Signale und Systeme I

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1 TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme I Formelsammlung v.5 Inhaltsverzeichnis Mathematische Formeln. Trigonometrische Funktionen Integrations- und Differentiatiosregeln Unbestimmte Integrale Rechnen mit komplexen Exponentialfunktionen Summen und Reihen Verschiedenes Fourier-Reihe 4. Fourier Sinus-/Cosinus-Reihe Trigonometrische Fourier-Reihe) Fourier-Transformation 5. Eigenschaften Gebräuchliche Korrespondenzen Diskrete Fourier-Transformation DFT) 7 4. Eigenschaften Zeitdiskrete Fourier-Transformation DTFT) 8 5. Eigenschaften Gebräuchliche Korrespondenzen Laplace-Transformation 0 6. Eigenschaften Gebräuchliche Korrespondenzen Z-Transformation 7. Eigenschaften Gebräuchliche Korrespondenzen Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Formelsammlung Signale und Systeme I v.5

2 Mathematische Formeln Mathematische Formeln. Trigonometrische Funktionen x sinx) 0 cosx) 0 6 π 4 π π π π 4 π 5 6 π π 7 6 π 5 4 π 4 π π 5 π 7 4 π 6 π π tanx) 0 ± cotx) ± ± 0 0 ± 0 0 ± sinx) siny) = [cosx y) cosx + y)] sinx) cosy) = [sinx y) + sinx + y)] cosx) cosy) = [cosx y) + cosx + y)] ) ) x + y x y sinx) + siny) = sin cos ) ) x + y x y cosx) + cosy) = cos cos ) ) x + y x y cosx) cosy) = sin sin tanx) = sinx) cosx) = cos x) + sin x) cos x) = [ + cosx)] sin x) = [ cosx)] ) π cosx) = sin ± x ) π sinx) = cos x. Integrations- und Differentiatiosregeln Produktregel u v) = u v + u v Quotientenregel u ) v = u v u v v Kettenregel y xt) )) = dy dt = dy dx dx dt = y xt)) x t) Partielle Integration u v dx = u v u v dx. Unbestimmte Integrale Hinweis: Die Integrationskonstante C für die Stammfunktionen auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens wurde weggelassen. x e αx dx = eαx αx ) α x x e αx dx = e αx α x α + ) α x cosωx) dx = cosωx) ω x sinωx) dx = sinωx) ω + x sinωx) ω x cosωx) ω Formelsammlung Signale und Systeme I v.5

3 Mathematische Formeln x cosωx) dx = x x ω cosωx) + ω ) ω sinωx) x sinωx) dx = x x ω sinωx) + ω ) ω cosωx) e ax cosbx) dx = eax [ ] a + b a cosbx) + b sinbx) e ax sinbx) dx = eax [ ] a + b a sinbx) b cosbx).4 Rechnen mit komplexen Exponentialfunktionen Eulersche Formel Halbes Argument ausklammern e jx = cosx) + j sinx) cosx) = e jx + e jx) sinx) = j e jx e jx) e jx = e jx/ e jx/ e jx/) = j e jx/ sinx/).5 Summen und Reihen Geometrische Reihe Endliche geometrische Reihe Gaußsche Summenformel n=0 N n=0 N n= q n = q, für q < q n = qn+ q, für q n = N N + ).6 Verschiedenes Binomialkoeffizient n ) k = n! k!n k)!, für n k 0 Quadratische Gleichung x + px + q = 0 x, = p ± p ) q Umrechnen von Logarithmen log b x) = log a x) log a b) Formelsammlung Signale und Systeme I v.5

4 Fourier-Reihe Fourier-Reihe Das Signal vt) = vt + λt) sei periodisch mit Periodendauer T R und λ Z. vt) c µ t µ vt) = µ= π jµ c µ e T t c µ = T t0 +T t 0 vt) e jµ π T t dt. Fourier Sinus-/Cosinus-Reihe Trigonometrische Fourier-Reihe) vt) = c 0 + Berechung der Koeffizienten µ= a µ cos µ π ) T t + µ= b µ sin µ π ) T t c 0 = a 0 = T t0 +T t 0 a µ = Re {c µ } = T b µ = Im {c µ } = T Beziehung zur komplexen Fourier-Reihe vt) dt t0 +T t 0 t0 +T t 0 vt) cos µ π vt) sin ) T t dt µ π ) T t dt c µ = a µ jb µ ), c µ = c µ für µ {,..., } c 0 = a 0 Formelsammlung Signale und Systeme I v.5 4

