Lorentz-Geometrie. Nikolai Nowaczyk Lars Wallenborn

Transkript

1 Lorentz-Geometrie Nikolai Nowaczyk Lars Wallenborn Inhaltsverzeichnis. Vektorrechnung 2.. Grundlegende Definitionen Geometrie Bilinearformen Basen Der Minkowski-Raum Grundlegende Definitionen Kausalstruktur Geometrie Beobachter und Teilchen Zwillingsparadoxon A. Anhang 4 A.. Die Wahrheit über Sinus und Cosinus A.2. Hyperbolische Trigonometrie Index 7 Symbolverzeichnis 9

2 Vektorrechnung 2. Vektorrechnung.. Grundlegende Definitionen. Definition (R n ). Man nennt R n := {x = x. x n x,..., x n R} den n-dimensionalen euklidischen Raum oder auch den R hoch n. Ein Element x = (x,..., x n ) R n heißt Vektor und x,..., x n seine Koordinaten. Die Physiker machen kleine Pfeile über ihre Vektoren, z.b. x. Wir nicht. Wichtigster Anwendungsfall ist der R 2 (die euklidische Ebene), der R n (der euklidische Raum) und später auch der R 4 (der euklidische Hyperraum)..2 Definition (Vektoroperationen). Seien x, y R n und λ R. Dann sind folgende Operationen definiert. (i). Addition x + y := x + y. R n. x n + y n (ii). Skalarmultiplikation λx := λ x := λx. λx n R n. (iii). Euklidisches Skalarprodukt x, y := x y x n y n R. (iv). Norm/Länge x := x, x. (.) = = = 9 Grundschule = Oberstufe Abbildung.: Addition

3 .2 Geometrie 3.2. Geometrie.3 Definition (Einheitssphäre). Die Menge S n := {x R n+ x = } heißt Einheitssphäre der Dimension n..4 Definition (Winkel). Für zwei Vektoren x, y R n, x, y, heißt ( ) x, y (x, y) := arccos x y (.2) Winkel zwischen x und y. Dabei sei daran erinnert, dass cos: [, π] [, ], also arccos : [, ] [, π]. Wir messen Winkel also immer im Bogenmaß..5 Bemerkung. Häufig setzt man ϕ := (x, y) und schreibt die den Winkel definierende Gleichung auch in der Form Diese Gleichung ist äquivalent zu (.2). x, y = x y cos (ϕ). (.3).6 Bemerkung. Man fragt sich vielleicht, warum man den Winkel ausgerechnet so definiert. Man kann dies mit Hilfe des Kosinussatzes definieren. In Vektorschreibweise lautet dieser Dies kann man umformen zu Das ist äquivalent zu (.3). z 2 = x 2 + y 2 2 x y cos(ϕ). 2 x y cos(ϕ) = x 2 y 2 y x 2 (.4) = x 2 y 2 y 2 + x x, y = 2 x, y x z ϕ y Abbildung.2: Der Cosinussatz.7 Satz (Euklidisches Skalarprodukt). Es gilt (i). Binomische Formel x, y R n : x + y 2 = x x, y + y 2 (.4)

4 .3 Bilinearformen 4 (ii). Cauchy/Schwarz-Ungleichung x, y R n : x, y x y. (.5) (iii). Dreiecksungleichung x, y R n : x + y x + y Aufgabe.8. Beweise Satz.7.9 Definition (Orthogonalität). Die Vektoren x, y R n sind orthogonal, in Zeichen x y, falls gilt (x, y) = π 2 oder äquivalent x, y =.. Definition (Orthogonales Komplement). Sei x R n ein beliebiger Vektor. Dann heißt das orthogonale Komplement von x. Analog heißt die von x erzeugte Grade. x := {y R n y x} x := {λx R n λ R}. Bemerkung. In der Situation von Definition. gilt auch für jedes λ R und y x λx, y = λ x, y =, d.h. die gesamte von x erzeugte Grade x steht senkrecht auf dem Komplement x..2 Definition (Unterraum). Eine Teilmenge U R n heißt Unterraum, falls gilt: (i). U. (ii). y, y 2 U : y + y 2 U. (iii). y U : c R : cy U..3 Bemerkung. Im R 3 sind die Unterräume genau die Ebenen und Graden..4 Lemma (Struktur des orthogonalen Komplements). Sei x R n. Dann ist das orthogonale Komplement x ein Unterraum..5 Satz (Zerlegungssatz). Sei x R n. Dann gilt: Für jeden Vektor y R n existiert genau ein Vektor y x und genau ein Vektor y 2 x, sodass y = y + y Bilinearformen.6 Definition. Sei β : R n R n R n eine beliebige Abbilung. Dann heißt β (i). bilinear, falls gilt x, x 2, y, y 2 R n : λ, λ 2 R : β(x + λ y, x 2 + λ 2 y 2 ) = λ β(x, y ) + λ 2 β(x 2, y 2 ). (ii). symmetrisch, falls gilt x, y R n : β(x, y) = β(y, x).

