Verzerrungsfreies System

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1 Verzerrungsfreies System x(n) y(n) n n x(n) h(n) y(n) y(n) A 0 x(n a) A 0 x(n) (n a) h(n) A 0 (n a) H(z) A 0 z a Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.1.1

2 Erzeugung einer linearen Phase bei beliebigem System Phasendrehung: g() g() g() 0 a x(n) G(e j ) e jg() G(e j ) e jg() z a y(n) x(n) h(n) y(n) H(z) G(z) G(z 1 ) z a h(n) g(n) * g(an) Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.1.2

3 Amplitudengang, Phasengang und Gruppenlaufzeit eines analogen Tiefpaß BUTTERWORTH FILTER n 11, f c 500Hz Quelle: Rabiner, Gold: Theory and Application of Digital Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.1.3

4 Toleranzschema für einen Tiefpaß 1 1 H(e j 1 1, H(e j 2, p 8 Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.1.4

5 Systemübertragung von der s Ebene in die z Ebene mit Impulsinvarianzverfahren Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.1

6 Lage der Pole und Nullstellen bei unterschiedl. Übertragungsverfahren des Systems H(s) in die z Ebene Impulsinvarianzverfahren H(z) 1e at cos(bt) z 1 1 2e at cos(bt) z 1 e 2aT z 2 Angepaßte z Transformation H(z) 1e at z 1 12e at cos(bt) z 1 e 2aT z 2 Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.2

7 Systemübertragung von der s Ebene in die z Ebene unter Verwendung der Bilineartransformation H a (s) 1 s a H(z) H a (s) s 2 T z1 z1 z 1 1 (2Ta) (a2t)z 1 s Ebene z Ebene a a 2T 2T a Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.3

8 Verzerrung der Frequenzachse bei der Bilinear transformation Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.4

9 Bilineartransformation vs. Impulsinvarianzver fahren beim Entwurf eines Tiefpaß Quelle: Rabiner, Gold: Theory and Application of Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.5

10 Bilineartransformation vs. Impulsinvarianzver fahren beim Entwurf einer Bandsperre Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.6

11 Bilineartransformation vs. Impulsinvarianzver fahren beim Entwurf eines Hochpaß Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.7

12 Bilineartransformation vs. Impulsinvarianzver fahren beim Entwurf eines breitbandigen TP Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.8

13 Amplitudengang und Pollagen bei einem Butterworth Filter in der s Ebene H a (j) 0 s Ebene c 60 o Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.2.9

14 Amplitudengang und Pollagen bei einem Tschebyscheff Filter in der s Ebene 3 s Ebene a c b c Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke

15 Amplitudengang und Lage der Pole und Null stellen bei einem Elliptischen Filter y u Ebene Sperrbereich CD an 1 (je) D C K B A x Durchlaßbereich 2K NK Quelle: Gold, Rader: Digital Processing of Signals Digitale Signalverarbeitung Liedtke

16 Zusammenhang zwischen den Parametern,k und n beim Entwurf elliptischer Filter Digitale Signalverarbeitung Liedtke

17 Frequenztransformationsverfahren für Tiefpässe Verfahren a) Entwurf analoger Tiefpaß Frequenz transfor mation Überführung in digitales System gewünschtes Digitales Filter C 1 Analog Analog Verfahren b) Entwurf analoger Tiefpaß Überführung in digitales System Frequenz transfor mation gewünschtes Digitales Filter C 1 Digital Digital Digitale Signalverarbeitung Liedtke

18 Frequenztransformation eines analogen Tiefpaß mit der Grenzfrequenz c 1 s s u Tiefpaß Tiefpaß s u s Tiefpaß Hochpaß s s2 l u s( u l) Tiefpaß Bandpaß s s( u l ) s u l Tiefpaß Bandsperre l untere Grenzfrequenz u obere Grenzfrequenz Digitale Signalverarbeitung Liedtke

19 Frequenztransformation eines digitalen Tiefpaß mit der Grenzfrequenz p Filtertyp Transformation Zugehörige Entwurfsformeln Tiefpaß z 1 Z1 1 Z 1 sin p p 2 2 sin p p Hochpaß Z1 1 Z 1 cos p p cos p p 2 2 Bandpaß k1 Z1 k1 k1 k1 k1 Z2 2k k1 Z1 1 Z2 2k p gewünschte Grenzfrequenz cos cos k cot tan p 2 Bandsperre Z2 2k 1k 1k Z2 2 1k Z1 1k 1k 1k Z1 1 cos cos 2 1 k tan tan p 2 2, 1 gewünschte obere und untere Grenzfrequenz Digitale Signalverarbeitung Liedtke

20 Frequenztransformation eines digitalen Tiefpaßfilters Quelle: Rabiner, Gold: Theory and Application of Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke

21 Pole und Nullstellen eines digitalen Butterworthfilters tan ct 2 c T 4 0, z 2 z 1 1 z 3 32, 64 o 65, 04 o 51, 26 o z 4 21, 66 o Nullstelle 8 ter Ordnung z 5 z z 7 z 8 Quelle: Gold, Rader: Digital Processing of Signals Digitale Signalverarbeitung Liedtke

22 Filterentwurf durch Optimierung mit einem quadratischen Fehlerkriterium a) Vorgegebener Amplitudengang b) Resultat für K=1 bzw. K=2 Glieder 2ter Ordnung Digitale Signalverarbeitung Liedtke

23 Filterentwurf durch Optimierung mit Fehler kriterium p = 10 ter Ordnung Digitale Signalverarbeitung Liedtke

24 Typische Impulsantwort eines linearphasigen FIR Filters h(n) N odd 0 N 1 2 N 1 n h(n) N even 0 N 1 2 N 1 n Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.1