5 Fourier-Transformation Fourier-Transformation vt) V jω) t ω vt) = F {V jω)} = V jω) e jωt dω π V jω) = F {vt)} = vt) e jωt dt. Eigenschaften Linearität a v t) + a v t) a V jω) + a V jω) Zeitverschiebung vt t 0 ) V jω)e jωt 0 Modulation vt)e jω 0t V jω ω 0 ) ) Zeitskalierung vat) a V jω a Zeitumkehr v t) V jω) Symmetrie Xjt) πv ω) Ableitung im Zeitbereich d n dt n vt) ) jω) n V jω) Ableitung im Frequenzbereich jt) n vt) d n dω V jω) n Integration t vτ)dτ jω V jω) + πv 0)δ 0ω) Multiplikation v t) v t) π V jω) V jω) Faltung v t) v t) V jω) V jω) Es gilt für die Faltungsoperation v t) v t) = τ= v τ)v t τ) dτ Formelsammlung Signale und Systeme I v.5 5

6 Fourier-Transformation. Gebräuchliche Korrespondenzen δ 0 t) δ t) jω + πδ 0ω) e at δ t) a+jω a > 0 e at δ t) a jω a > 0 t n e at δ t) n! a+jω) n+ a > 0 e at cosω 0 t)δ t) a+jω a+jω) +ω 0 e at sinω 0 t)δ t) ω 0 a+jω) +ω0 δ 0 t nt) π ) T δ 0 ω π T n n= n= cosω 0 t) π [δ 0 ω + ω 0 ) + δ 0 ω ω 0 )] sinω 0 t) jπ [δ 0 ω + ω 0 ) δ 0 ω ω 0 )] cosω 0 t)δ t) sinω 0 t)δ t) a > 0 a > 0 π [δ 0ω + ω 0 ) + δ 0 ω ω 0 )] + jω ω0 ω jπ [δ 0ω + ω 0 ) δ 0 ω ω 0 )] + ω 0 ω0 ω t ω e jω 0t πδ 0 ω ω 0 ) e t σ σ πe σ ω r T t) ω sinωt) = TsiωT) d T t) ) Tsi T ω signt) jω Definition einiger verwendeter Funktionen: r T t) d T t) signt) T T t T T t t Formelsammlung Signale und Systeme I v.5 6

7 4 Diskrete Fourier-Transformation DFT) 4 Diskrete Fourier-Transformation DFT) vn) V M µ) M M n M M µ vn) = IDFT M {V M µ)} = M M µ=0 V M µ) e jµ π M n V M µ) = DFT M {vn)} = M n=0 vn) e jµ π M n 4. Eigenschaften Linearität a v n) + a v n) a V M µ) + a V M µ) Zeitverschiebung vn n 0 ) V M µ)e jµ π M n 0 Modulation vn)e jµ 0 π M n V µ µ 0 ) Differenz im Zeitbereich vn) vn ) V M µ) e jµ π M ) Multiplikation v n) v n) M V Mµ) V M µ) Zyklische Faltung v n) v n) V M µ) V M µ) Es gilt v n) v n) = V M µ) V M µ) = M κ=0 M ν=0 v κ)v n κ) mod M V M ν)v M µ ν) mod M Formelsammlung Signale und Systeme I v.5 7

8 5 Zeitdiskrete Fourier-Transformation DTFT) 5 Zeitdiskrete Fourier-Transformation DTFT) vn) V e jω ) n π π π π Ω { } vn) = F V e jω ) = π π π V e jω ) e jωn dω V e jω ) = F {vn)} = vn) e jωn n= 5. Eigenschaften Periodizität V e jω ) = V e jω+πk) ) k Z Linearität a v n) + a v n) a V e jω ) + a V e jω ) Zeitverschiebung vn n 0 ) V e jω )e jωn 0 Modulation vn)e jω 0n V e jω Ω 0) ) Zeitskalierung v m) n) V e jωm ) m Z + Zeitumkehr v n) V e jω ) Konjugation v n) V e jω ) Ableitung im Frequenzbereich nvn) j d dω V ejω ) Multiplikation v n) v n) π V e jω ) V e jω ) Faltung v n) v n) V e jω ) V e jω ) Es gilt { vn/m), n/m Z v m) n) = 0, sonst v n) v n) = v κ)v n κ) V e jω ) V e jω ) = κ= π V e jω )V e jω θ) )dθ Formelsammlung Signale und Systeme I v.5 8