5 .4 Basen 5 (iii). regulär, falls gilt (iv). positiv definit, falls gilt x R n : β(x, x) = = x = x R n : x = β(x, x) >. Wir nennen β ein Skalarprodukt, falls β bilinear, symmetrisch und positiv definit ist..7 Satz. Das euklidische Skalarprodukt ist ein Skalarprodukt. Aufgabe.8. Beweise Satz.7..9 Definition (β-orthogonalität). Sei β : R n R n R eine beliebige reguläre Bilinearform. Zwei Vektoren x, y R n heißen β-orthogonal, in Zeichen x β y, falls β(x, y) =..2 Definition. Sei β : R n R n R eine beliebige reguläre Bilinearform und x R n. Dann heißt die von β induzierte Norm von x. x β := β(x, x).2 Definition (β-orthogonales Komplement). Sei x R n ein beliebiger Vektor. Dann heißt das β-orthogonale Komplement von x. x β := {y R n y β x}.22 Satz (β-zerlegungsatz). Sei β bilinear, symmetrisch und regulär. Sei x R n ein beliebiger Vektor. Dann ist x β ein Unterraum. Ferner gilt: Für jedes y R n existiert genau ein y x und genau ein y 2 x β, sodass y = y + y Basen.23 Definition (kanonische Basis). Für ein beliebiges n N und jedes j n definieren wir den Vektor e j R n, bei dem der j-te Eintrag eine ist und alle anderen gleich sind. Das Tupel von Vektoren (e,..., e n ) heißt kanonische Basis des R n..24 Beispiel. Die kanonische Basis des R 3 sieht also so aus: e =, e 2 =, e 3 =..25 Bemerkung. Es gilt dann für jeden Vektor x R 3 x = x x 2 x 3 = x = x + x 2 + x x 3 x 3 = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3

6 2 Der Minkowski-Raum 6 Erfüllen umgekehrt die Zahlen c, c 2, c 3 R die Gleichung c e + c 2 e 2 + c 3 e 3 = x, so folgt c = x, c 2 = x 2 und c 3 = x 3. Die kanonische Basis (e, e 2, e 3 ) hat also folgende Eigenschaft: Für jeden Vektor x R 3 existieren genau drei Zahlen c, c 2, c 3, sodass x = c e + c 2 e 2 + c 3 e Definition (Kronecker-Delta). Für zwei natürliche Zahlen i und j heißt {, i = j, δ ij :=, i j, das Kronecker-Delta von i und j..27 Definition (Basis). Ein Tupel (b,..., b n ) von Vektoren im R n heißt Basis, falls gilt: Für jeden Vektor x R n existieren genau n reelle Zahlen c,..., c n, sodass x = n x i b i = c b c n b n (.6) i= Eine Basis (b,..., b n ) heißt Pseudo-Orthonormalbasis bezüglich einer Bilinearform β, falls gilt i, j n : β(b i, b j ) = ±δ ij. Falls alle Vorzeichen + sind, so heißt die Basis eine Orthonormalbasis..28 Lemma. Die kanonische Basis des R n ist eine Orthonormalbasis. Aufgabe.29. Beweise Lemma Der Minkowski-Raum 2.. Grundlegende Definitionen 2. Definition (Minkowski-Raum). Wir schreiben ab sofort R,n := R n+ und notieren die Vektoren darin mit x = x(x,..., x n ). Dort definieren wir die Minkowski-Metrik und die Minkowski-Norm x, y R,n : x, y := x y + n x j y j j= x R,n : x := x, x Speziell für n = 3 heißt R,3 Minkowski-Raum. Diese Definition geht zurück auf Hermann Minkowski, siehe Abschnitt 2..

7 2.2 Kausalstruktur 7 Abbildung 2.3: Hermann Minkowski, * , 2..99, deutscher Mathematiker und Physiker 2.2 Lemma. Die Minkowski-Metrik ist eine reguläre Bilinearform. Aufgabe 2.3. Beweise Lemma Bemerkung. Die Minkowski-Metrik ist kein Skalarpdoukt! Es gilt z.b. für n = 2 und x = (, ) x, x = + =. Diese faszinierende Eigenschaft werden wir nun verwenden, um eine sogenannte Kausalstruktur zu definieren. Es gibt für das euklidische Skalarprodukt nichts Vergleichbares Kausalstruktur 2.5 Definition. Sei x R,n. Dann heißt x raumartig, falls x, x > zeitartig, falls x, x <, lichtartig, falls x, x =. Den Nullvektor x = sehen wir als raumartig an (Vorsicht, die Literatur ist hier nicht einheitlich). Ein Vektor x R,n heißt kausal, falls x zeitartig oder lichtartig ist. Ein Vektor x R,n heißt auch Ereignis. Die Eigenschaft eines Vektors raum-, zeit- oder lichtartig zu sein bezeichnet man auch als den kausalen Charakter des Vektors. 2.6 Bemerkung (kausaler Charakter der kanonsichen Basis). Betrachten wir einmal für n = 2 die kanonische Basis des R,2, siehe Definition.23 bzw. Beispiel.24. Im Minkowski-Raum nummeriert man die dann auch mit e, e, e 2. Durch direktes Nachrechnen erhält man e, e = + + = e, e = + + = e 2, e 2 = + + =

8 2.2 Kausalstruktur 8 Wir sehen also, dass e zeitartig, jedoch e und e 2 raumartig sind. Dies gilt auch für allgemeines n: Es ist dann immer e zeitartig und alle anderen Vektoren e,..., e n sind raumartig. Daher ist also (e,..., e n ) eine Pseudo-Orthonormalbasis des R,n im Sinne der Definition.27. Dies kann man sich wie folgt zu Nutze machen. 2.7 Lemma. Sei x R,n. Dann gilt und Jeden Vektor y R,n gilt außerdem Aufgabe 2.8. Beweise Lemma 2.7. x = x e + n x j e j = x e + x j= } {{ } =: x 2.9 Definition (Zeitorientierung). Für jedes Ereignis x R,n heißt Zukunft bzw. Vergangenheit von x. x, x = x 2 + x 2. (2.) x, y = x y + x, y. (2.2) T + (x) := {y R,n y x > } T (x) := {y R,n y x < } 2. Definition (Kausalstruktur). Sei nun x R,n beliebig. Dann heißen I(x) := {y R,n y x ist zeitartig} J(x) := {y R,n y x ist kausal} C(x) := {y R,n y x ist lichtartig} Zeitkegel, Kausalkegel bzw. Lichtkegel von x. Wir definieren außerdem I ± (x) := I(x) T ± (x), die chronologische Zukunft/Vergangenheit von x, J ± (x) := J(x) T ± (x), die kausale Zukunft/Vergangenheit von x, C ± (x) := C(x) T ± (x), den Zukunfts-/Vergangenheitslichtkegel von x. 2. Bemerkung. Setzt man I ± := I ± (), J ± := J ± (), C ± := C ± (), dann gilt I ± (x) = x + I ±, J ± (x) = x + J ±, C ± (x) = x + C ±.

