Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

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Agnes Beckenbauer
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1 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen Üben und Vertiefen durch Analogien Thilo Steinkrauß Herder-Gymnasium Berlin / 22

2 Felix Klein 2 Kreis: Sinus und Cosinus Hyperbel: Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Erste Analogien 3 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus 4 Additionstheoreme Ableitungen Graphen Kettenlinie 5 2 / 22

3 Felix Klein * in Düsseldorf; in Göttingen 3 / 22

Felix Klein * 5 2.2 2.43 2 in Düsseldorf; 22.06.

4 Felix Klein * in Düsseldorf; in Göttingen Alle Pädagogen sind sich darin einig: Man muss vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt. 3 / 22

5 Doppelte Diskontinuität: Der junge Student sieht sich am Beginn seines Studiums vor Probleme gestellt, die ihn in keinem Punkte mehr an die Dinge erinnern, mit denen er sich auf der Schule beschäftigt hat; natürlich vergißt er daher alle diese Sachen rasch und gründlich. Tritt er aber nach Absolvierung des Studiums ins Lehramt über, so soll er plötzlich eben diese herkömmliche Elementarmathematik schulmäßig unterrichten; da er diese Aufgabe kaum selbständig mit seiner Hochschulmathematik in Zusammenhang bringen kann, so wird er in den meisten Fällen recht bald die althergebrachte Unterrichtstradition aufnehmen, und das Hochschulstudium bleibt ihm nur eine mehr oder weniger angenehme Erinnerung, die auf seinen Unterricht keinen Einfluß hat. 4 / 22

6 [...] Meine Aufgabe hier wird stets sein, Ihnen den gegenseitigen Zusammenhang der Fragen der Einzeldisziplinen vorzuführen, [...], sowie insbesondere ihre Beziehungen zu den Fragen der Schulmathematik zu betonen. [...]: daß Sie dem großen Wissensstoff, der Ihnen hier zukommt, einst in reichem Maße lebendige Anregungen für Ihren eigenen Unterricht entnehmen können. aus: Felix Klein: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus,. Bd. Arithmetik, Algebra, Analysis 5 / 22

7 Kreis: Sinus und Cosinus Hyperbel: Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Erste Analogien x 2 + y 2 = y = sin(x α ) = sin(2a) x = cos(x α ) = cos(2a) A = π 2 xα 2π = x α 2 6 / 22

8 Kreis: Sinus und Cosinus Hyperbel: Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Erste Analogien x 2 y 2 = A =??? y = sinh(2a) x = cosh(2a) 7 / 22

9 Kreis: Sinus und Cosinus Hyperbel: Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Erste Analogien Trigonometrischer Pythagoras und hyperbolischer Pythagoras : cos 2 (x) + sin 2 (x) = x R x R cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 8 / 22

10 Kreis: Sinus und Cosinus Hyperbel: Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Erste Analogien Bijektivität, Umkehrfunktionen: [ arcsin : [ ; ] π ] 2 ; +π, arcsin(x) = x α = 2A 2 arccos : [ ; ] [0; π], arccos(x) = x α = 2A 9 / 22

11 Kreis: Sinus und Cosinus Hyperbel: Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Erste Analogien Bijektivität, Umkehrfunktionen: [ arcsin : [ ; ] π ] 2 ; +π, arcsin(x) = x α = 2A 2 arccos : [ ; ] [0; π], arccos(x) = x α = 2A arsinh : R R, arsinh(x) = 2A arcosh : [; + ] [0; + ], arcosh(x) = 2A 9 / 22

12 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus sin(x) = I(e ix ) = 2i (e ix e ix) = cos(x) = R(e ix ) = 2 (e ix + e ix) = ( ) k x 2k+ (2k + )! ( ) k x 2k (2k)! k=0 k=0 0 / 22

13 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus x 2 y 2 = A = x x 2 x t 2 dt = : ( 2 / 22

14 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Idee: Drehung um π 4 D = (gegen den Uhrzeigersinn) ( ( cos π ) ( 4 sin π ) 4 sin ( ) π 4 cos ( ) π 4 ) ( ) = / 22

15 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Idee: Drehung um π 4 (gegen den Uhrzeigersinn) ( x y ( ( cos π ) ( D = 4 sin π ) ) ( ) 4 sin ( ) π 4 cos ( ) π = ) ( ) ( x ) = D = 2 2 (x y) y 2 2 (x + y) ( = y= 2 2 x ) x 2 ( x 2 2 x + ) x / 22

16 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Idee: Drehung um π 4 (gegen den Uhrzeigersinn) ( ( cos π ) ( D = 4 sin π ) ) ( ) 4 sin ( ) π 4 cos ( ) π = ( ) ( ) ( x x ) y = D = 2 2 (x y) y 2 2 (x + y) ( = y= 2 2 x ) x 2 ( x x + ) x 2 ( 2 x + ) x 2 2 x = ( 2 x ) ( x 2 2 x + ) x 2 = y 2 / 22

17 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus y = x2 2 x und A = 2 x dx = :) x egen A ( (OXP ) ) = A ( (OX2Q ) ) = 4 3 / 22

18 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus A = 2 ln x x 2 }{{} = 2 ln x + x 2 }{{} y y 4 / 22

19 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus A = 2 ln x x 2 }{{} = 2 ln x + x 2 }{{} y 2A = ln (x y) 2A = ln (x + y) y 4 / 22

20 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus A = 2 ln x x 2 }{{} = 2 ln x + x 2 }{{} y 2A = ln (x y) 2A = ln (x + y) e 2A = x y e 2A = x + y y 4 / 22

21 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus A = 2 ln x x 2 }{{} = 2 ln x + x 2 }{{} y 2A = ln (x y) 2A = ln (x + y) e 2A = x y e 2A = x + y e 2A + e 2A = 2x e 2A e 2A = 2y y 4 / 22

22 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus ( 2 e 2A + e 2A) = x = cosh(2a) ( 2 e 2A e 2A) = y = sinh(2a) 5 / 22

23 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus cosh : R R, cosh(x) = 2 (e x + e x) sinh : R R, sinh(x) = 2 (e x e x) 6 / 22

24 Sinus und Cosinus Hyperbel: Bestimmung des Flächeninhalts A Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Taylorentwicklung: sinh(x) = 2 (e x e x) = cosh(x) = 2 (e x + e x) = k=0 k=0 x 2k+ (2k + )! x 2k (2k)! 7 / 22

25 Additionstheoreme Ableitungen Graphen Kettenlinie sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) 8 / 22

26 Additionstheoreme Ableitungen Graphen Kettenlinie sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y)+ sinh(x) sinh(y) 8 / 22

27 Additionstheoreme Ableitungen Graphen Kettenlinie sin = cos cos = sin 9 / 22

28 Additionstheoreme Ableitungen Graphen Kettenlinie sin = cos cos = sin sinh = cosh cosh = sinh 9 / 22

29 20 / 22 Felix Klein Additionstheoreme Ableitungen Graphen Kettenlinie

unelastischen, homogenen und vollkommen biegsamen Seiles konstanten Querschnitts an zwei (nicht notwendig gleich hohen)

30 Felix Klein Darstellung u ber Exponentialfunktionen, Taylorentwicklung Additionstheoreme Ableitungen Graphen Kettenlinie Die Seilkurve (Kettenlinie, Katenoide) ist die Kurve, die sich im Gleichgewicht einstellt, wenn die Endpunkte eines unelastischen, homogenen und vollkommen biegsamen Seiles konstanten Querschnitts an zwei (nicht notwendig gleich hohen) Stellen im Schwerefeld befestigt sind und das Seil außer seinem eigenen Gewicht keinen anderen Belastungen unterworfen ist. 2 / 22

31 Über uns Das Klein-Projekt hat das Ziel, eine Gemeinschaft für das Lernen über die Zusammenhänge zwischen Schulmathematik und zeitgenössische Forschung in den mathematischen Wissenschaften aufzubauen. Ein Vehikel dafür ist eine Klein Vignette, ein kurzes Schriftstück über ein bestimmtes Teilgebiet der Mathematik. 22 / 22

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