Seminarübungen: Dozent: PD Dr. Gunther Reißig Ort: 33/1201 Zeit: Mo Uhr (Beginn )

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1 Vorlesung : Dozent: Professor Ferdinand Svaricek Ort: 33/040 Zeit: Do Uhr Seminarübungen: Dozent: PD Dr. Gunther Reißig Ort: 33/20 Zeit: Mo Uhr (Beginn Vorlesungsskript:

2 Rückblick auf SRT Einführung Grundbegriffe der. Prinzip einer Steuerung und Regelung. Allgemeines Blockschaltbild eines Regelkreises. Linearisierung nichtlinearer Kennlinien. 2 Modellbildung dynamischer Systeme im Zeitbereich - Einheitssprungfunktion, Sprungantwort, Übergangsfunktion. - Dirac scher Deltaimpuls, Gewichtsfunktion. - Faltungsintegral. im Bildbereich - Laplace-Transformation (Grenzwertsätze. - Lösung von Differentialgleichungen. - Übertragungsfunktion, Pole und Nullstellen. - Blockschaltbildalgebra.

3 Rückblick auf SRT Definition und Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder (P, PT, PT 2, I, IT usw.. 3 Analyse des Regelkreises Übertragungsfunktion G 0 (s des offenen Kreises. Führungs- und Störübertragungsfunktion. Stationäres Verhalten des Regelkreises. Stabilität - Definition der asymptotischen Stabilität. - Algebraische Stabilitätskriterien. 4 Entwurf linearer Regelkreise Regelgüte. PID-Regler. Einstellregeln von Ziegler und Nichols.

4 Themenschwerpunkte RT Vertiefung und Erweiterung der Beschreibung und Analyse dynamischer Systeme im Frequenzbereich - Ortskurve und Bodediagramm. - Nyquist-Kriterium. - Wurzelortskurve. im Zeitbereich - Beschreibung und Analyse dynamischer Systeme im Zustandsraum. - Steuer- und Beobachtbarkeit. Entwurf linearer Regelungssysteme im Zeitbereich - Entwurf im Zustandsraum (Polvorgabe. - Zustandsbeobachter

5 Beschreibung im Bild- und Frequenzbereich Beschreibung, Analyse und Entwurf von Regelungssystemen ist im Bild- und Frequenzbereich häufig sehr viel einfacher als im Zeitbereich. Umwandlung linearer DGL mit konstanten Koeffizienten in algebraische Gleichung (Laplace- Transformation Das Übertragungsverhalten linearer Systeme kann durch eine gebrochen rationale Übertragungsfunktion beschrieben werden. Die Reaktion eines Systems auf harmonische Eingangssignale verschiedener Frequenzen wird untersucht.

6 Harry Nyquist 7. Feb. 889 geb. in Nilsby, Schweden 907 Einwanderung in die USA B.S. und M.S. in Electrical Engineering, University of North Dakota 97 Ph.D. in Physics, Yale University Tätig bei AT & T und Bell Telephone Laboratories 927 Abtasttheorem 932 Nyquist-Kriterium zur Untersuchung der Stabilität rückgekoppelter Verstärker 4. April 976 gestorben in Harlingen, Texas

7 Messung des Frequenzgangs Frequenzgangdarstellung u 0 sin( t u (t u 0 t y (t = t Generator lineares System y 0 sin( t + (stationär y 0 t 0 < < = - Oszilloskop Frequenzgang ( 0 j ( e u 0 G ( j y y ( G ( 0 u 0 Im G(j ( = y (t - u (t = - O G(j Re

8 Frequenzgangdarstellung (2 Frequenzgang: G ( j 0 ( y u 0 e j ( Amplitudengang: beschreibt wie ein dynamisches System eine sinusförmige Eingangsgröße überträgt (stationäres Verhalten. ist ein Maß für die Amplitudenveränderung (frequenzabhängiger Verstärkungsfaktor. Phasengang: * gibt an mit welcher Verspätung das Ausgangssignal dem Eingangssignal folgt. * Mehrdeutigkeit von arctan entsprechend der Vorzeichen von Im G(j und Re G(j muß berücksichtigt werden.

9 Frequenzgangdarstellung (3 Laplacetransformation: st Fs ( fte ( dt 0 Fouriertransformation: j t F ( j f ( t e dt

10 Darstellung des Frequenzgangs G(j in der komplexen Ebene in Abhängigkeit von der Frequenz. Frequenzgang: Ortskurvendarstellung K limh(t t lim s H(s s0 lims G(s s0 s lim G( j j0 Endwertsatz der Laplace-Transformation =- Systemverstärkung =+ =-0 =+0 Nyquist-Ortskurve

11 Hendrik Wade Bode 24. Dez. 905 geb. in Madison, Wisconsin B.S. und M.S. in Mathematics, Ohio State University 935 Ph.D. in Physics, Columbia University Tätig bei AT & T und Bell Telephone Laboratories 940 Beitrag Relations Between Attenuation and Phase in Feedback Amplifier Design (Bode-Diagramm, Phasenminimum-Systeme, Ampliduden- und Phasenrand, Bode-Theorem 2. Juni 982 gestorben in Cambridge, Massachusetts

12 Frequenzgang: Bode-Diagramm G ( j G ( j e j ( db 20 lg G(j (Dezibel Frequenz und Amplitude logarithmisch Phase linear in Grad Darstellung nach Betrag (Amplitudengang und Phase (Phasengang als Funktion von.

13 Definition: Dezibel Das Dezibel wird durch das logarithmierte Leistungsoder Amplitudenverhältnis zweier Signale durch die Vorschriften 0lg(Leistungsverhältnis [db] 20lg(Amplitudenverhältnis [db] berechnet. db Leistungsverhältnis db Amplitudenverhältnis /2-6 /2-0 /0-20 /0-20 /00-40 /00

14 Frequenzgangdarstellung (4 Nyquist-Ortskurve (Harry Nyquist 932 Kompakte Darstellung des Frequenzgangs in der komplexen Ebene. Einfache Stabilitätsanalyse rückgekoppelter Systeme (Nyquist- Kriterium anhand gemessener Frequenzgänge. Bode-Diagramm (Hendrik W. Bode 940 Logarithmische Darstellung in zwei Diagrammen. Frequenzabhängigkeit von Amplitude und Phase ist klar zu erkennen. Bode-Diagramme von in Reihe geschalteten Übertragungsgliedern lassen sich einfach graphisch addieren. Besonders geeignet für den Reglerentwurf.

15 Frequenzgang PT -System Differentialgleichung: Übertragungsfunktion: Ty(t y(t Ku(t G ( s K st Frequenzgang: G ( j K j T K ( j T ( j T ( j T Ortskurve: Systemverstärkung -45 o K K T j ( T ( 2 2 T o Zeitkonstante T

16 Frequenzgang PT -System (2 Kenngrößen: Verstärkung K G(j [db] 20 3 db 0 K 2,5 G(j Amplitudengang Eckfrequenz E =/T 3 db-abfall bei E (Bandbreite ,25 0, db/dekade Phasengang E Im E K Re Bode-Diagramm G(j E Ortskurve Ein PT -System zeigt Tiefpassverhalten

17 Frequenzgangdarstellung (5 Bode-Diagramm einer Reihenschaltung von PT - und P-Glied: [db] 20 5,56 9, G(j Amplitudengang G( j 9,54 db 3 j 2 6,02 db (3 2 db = 9,54 db + 6,02 db = 5,56 db -20 PT -Glied P-Glied 45 Phasengang

18 Approximation durch Asymptoten Frequenzgang PT -System (3 db Differenz zwischen Kennlinien und Asymptoten

19 Frequenzgang PT 2 -System (reelle Pole Differentialgleichung: Übertragungsfunktion: Frequenzgang: Reihenschaltung von 2 PT -Gliedern Ortskurve: Systemverstärkung Ortskurve durchläuft zwei Quadranten der G(s-Ebene

20 Frequenzgang PT 2 -System (reelle Pole Differentialgleichung: Übertragungsfunktion: Bode-Diagramm: G(j -20 db/dekade Reihenschaltung von 2 PT -Gliedern Systemverstärkung -40 db/dekade

21 Frequenzgang PT 2 -System (komplexe Pole Frequenzgang: 6 Nyquist Diagram Ortskurve: D = 0, Imaginary Axis K = 0 = 2 K D = 0,3 D = 0,5 D = 0,7 D = D = Real Axis

22 Frequenzgang PT 2 -System (komplexe Pole Frequenzgang: Bodediagramm: Bode Diagram K = Magnitude (db db/dekade Phase (deg = 2 Frequency (rad/sec D = 0, D = 0,3 D = 0,5 D = 0,7 D = D = 2

23 PT 2 -System: Resonanzüberhöhung r = 0,82 0 für D = 0,4 r = 0,96 0 für D = 0,2 r folgt aus d G ( j d 0 zu r 0 2 D 2