9 2.3 Geometrie 9 Zeit Zukunft C + (x) Gegenwart Raum x Raum Vergangenheit C (x) Abbildung 2.4: Kegel 2.3. Geometrie 2.2 Definition (Kegel). Eine Menge K R n heißt Kegel, falls gilt: Eine Menge D R n heißt Doppelkegel, falls gilt x K : λ > : λx K x K : λ : λx K 2.3 Lemma. Für jedes x R,n gilt: Die Mengen I(x), J(x), C(x) sind Doppelkegel, die Mengen I ± (x), J ± (x), C ± (x) sind Kegel. Aufgabe 2.4. Beweise Lemma Lemma (Charakterisierung von Zeitkegel). Es seien x, y I, also zeitartig. Dann sind äquivalent: (i). x und y sind beide im selben Zeitkegel (also beide in I + oder beide in I ). (ii). Es gilt x y >. (iii). Es gilt x, y <. Ebenso sind x und y in verschiedenen Zeitkegeln genau dann wenn x y < genau dann wenn x, y >. Beweis. Seien x, y R,n zeitartig, d.h. x, y I. Da x zeitartig ist, folgt > x 2 = x 2 + x 2, = x 2 > x 2, = x > x. Genauso gilt auch y > y und daraus folgt y x > x y. (2.3)

10 2.3 Geometrie Es gilt außerdem gemäß (2.2) und nach der Cauchy/Schwarz-Ungleichung gilt Deswegen folgt aus (2.4) (Zahlenstrahl malen!) Es gilt daher: x und y liegen im selben Zeitkegel genau dann wenn x, y = x y + x, y. (2.4) x, y (.5) x y (2.3) < x y. (2.5) sgn( x, y ) = sgn( x y ). (2.6) x y > sgn(x y ) = sgn( x y ) = (2.6) sgn( x, y ) = x, y <. Der Zusatz folgt aus der Tatsache, dass stets x y gilt, denn sonst wären x und y ja nicht zeitartig. 2.6 Korollar. Sei x R,n zeitartig und y x. Dann ist y raumartig oder lichtartig. Beweis. Falls y =, dann ist y per Definition raumartig. Sei daher y. Nach Voraussetzung gilt x, y =. Wäre y zeitartig, dann folgt aus Lemma 2.5, dass entweder x, y > oder x, y < gilt. Widerspruch! 2.7 Satz (Minkowski Metrik). Es seien x, y R,n zeitartig. Dann gilt (i). Inverse Cauchy/Schwarz-Ungleichung (ii). Inverse Dreiecksungleichung x, y x y. (2.7) x + y x + y (2.8) Beweis. (i). Gemäß Satz.22 können wir y zerlegen in y = λx + y mit y x. Wir erhalten y, y = λx + y, λx + y = λ 2 x, x +2λ x, y + y, y = λ 2 x, x + y, y, und damit Gemäß Korollar 2.6 ist y raumartig. Daher ist λ 2 x, x = y, y y, y. (2.9) x, x y, y > (2.)

11 2.3 Geometrie und es folgt (ii). Wir rechnen x, y 2 = x, λx + y 2 = (λ x, x + x, y ) 2 = λ 2 x, x 2 (2.9) = x, x ( y, y y, y ) = x, x y, y x, x y, y (2.) x, x y, y = ( x, x )( y, y ) = x 2 y 2. ( x + y ) 2 = x x y + y 2 (2.7) x, x +2 x, y y, y 2.5 = ( x, x +2 x, y + y, y ) = x + y, x + y = x + y Lemma (Hyperbolischer Winkel). Seien x, y R,n zeitartig und im selben Zeitkegel. Dann existiert genau eine Zahl ϕ R, sodass cosh(ϕ) = Es heißt dann ϕ := (x, y) der hyperbolische Winkel zwischen x und y. Beweis. Gemäß Lemma 2.5 ist x, y = x, y und somit gemäß (2.7) Also gilt x, y = x, y x y x, y x y. x, y x y. (2.) und somit erfüllt gemäß (A.3) die Zahl ϕ := arcosh( x,y x y ) die gewünschten Eigenschaften. 2.9 Definition (Relativgeschwindigkeit). Seien x, y R,n zeitartig und im selben Zeitkegel. Sei ϕ := (x, y). Dann heißt Relativgeschwindigkeit zwischen x und y. v := v(x, y) := tanh(ϕ) 2.2 Satz. Seien x, y R,n, z := y x, z x und ϕ := (x, y), v := v(x, y). Es seien außerdem x und y zeitartig und im selben Zeitkegel. Dann gilt der hyperbolische Pythagoras x 2 z 2 = y 2 (2.2)

