1. Differentialgleichung der Filter zweiter Ordnung

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1 Prof. Dr.-Ing. F. Keller abor Elektronik 3 Filter zweiter Ordnung Info v.doc Hochschule Karlsruhe Info-Blatt: Filter zweiter Ordnung Seite /6. Differentialgleichung der Filter zweiter Ordnung Ein- und Ausgangsspannung (u und u ) der Filter zweiter Ordnung sind im allgemeinsten Fall über die folgende Beziehung (Differentialgleichung zweiter Ordnung) miteinander verknüpft: au + a u& + a u&& bu + b u& + b u&& Mit der komplexen Wechselstromrechnung ergibt sich: b b j b ( j + + ) a + a j + a ( j) Je nachdem, welcher der Koeffizienten b i im Zähler ungleich ist, erhält man einen Tiefpass, Bandpass oder Hochpass. Es ergibt sich für: b, b b : ein Tiefpass b, b, b : ein Bandpass b, b, b : ein Hochpass b, b, b : eine Bandsperre Das Verhalten von Filterschaltungen kann charakterisiert werden durch die zugehörigen Sprungantworten bzw. Frequenzgänge. Wir betrachten zunächst den Tiefpass. Seine Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt umformen: b b a V a a j a ( j ) a a j + ( j ) a a + Dj + () j Die normierte Darstellung im letzten Bruch ist zunächst etwas ungewohnt und erscheint willkürlich. Sie zeigt aber sehr deutlich, dass es eigentlich nur 3 Parameter gibt, die das Verhalten festlegen. V: die Gleichspannungsverstärkung : die Kennkreisfrequenz (entspricht in etwa der Grenze zwischen Durchlass- und Sperrbereich). D: die Dämpfung. In der Filtertheorie wird auch oft der Begriff der Güte Q benutzt. Sie ergibt sich aus der Dämpfung gemäß: Q D () Die Bilder -3 in Abschnitt 4 zeigen Sprungantwort, Amplituden- und Phasengang des Tiefpassfilters für V. Die Normierungsgrößen f und T sind gegeben durch: f T π f

2 Prof. Dr.-Ing. F. Keller abor Elektronik 3 Filter zweiter Ordnung Info v.doc Hochschule Karlsruhe Info-Blatt: Filter zweiter Ordnung Seite /6 Der Amplitudengang zeigt für hohe Frequenzen eine Abnahme auf /, wenn die Frequenz verzehnfacht wird (-4dB/Dekade). Die Phasenverschiebung kann Werte zwischen o (niedrige Frequenzen) bis -8 o (bei hohen Frequenzen) annehmen. Wie man den Diagrammen entnehmen kann, ist mit abnehmender Dämpfung (zunehmender Güte) ein Überschwingen der Sprungantwort und eine esonanzüberhöhung in der mgebung von f zu beobachten. Das Überschwingen der Sprungantwort tritt für D < auf, die esonanzüberhöhung für D <. Die Diagramme können bei allen Tiefpässen zweiter Ordnung angewendet werden. Hat man es nämlich mit einem Tiefpass mit bekannter Dgl aber unbekanntem Zeitbzw. Frequenzverhalten zu tun, so formt man die Übertragungsfunktion wie in Glg. () gezeigt um und kann so die Größen V, D, und bzw. f bestimmen. In den Diagrammen sucht man sich dann die zur Dämpfung passende Kurve. Bei Amplitudengang und Sprungantwort muss man natürlich noch den evtl. von abweichenden Verstärkungsfaktor berücksichtigen. Die Frequenz- bzw. Zeitachse kann man mit den bekannten Größen T und f leicht in Zeiteinheiten bzw. Frequenzeinheiten skalieren. Hochpässe zweiter Ordnung können durch folgende Gleichung beschrieben werden. V j + Dj + j Auch hier ist eine Normierung vorgenommen worden. Die Diagramme der Bilder 4 bis 6 zeigen das Verhalten des Hochpasses im Zeit- und Frequenzbereich. Ein Bandpass zweiter Ordnung (einen Bandpass erster Ordnung gibt es übrigens nicht) hat folgende Übertragungsfunktion: V j + Dj + j Die zugehörigen Diagramme zeigen die Bilder 7 bis 9. Hier gibt es einen interessanten Zusammenhang zwischen der Güte (Siehe Glg. ()) und der Bandbreite: Es ist: foben funten D f Q f oben (f unten ) ist dabei die Frequenz, bei der der Pegel gegenüber dem Pegel bei der Frequenz f um 3dB gefallen ist. Die folgende Übertragungsfunktion charakterisiert eine Bandsperre:

3 Prof. Dr.-Ing. F. Keller abor Elektronik 3 Filter zweiter Ordnung Info v.doc Hochschule Karlsruhe Info-Blatt: Filter zweiter Ordnung Seite 3 /6 V + j + Dj + j Die Bilder bis zeigen die entsprechenden Sprungantworten sowie die Amplituden- und Phasengänge.. Passive Filter zweiter Ordnung In der folgenden tabellarischen Übersicht sind die -Schaltungen der Filter zweiter Ordnung und die zugehörigen Übertragungsfunktionen angegeben. Die Formeln lassen sich einfach über die komplexen Spannungsteilerregeln aufstellen. In allen Gleichungen gilt: und D. Damit lassen sich auch einfach die grafischen Darstellungen in den Bildern bis zuordnen. Man beachte allerdings beim Bandpass, dass hier nicht V ist, sondern V gilt. Das bedeutet, dass bei der esonanzfrequenz, das Amplitudenverhältnis ist; die Kurven in Bild 8 haben also ihr Maximum auf der db-inie. j ( j ) j j Tiefpass. Ordnung ( j) + j + j ( ) Hochpass. Ordnung j + j + j j + j + j ( ) Bandpass. Ordnung j j + + j ( j) ( ) + + j + j Bandsperre. Ordnung + j + j + j

4 Prof. Dr.-Ing. F. Keller abor Elektronik 3 Filter zweiter Ordnung Info v.doc Hochschule Karlsruhe Info-Blatt: Filter zweiter Ordnung Seite 4 /6 3. Aktiver Tief-, Hoch und Bandpass zweiter Ordnung Die folgenden Bilder zeigen die ealisierung eines aktiven Tiefpasses und eines aktiven Bandpasses mit den zugehörigen Übertragungsfunktionen. mit α + ergibt gilt: α G( j) + ( 3 α) j + ( j) aktiver Tiefpass. Ordnung mit α + ergibt gilt: αj G( j) ( α) j ( j) aktiver Bandpass. Ordnung Auch die Übertragungsfunktionen der aktiven Pässe lassen sich normieren und in die Form der Gleichungen von Abschnitt umformen. Einen Hochpass. Ordnung erhält man, indem man beim Tiefpass zweiter Ordnung alle Widerstände durch Kondensatoren (und umgekehrt) ersetzt. (siehe auch den zugehörigen aborversuch).

5 Prof. Dr.-Ing. F. Keller abor Elektronik 3 Filter zweiter Ordnung Info v.doc Hochschule Karlsruhe Info-Blatt: Filter zweiter Ordnung Seite 5 /6 4. Grafische Darstellungen für die Filter zweiter Ordnung u D,5 D, D,3 D,9 D,7 D,5 D,3 D, 5 5 t/t Bild : Tiefpass - Sprungantworten u D,5 D,3 D, D,9 D,7 D,5 D,3 D, t/t Bild 4: Hochpass - Sprungantworten D, D, D,3 D,3 D,5 D,5 D,7 D,7 D,5 D,3 D,9 D, D, - D,9 - D,3 D,5 - - f/f Bild : Tiefpass - Amplitudengänge - - f/f Bild 5: Hochpass - Amplitudengänge D, D, D,3 D,3-5 D,9 D,5 D,7 5 D,5 D,7 D,9 - D, D,3 D, D,3 D,5 D, f/f Bild 3: Tiefpass - Phasengänge - f/f Bild 6: Hochpass - Phasengänge

6 Prof. Dr.-Ing. F. Keller abor Elektronik 3 Filter zweiter Ordnung Info v.doc Hochschule Karlsruhe Info-Blatt: Filter zweiter Ordnung Seite 6 / u D,9 D, D,3 D,5 D,7 D, D, D,3 D,5 D,7 D,9 D, D,3 D, D,3 D, t/t Bild 7: Bandpass - Sprungantwort D, D,3 5 5 t/t Bild : Bandsperre - Sprungantwort D,5 D,7 D,5 D,3 D,7 D,9 D, D,3 D, D,5 D,9 D, - - f/f Bild 8: Bandpass - Amplitudengang D, D,3 D,5 5 D,7 D,9 D, D,3 D,5 - D,3, D,5 - f/f Bild : Bandsperre - Amplitudengang 5 D. D.3 D.5 D.7 D.9 D D.3 D f/f Bild 8: Bandpass - Phasengang - - f/f Bild : Bandsperre - Phasengang