9 5 Zeitdiskrete Fourier-Transformation DTFT) 5. Gebräuchliche Korrespondenzen γ 0 n) π λ= δ 0 Ω πλ) γ n) + jπ δ e jω 0 Ω πλ) λ= e jω 0n π λ= δ 0 Ω Ω 0 πλ) cosω 0 n) π λ= [δ 0 Ω + Ω 0 πλ) + δ 0 Ω Ω 0 πλ)] sinω 0 n) jπ λ= [δ 0 Ω + Ω 0 πλ) δ 0 Ω Ω 0 πλ)] a n γ n) ae jω a < n + )a n γ n) a < { ae jω ) ), n N sin ΩN + ) sinω/) 0, n > N γ 0 n λm) π δ 0 Ω µ π M ) λ= µ= Formelsammlung Signale und Systeme I v.5 9

10 6 Laplace-Transformation 6 Laplace-Transformation vt) = L {V s)} = πj s=σ+jω ω= V s)e st ds V s) = L {vt)} = vt)e st dt 6. Eigenschaften Linearität a v t) + a v t) a V s) + a V s) Zeitverschiebung vt t 0 ) e st 0 V s) Modulation vt)e s 0t V s s 0 ) Ableitung im Zeitbereich d dt vt) sv s) Ableitung im Bildbereich t)vt) d ds V s) Integration t vτ) dτ s V s) Multiplikation v t) v t) πj V s) V s) Faltung v t) v t) V s) V s) Es gilt V s) V s) = V x)v s x) dx v t) v t) = x=σ+jη η= v τ)v t τ) dτ Formelsammlung Signale und Systeme I v.5 0

11 6 Laplace-Transformation 6. Gebräuchliche Korrespondenzen δ 0 t) s δ t) s Re{s} > 0 t k δ t) k! s k+ Re{s} > 0, k N 0 δ t) s Re{s} < 0 e s t δ t) s s Re{s} > Re{s } te s t δ t) s s ) Re{s} > Re{s } t k e s t δ t) k! s s ) k+ Re{s} > Re{s }, k N 0 e s t [ + s t]δ t) s s s ) Re{s} > Re{s } cosω 0 t ϕ)δ t) s cosϕ)+ω 0 sinϕ) s +ω0 Re{s} > 0 cosω 0 t)δ t) s s +ω0 Re{s} > 0 sinω 0 t)δ t) ω 0 s +ω 0 Gebrochen-rationale Funktionen B 0 + k 0 k ν ν= κ= B ν,κ { } Für Re{s} > max Re{s,ν }. s s,ν ) κ B 0 δ 0 t) + B 0 δ 0 t) + k 0 k ν ν= κ= k 0 k ν ν= κ= Re{s} > 0 B ν,κ e s,νt δ κ t) t κ B ν,κ e s,νt κ )! δ t) Formelsammlung Signale und Systeme I v.5

12 7 Z-Transformation 7 Z-Transformation vn) = Z {V z)} = πj Geschl. Weg um 0 V z)z n dz V z) = Z {vn)} = vn)z n n= 7. Eigenschaften Linearität a v n) + a v n) a V z) + a V z) Zeitverschiebung vn n 0 ) z n 0 V z) ) Modulation vn)z0 n V z z0 Differenz im Zeitbereich vn) vn ) V z)[ z ] Ableitung im Bildbereich n)vn) z d dz V z) n Summation vκ) V z) z κ= Multiplikation v t) v t) πj V η)v z η η Faltung v n) v n) V z) V z) ) dη η Es gilt v n) v n) = v κ)v n κ) κ= 7. Gebräuchliche Korrespondenzen γ 0 n) z γ n) z z z > γ n ) z z z < a n γ n) z z a a n γ n ) z z a na n γ n) za z a) n a n γ n) zaz+a) z a) n+λ ) κ a n+λ κ γ n + λ κ ) z λ z a) κ+ cosω 0 n ϕ) γ n) z > a z < a z > a z > a z > a z[z cosϕ) cosω 0 +ϕ)] z z cosω 0 )+ z > cosω 0 n) γ n) z[z cosω 0 )] z z cosω 0 )+ z > sinω 0 n) γ n) z sinω 0 ) z z cosω 0 )+ z > Formelsammlung Signale und Systeme I v.5

13 7 Z-Transformation Gebrochen-rationale Funktionen B 0 + k 0 k ν B ν,κ ν= κ= Für z > max { z,ν }. z z z,ν ) κ B 0 γ 0 t) + k 0 k ν ν= κ= B ν,κ z n κ+,ν ) n γ n κ + ) κ Formelsammlung Signale und Systeme I v.5