12 3 Beobachter und Teilchen 2 und außerdem die Identitäten x = y cosh(ϕ), (2.3) z = y sinh(ϕ), (2.4) x = y. v 2 (2.5) Beweis. Da z x sind, gilt ist gemäß Korollar 2.6 z raum- oder lichtartig, d.h. z, z. Da x und y zeitartig y 2 = y, y = z + x, z + x = z, z 2 z, x x, x = z 2 + x 2. }{{} = Per Definition gilt cosh(ϕ) y (2.) = = x, y = x, z + x x x x ( x, x + x, z ) = }{{} x = x, x = x 2 x = x. Daraus folgt dann z 2 (2.2) = x 2 y 2 (2.3) = y 2 cosh(ϕ) 2 y 2 = y 2 (cosh(ϕ) 2 ) (A.2) = y 2 sinh(ϕ) 2. Und schließlich x (2.3) = y cosh(ϕ) (A.4) = y v 2 3. Beobachter und Teilchen 3. Definition (Kurve). Sei I R ein Intervall. Eine Abbildung γ = (γ,..., γ n ) : I R n heißt stetig differenzierbar, falls für alle i n gilt: γ i : I R ist stetig differenzierbar. Die Ableitung notiert man dann auch häufig mit γ i. Die Abbildung γ : I R n t ( γ (t),..., γ n (t)) heißt Ableitung von γ. Eine stetig differenzierbare Abbildung γ : I R n heißt auch Kurve. Ein Element t I heißt Zeitpunkt. 3.2 Definition (Beobachter). Sei x, v R,n. Eine Kurve der Form γ : I R,n t x + tv

13 3. Zwillingsparadoxon 3 heißt Materieteilchen, falls γ = v I + (x). Eine solche Kurve heißt Lichtteilchen, falls γ = v C + (x) liegt. Eine Kurve heißt Teilchen, falls sie ein Materieteilchen oder ein Lichtteilchen ist. In beiden Fällen heißt γ(i) R,n die Weltlinie von γ. Ein Materieteilchen heißt frei fallend, falls γ = v =. 3.3 Definition (Eigenzeit). Sei y J + (x) ein Ereignis, dann heißt Eigenzeit von x nach y. s(x, y) := y x 3.4 Bemerkung. Sei γ : I R,n ein frei fallendes Materieteilchen, d.h. γ(t) = x + tv. Die Größe s(γ(), γ(t)) = t ist die Zeit, die zwischen den Zeitpunkten und t aus Sicht von γ vergangen ist. 3.. Zwillingsparadoxon Sei γ : [, [: R,3, t te. Dann entspricht γ einem in ruhenden Materieteilchen, welches frei (durch die Zeit) fällt. Seine Geschwindigkeit ist also γ = e =: x. Wir stellen uns γ als einen Zwilling vor. Der andere Zwilling, nennen wir ihn σ, verlässt γ zum Zeitpunk t =. Wir beschreiben ihn als ein frei fallendes Materieteilchen σ : [, [ R,n mit Geschwindigkeit σ =: y. Wir messen hier die Geschwindigkeit in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit und die Zeit in Jahren. Wir gehen davon aus, dass γ und σ zum Start des Experiments bei t = beide 2 Jahre alt sind und dass sich σ mit einer Relativgeschwindigkeit von v := von γ entfernt. Bei t = 7 Jahren dreht σ um und bewegt sich erneut als frei fallendes Materieteilchen zurück zu γ, auf das er nach 7 weiteren Jahren trifft. Also beträgt das Alter von σ genau = 35 Jahre. Wie alt ist γ zu diesem Zeitpunkt, d.h. was ist die Eigenzeit von 2 x? Die Situation ist in Abschnitt 3. dargestellt. Mit Formel (2.5) erhalten wir: 2 x = 2 y = 4 v 2 = = ( )2 = = 2 25 = 5 Daher ist also γ zu diesem Zeitpunkt = 7 Jahre alt. t = t = 7 γ σ ϕ t = Abbildung 3.5: Das Zwillingsparadoxon

14 A Anhang 4 A. Anhang A.. Die Wahrheit über Sinus und Cosinus A. Definition (Sinus und Cosinus). Die Abbildungen sin : R R x x2k+ k= ( )k (2k+)! bzw. heißen Sinus bzw. Cosinus. cos : R R x x2k k= ( )k (2k)! A.2 Bemerkung. Uns ist schon klar, dass diese Abbildungen in der Schule meistens anders (gar nicht) definiert werden. Wir schreiben die präzise Definition hier nur aus Gründen der Vollständigkeit hin und stellen einige grundlegende Eigenschaften dieser Funktionen zusammen. 2 sin α tan α = sin α cos α 2 cos α 2 Abbildung A.6: Trigonometrischer Pythagoras A.3 Satz (Trigonometrischer Pythagoras). Es gilt x R : sin(x) 2 + cos(x) 2 =. A.4 Satz (Additionstheoreme). Es gelten die Additionstheoreme α, β R : cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± sin(β) cos(α)

15 A.2 Hyperbolische Trigonometrie 5 A.5 Satz (Eigenschaften Trigonometrischer Funktionen). (i). Beziehung zur Exponentialfunktion x R : cos(x) + i sin(x) = e ix (ii). Trigonometrischer Pythagoras x R : cos(x) 2 + sin(x) = (A.) (iii). Parität x R : sin( x) = sin(x) Man sagt auch sinh is ungrade und cosh ist grade. (iv). Additionstheoreme cos( x) = cos(x). α, β R : cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± sin(β) cos(α) (v). Umkehrfunktionen Alle trigonometrischen Funktionen besitzen Umkehrfunktionen. Sie sind defniert auf Diese Funktionen heißen Arkusfunktionen. (vi). Differentialgleichungen A.2. Hyperbolische Trigonometrie arcsin: [, ] R arccos: [, ] R arctan: R R arcccot: R R sin = cos cos = sin tan = cos 2 cot = sin 2 A.6 Definition (hyperbolische trigonometrische Funktionen). Die Funktionen sinh : R R x ex e x 2 cosh : R R x ex +e x 2 tanh : R R x sinh(x) cosh(x)

16 A.2 Hyperbolische Trigonometrie 6 coth : R R x tanh(x) heißen sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, tangens hyperbolicus bzw. cotangens hyperbolicus. Zusammen nennt man sie die hyperbolischen trigonometrischen Funktionen. A.7 Satz (Eigenschaften Hyperbolischer Funktionen). (i). Beziehung zur Exponentialfunktion (ii). Hyperbolischer Pythagoras x R: cosh(x) + sinh(x) = e x cosh(x) sinh(x) = e x x R: cosh(x) 2 sinh(x) 2 = (A.2) Es gilt übrigens auch: cosh(x) 2 + sinh(x) 2 = cosh(2x). (iii). Parität x R: sinh( x) = sinh(x) Man sagt auch sinh is ungrade und cosh ist grade. (iv). Additionstheoreme cosh( x) = cosh(x). x, y R: sinh(x + y) = cosh(x) sinh(y) + sinh(x) cosh(y) cosh(x + y) = sinh(x) sinh(y) + cosh(x) cosh(y) tanh(x + y) = tanh(x) + tanh(y) + tanh(x) tanh(y) (v). Umkehrfunktionen Alle hyperbolischen trigonometrischen Funktionen besitzen Umkehrfunktionen. Sie sind gegeben durch arsinh: R R x ln(x + x 2 + ) arcosh: [, [ R x ln(x + x 2 ) artanh: ], [ R x x+ 2 ln( x ) (A.3) arcotanh: ], [ ], [ R x +x 2 ln( x ) Diese Funktionen heißen Area Funktionen.

17 A.2 Hyperbolische Trigonometrie 7 (vi). Relationen x ], [: cosh(artanh(x)) = x 2 (A.4) (vii). Differentialgleichung (viii). Beziehungen zu trigonometrischen Funktionen sinh = cosh cosh = sinh tanh = cosh 2 coth = sinh 2 cosh(ix) = cos(x) sinh(ix) = sin(x) A.8 Bemerkung. Genauer heißt die Funktion arsinh area sinus hyperbolicus. Aufgabe A.9. Beweise Satz A.7

18 Index 8 Index β-orthogonal, 5 Ableitung von γ, 2 Additionstheoreme, 4 Basis, 6 Beobachter, 2 bilinear, 4 binomische Formel, 3 Cauchy/Schwarz Ungleichung, 4 chronologische Zukunft/Vergangenheit von x, 8 Doppelkegel, 9 Dreiecksungleichung, 4 Eigenzeit, 3 Einheitssphäre, 3 Ereignis, 7 euklidischer Raum, 2 frei fallend, 3 hyperbolischer Winkel, kanonische Basis des R n, 5 kausal, 7 kausale Zukunft/Vergangenheit von x, 8 kausaler Charakter, 7 Kausalkegel, 8 Kausalstruktur, 8 Kegel, 9 Kronecker-Delta, 6 Kurve, 2 Orthonormalbasis, 6 positiv definit, 5 Pseudo-Orthonormalbasis, 6 raumartig, 7 regulär, 5 Relativgeschwindigkeit, Skalarmultiplikation, 2 Skalarprodukt, 2, 5 stetig differenzierbar, 2 symmetrisch, 4 Teilchen, 3 Unterraum, 4 Vektoraddition, 2 Vektoroperationen, 2 Vergangenheit, 8 Weltlinie von γ, 3 Winkel, 3 zeitartig, 7 Zeitkegel, 8 Zeitorientierung, 8 Zeitpunkt, 2 Zukunft, 8 Zukunfts-/Vergangenheitslichtkegel von x, 8 Zwillingsparadoxon, 3 Länge, 2 lichtartig, 7 Lichtkegel, 8 Lichtteilchen, 3 Materieteilchen, 3 Minkowski-Metrik, 6 Minkowski-Norm, 6 Minkowski-Raum, 6 Norm, 2 orthogonal, 4

19 Abbildungsverzeichnis 9 Symbolverzeichnis _, _ Skalarprodukt, page 2 x β y x steht bezüglich β senkrecht auf y, page 5 x β β-orthogonales Komplement von x, page 5 C(x) Lichtkegel von x, page 8 C + (x) Zukunftslichtkegel von x, page 8 C (x) Vergangenheitslichtkegel von x, page 8 δ ij Kronecker-Delta von i und j, page 6 e i i-ter kanonischer Basisvektor, page 5 x von x erzeugte Gerade, page 4 I(x) Zeitkegel von x, page 8 I + (x) chronologische Zukunft von x, page 8 I (x) chronologische Vergangenheit von x, page 8 J(x) Kausalkegel von x, page 8 J + (x) kausale Zukunft von x, page 8 J (x) kausale Vergangenheit von x, page 8 x, y Minkowski-Metrik, page 6 R,3 Minkowski-Raum, page 6 x y x steht euklidisch senkrecht auf y, page 4 x euklidisches orthogonales Komplement von x, page 4 R n euklidischer Raum, page 2 S n euklidische Einheitssphäre der Dimension n, page 3 v(x, y) Relativgeschwindigkeit zwischen x und y, page Winkel, page 3 (x, y) euklidischer Winkel zwischen x und y, page 4 (x, y) hyperbolischer Winkel zwischen x und y, page Abbildungsverzeichnis.. Addition Der Cosinussatz Hermann Minkowski, * , 2..99, deutscher Mathematiker und Physiker Kegel Das Zwillingsparadoxon A.6. Trigonometrischer Pythagoras