Signale, Transformationen

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1 Signale, Transformationen Signal: Funktion s(t), t reell (meist t die Zeit, s eine Messgröße) bzw Zahlenfolge s k = s[k], k ganzzahlig s reell oder komplex s[k] aus s(t): Abtastung mit t = kt s, s[k] = s(kt s ), T s Abtastperiode oder intervall, f s = /T s Abtastfrequenz Rekonstruktion von s(t) aus s[k] i Allg nur genähert möglich (Interpolationsproblem), s u In digitalen Systemen auch Signalwerte diskret, da endlicher Zahlenbereich: Quantisierung, gibt Quantisierungsrauschen, macht lineare Systeme eigentlich nichtlinear Alle wirklichen Signale haben Anfang und Ende und endliche Energie; alle anderen sind Idealisierungen für die Theorie Energie: E = s t (mittlere) Leistung: P = lim T s t 2T T T 2 d t bzw E = k= 2 d t bzw P = lim K s k 2 K 2 K k= K s k 2 Energiesignal: E< Leistungssignal: E=, aber 0<P< (gibt es nicht wirklich!) Alle wirklichen zeitkontinuierlichen Signale sind stetig; aber in der Theorie werden auch stückweis stetige und verallgemeinerte Funktionen (Distributionen, z B Deltafunktion) betrachtet, z B: Sprungfunktion: θ t =, t>0, 0, t<0 (Was ist bei t=0?) Rechteckfunktion: rect t =θ 2 t (Was ist bei t=/2?) Deltafunktion: δ t = lim T rect t T T Zeitdiskret: δ k =δ k 0 (Was heißt hier lim?) gewöhnlicher Einheitspuls

2 Periodische Signale (sind spezielle Leistungssignale): s(t) = s(t±t ) für alle t bzw s[k] = s[k±k ] für alle k T bzw K heißt Periode Alle Perioden sind ganzzahlige Vielfache einer kleinsten positiven, der Grundperiode Ihr Reziprokes ist die (Grund )Frequenz des Signals Achtung: Bei Abtastung eines periodischen s(t) ist das erhaltene s[k] i Allg nicht genau periodisch, falls die Grundperiode kein Vielfaches der Abtastperiode ist! Fouriertransformation Def: e i x =cos x isin x S(f ) bzw S[n] komplexes Spektrum, f Frequenz (oft auch mit Kreisfrequenz ω = 2πf geschrieben) s(t) kontinuierlich, aperiodisch: S f = s t e 2π i f t d t, s t = S f e 2π i f t d f s(t) kontinuierlich, endl Intervall oder periodisch mit T: T S n = s t e 2π i n t T 2π i d t, s t = S n e nt T T 0 n= Spektrum diskret, S[n] gehört zur Frequenz n/t Formal: S f = n= S n δ f n T s[k] diskret, aperiodisch; S(f ) periodisch mit f s = /T s f s 2π i f kt S f = T s s k e s, s k = S f e 2π i f kt s d f k= 0 Formal als Fourierintegral mit s t = k s k δ f s t k s[k] und S[n] diskret, endl Intervall oder periodisch mit N (Diskrete Fouriertransformation, DFT): N S n = S n e 2π i nk N N k=0 Schnelle Berechnung: Fast Fourier Transform (FFT), O(N log N) N s k e 2π i nk N, s k = n=0

3 Die FT ist linear Es gilt: Die FT von s( t) ist S( f ) Wenn s reell ist, so ist Re S gerade und Im S ungerade, also S( f ) = S * (f ) Parseval: S f 2 d f = s t 2 d t FT von ds(t)/dt ist 2πi f S( f ); FT von 2πi t s( t ) ist ds( f )/d f Faltung: kontinuierlich: x y t = x t τ y τ dτ diskret: x y k = κ= x k κ y κ Die Faltung ist kommutativ, assoziativ, distributiv Sind X und Y die Fouriertransformierten von x und y, so ist XY FT von x * y, entsprechend ist X * Y FT von xy Für periodische Signale: zyklische Faltung, T K 0 bzw κ=0 Abtasttheorem Abtastung entspricht Multiplikation mit Deltafunktionsfolge k δ f s t k, also wird die FT des Signals mit der FT dieser Folge gefaltet Diese sieht entsprechend aus: n δ f nf s D h, um nf s verschobene Kopien ("Aliases") der Signal FT werden aufsummiert, die sich für Rekonstruierbarkeit des Signals nicht überlappen dürfen Für nullsymmetrisches Frequenzintervall: Es darf keine Fourierkomponenten bei f f s 2 (Nyquist Frequenz) geben (sonst "Aliasing" [ εili ]) Rekonstruktion durch Interpolation mit sinc (idealer Tiefpass):

