0} (vgl. Theorem aus Abschnitt 7.9) existiert genau eine stetige Funktion f n : E {0} C, so daß gilt: f n () = z E {0}: f n (z) W n (z). Diese Funktion heißt der Hauptzweig der komplexen n-ten Wurzelfunktion. (c) z C: (w W 2 (z) = W 2 (z) = {w, w}). k=0 8. (a) s. Sei P := n a k z k eine komplexe Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten a 0,..., a n R. Zeige: Ist z 0 eine Nullstelle von P, so ist auch z 0 eine Nullstelle von P. (b) m. Bestimme alle Lösungen der Gleichungen z 5 = 0, z 7 i = 0, ( + i) z 2 + i = 0. Skizziere die Lösungsmengen. 9. s. Beweise: (a) Für den Hauptzweig f n der n-ten Wurzel gilt z E : f n (z) = z /n. 2

3 (b) Sei ν C. Dann existiert eine Konstante C C, so daß für jedes z 0 R gilt lim z z 0 I(z) 0 z ν = C z z0 lim I(z)<0 z ν. In Worten ausgedrückt: Die Funktion z ν macht einen (multiplikativen) Sprung um C an der negativen reellen Achse. Für welche ν ist C =? (c) An welchen Stellen ist z ν stetig? (d) Sind ν µ C, so gilt generell z ν+µ = z ν z µ, im allgemeinen aber nicht (z ν ) µ = z νµ. 20. s. Beweise: (a) Mit den beiden kanonischen Koordinatenfunktionen x, y : C R (vgl. Abschnitt 5.) gilt: cos = cos(x) cosh(y) i sin(x) sinh(y), sin = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y). Daher (?) sind die Verschwindungsmengen der komplexen Kosinus- Sinusfunktion durch V (cos) := {z C cos(z) = 0} = {π/2 + k π k Z} V (sin) := {z C sin(z) = 0} = {k π k Z} gegeben. Die analogen Verschwindungsmengen des komplexen Kosinus hyperbolicus Sinus hyperbolicus sind damit durch verben. V (cosh) := {z C cosh(z) = 0} = iv (cos) V (sinh) := {z C sinh(z) = 0} = iv (sin) (b) Die komplexe hyperbolische Tangensfunktion tanh := sinh cosh 3

4 ist auf C \ iv (cos) definiert holomorph; die komplexe hyperbolische Kotangensfunktion coth := cosh sinh ist auf C \ iv (sin) definiert holomorph. Die Ableitungen dieser Funktionen sind tanh = cosh 2 = tanh2, coth = sinh 2 = coth2. Die Funktionen tanh coth sind ungerade, d. h. tanh( z) = tanh(z) coth( z) = coth(z). (c) Nun zu den Einschränkungen cosh(x), sinh(x), tanh(x) coth(x) der komplexen Hyperbelfunktionen auf die reelle Achse R: sinh(x): R R ist streng monoton wachsend mit sinh(r) = R; cosh [0, [ : [0, [ R ist streng monoton wachsend mit cosh([0, [) = [, [; tanh(x) ist streng monoton wachsend mit tanh(r) = ], [; coth R + : R + R ist streng monoton fallend mit coth(r + ) = ], [. Daher (?) besitzen diese Funktionen Umkehrfunktionen, die sogenannten Areafunktionen: arsinh: R R, arcosh: [, [ R, artanh: ], [ R arcoth: ], [ R. (d) Die Funktionen arsinh, artanh arcoth sind differenzierbar; arcosh ist stetig auf ], [ differenzierbar. Die Ableitungen sind arsinh = x2 +, arcosh = ], [, x2 artanh = x 2 ], [ arcoth = x 2 ], [. 4

5 (e) Die Areafunktionen hängen folgendermaßen mit der Logarithmusfunktion zusammen: arsinh = ln ( x + x 2 + ), arcosh = ln ( x + x 2 ), artanh = ( ) + x 2 ln x arcoth = ( ) x + 2 ln ], [. x 5