25 Einfluß des Abschneidens der Impulsantwort auf den Frequenzgang Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.2

26 Einfluß der Fensterlänge N auf W(e j ) (a) N=51, (b) N = 101, (c) N = 201 Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.3

27 Spektrale Abtastwerte eines idealen Tiefpaß (a) ohne und (b) mit Wert im Übergangsbereich (a) 1 H d (e i ), H ~ (k) 0 c k (b) H d (e i ), H ~ (k) 1 H 1 0 c k Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.4

28 Einfluß eines spektralen Abtastwertes im Übergangsbereich Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.5

29 (a) Spektrale Abtastwerte und (b) Frequenzgang eines Tiefpaß mit 2 Werten im Übergangsbereich a) b) Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.6

30 Standardisierte Schreibweise der Übertragungs funktion linearphasiger FIR Filter H(e j ) e j(n1)2 e j(2)l P(e j ) Q(e j ) L Q(e j ) P(e j ) Fall 1: N ungerade h(n) h(n1n) 0 1 (N1)2 n0 a ~ (n) cos(n) Fall 2: N gerade h(n) h(n1n) 0 cos 2 (N2)1 n0 b ~ (n) cos(n) Fall 3: N ungerade h(n) h(n1n) 1 sin() (N3)2 n0 c ~ (n) cos(n) Fall 4: N gerade h(n) h(n1n) 1 sin 2 (N2)1 n0 d ~ (n) cos(n) Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.7

31 Alternation Theorem A sei die Menge der nichtüberlappenden relevanten Frequenzbereiche im Intervall [0, ] Notwendig und hinreichend dafür, daß P(e j ) die beste Tschebyscheff Approximation darstellt, ist, daß der Fehler E(e j ) in A (r + 1) Extrema aufweist mit r1 und E(e j i) E(e j i1) i 1, 2,, r 1 Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.8

32 Equiripple Approximation eines Tiefpaß: (a) Resultat (b) gewünschter Verlauf (c) Approximationsfehler Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.3.9

33 Lage der Extrema der Fehlerfunktion beim Entwurf eines Tiefpaß mit N = 15 P(ej ) Digitale Signalverarbeitung Liedtke

34 Maximale Zahl der Extrema N e r22 den Extraripplefall für Fall 1: N ungerade h(n) = h(n 1 n) N e (N1)22 Fall 2: N gerade h(n) = h(n 1 n) N e N22 Fall 3: N ungerade h(n) = h(n 1 n) N e (N1)22 Fall 4: N gerade h(n) = h(n 1 n) N e N22 Digitale Signalverarbeitung Liedtke

35 Verfahren nach Herrmann und Schüßler H(e j p) 1 1 H(e j s) 2 H(e j0 ) 1 1, H(e j ) 2 H(e j 1 ) 1 1, H(e j 1 ) 0 H(e j 2 ) 1 1, H(e j 2 ) 0 H(e j 3 ) 2, H(e j 3 ) 0 H(e j 4 ) 2, H(e j 4 ) 0 H(e j 5 ) 2, H(e j 5 ) 0 Quelle: Oppenheim, Schafer: Digital Signal Processing Digitale Signalverarbeitung Liedtke

36 Interpolationsverfahren nach Hofstetter Anfangswerte Beispiel: Tiefpaß mit N e r 6 C o P(e jo ) 1 1 C 1 P(e j 1 ) 1 1 C 2 P(e j 2 ) 1 1 C 3 P(e j 3 ) 2 C 4 P(e j 4 ) 2 C 5 P(e j ) 2 Lagrangesche Interpolationsfunktion P(e j ) r1 k xx kc k k0 r1 k xx k0 k mit k r1 i0 ik 1 (x k x i ) und x cos Digitale Signalverarbeitung Liedtke

37 Iterationsschritte bei der Equiripple Approximation nach Hofstetter Digitale Signalverarbeitung Liedtke

38 Beispiel für einen Tiefpaßentwurf nach Hofstetter Tiefpaß mit r 125, N p 32, N s 94, 1 0, 01, 2 0, Digitale Signalverarbeitung Liedtke

39 Gleichungen zur Lösung des Approximations problems mit dem Remez Exchange Algorithmus Zu lösendes Gleichungssystem 1 cos 0 cos 2 0 cos[(r 1) 0 ] 1 cos 1 1 cos r Berechnung der Amplitudentoleranz 1 (e j 0) (0 ) (1) ( 1) r (r 1) (e j r ) W^ W^ D^ D^ D^ (e j 0 ) (e j 1 ) (e j r) a 0 W^ a 0 D^ (e j 0) a 1 D^ (e j 1)... a r D^ (e j r ) (e j 0) a 1 W^ a k r i0 ik 1 (x k x i ) (e j 1)... ( 1) r a r W^ (e j r ) x i cos i Interpolation des Frequenzgangs C k D^ P(e j ) (e j k ) ( 1) k W^ (e j k) r1 k xx kc k k0 r1 k xx k0 k mit und k 0, 1,..., r 1 k r1 i0 ik 1 (x k x i ) x cos Digitale Signalverarbeitung Liedtke

40 Berechnung der neuen Schätzwerte für die Lage bei Verwendung des Remez Exchange Algorithmus Digitale Signalverarbeitung Liedtke

41 Remez Exchange Algorithmus Anfangsschätzung für Lage der r + 1 Extrema Berechnung von unter Verwendung der Schätzwerte Interpolation von P(e j ) über r Extrema Berechnung der Gebiete, in denen E(e j ) Mehr als r + 1 Extrema? ja Auswahl der r + 1 größten Extrema nein Änderung Änderung der Lage der Extrema? keine Änderung Beste Approximation Digitale Signalverarbeitung Liedtke