4 s t = s k sinc f s t k, k= sinc x := sin π x π x

5 Korrelation: für Energiesignale x, y kontinuierlich:c xy τ = x t y * τ= diskret: c xy m = k= * t τ d t = c yx x k y * * k m = c yx τ ; m Mit x = y heißt c die Autokorrelationsfunktion (AKF), sonst die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) Für Leistungssignal: mit T 2 T T 2 lim T bzw lim K K 2 K k= K 2 definiert Falls periodisch mit T bzw K: zyklische Korrelation, T K 0 bzw 0 (evtl mit /T bzw /K davor) Spektrale Dichten aperiodischer Signale: Energiesignal: spektrale Energiedichte (Energiespektrum) E(f ) = S(f ) 2 = FT der AKF; Leistungssignal: spektrale Leistungsdichte (Leistungsspektrum) P(f ) = FT der AKF (Wiener Khinchin), oder auch P f = lim 0 mit S T f 2 f 2 T 2 f = T 2 lim T T S T f 2 d f (lim Reihenfolge!), s t e 2π i f t d t (diskret entsprechend) (Formal auch bei periodischen Anteilen mit Deltafunktionen) Ensprechend auch Kreuzenergie und Kreuzleistungdichten als Fouriertransformierte der Kreuzkorrelationsfunktionen E(f ) bzw P(f ) werden meist logarithmisch aufgetragen (db Skala)

6 Cepstrum [kεp ]: Fourieranalyse des log Spektrums Für endliches Frequenzintervall ( F, F) definiert, z B zeitdiskrete Signale F = f s /2 : c τ = F F log S f 2 e 2π i f τ d f ; reell; gerade für s reell τ heißt "Quefrenz"; zeitdiskret: c k =c kt s Komplexes Cepstrum (reell für s reell): c τ = F F log S f e 2π i f τ d f ; c τ = c τ c τ Verallgemeinerte Cepstren: Potenzfunktion statt log Exponent entspricht der AKF Laplace Transformation: H s =? h t e st d t, s=σ iω (oft auch p statt s ) Zeitdiskret als z Transformation: h k z k, z=e st s, periodisch in Im s mit 2πf s H z = k=? {σ < 0, πf s ω < πf s } entspricht { z < } Faltungssatz gilt auch für diese Hilberttransformation: zeitkontinuierlich: Faltung mit /πt (als Cauchy Hauptwert) Entspricht Multiplikation der FT mit i sgn f, also Phasendrehung um π/2 (cos sin, sin cos) zeitdiskret: Faltung mit Analytisches Signal: 2 π k, k ungerade, 0, k gerade Signal + i * Hilberttransformierte, hat keine Fourierkomponenten 0 für f < 0 (bzw f s 2< f<0 )

7 Signale, Transformationen, lineare Systeme Signale: zeitkontinuierlich, zeitdiskret Energie, Leistung Spezielle Signale: Sprungfunktion, Rechteckfunktion, Deltafunktion (bzw Einheitspuls) Periodizität Fouriertransformation: kontinuierlich, aperiodisch kontinuierlich, aperiodisch diskret periodisch oder endliches Intervall periodisch oder endl Int diskret diskret, periodisch diskret, periodisch (DFT) Rekonstruierbarkeit diskret kontinuierlich: Nyquist Kriterium (bandbeschränkt auf < f s /2) Rekonstruktion: sinc Interpolation (idealer Tiefpass) Ableitung Multiplikation mit iω Faltung Produkt Autokorrelation Energie bzw Leistungsspektrum Kreuzkorrelation Kreuz Energie bzw Kreuz Leistungsspektrum Cepstrum (FT von log Spektrum), komplexes Cepstrum Laplace Transformation (komplexe Frequenz) Z Transformation aus Laplace Transformation für diskrete Zeit wegen Frequenz Periodizität Hilberttransformation: Phasendrehung um π/2 Lineare Filter: Lineare Abbildung (Matrix) auf Signalen Kausal: Output hängt nicht von zukünftigen Input Werten ab (Dreiecksmatrix) Zeitinvariant: Matrix nur von Index Differenz abhängig Faltung mit Impulsantwort h Multiplikation mit Übertragungsfunktion H (Frequenz, Laplace oder z Bereich) Kausal: Impulsantwort = 0 für Zeit 0; Im H(f) = Hilberttransformation von Re H(f) Filter endlicher Ordnung: Differenzengleichung; Übertragungsfunktion rational (Quotient zweier Polynome in z) Stabilität: Beschränkter Input gibt beschränkten Output; keine Pole in z Kausal und stabil invertierbar: keine Pole und Nullstellen in z Spezielle Filtertypen: Allpass, Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre