(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s)

Transkript

1 Aufgabe : LAPLACE-Transformation Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist: Y (s) = 0.5 s + (s + 3).5 (s + 4) Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: w(t) = σ(t) W (s) = s Die Übertragungsfunktion des Kreises lautet: G(s) = F w (s) = G (s)g 2 (s) + G (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) W (s) Bis auf G 2 (s) sind alle Laplace-Funktionen bekannt; somit ergibt sich: Daraus folgt eingesetzt: G 2 (s) = Y (s) W (s)g (s) Y (s)g (s)g 3 (s)g 4 (s) G 2 (s) = s + 2

2 Aufgabe 2: Ortskurve a) ( + 3s) F 0 (s) = k 3s(2 + s)( + s) F 0 (jω) = k 3 Aufspaltung in Betrag und Phase: ( + 3jω) jω(2 + jω)( + jω) F 0 (jω) = k ( + 9ω 2 ) 3 ω 2 (4 + ω 2 )( + ω 2 ) F 0 (jω) = arctan(3ω) arctan( ω 2 ) arctan(ω) π 2. Grenzverhalten ω = 0 : ω : 2. Phasendrehung F 0 (jω) F 0 (jω) = π 2 F 0 (jω) 0 F 0 (jω) = π (F 0 (j0) F 0 (j )) = π 2 Skizze Ortskurve (siehe unten). Kein Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse (ausser im Ursprung). Aufspaltung in Real- und Imaginärteil = k 3 F 0 (jω) = k 3 = k 3 ( + 3jω) jω(2 + 3jω ω 2 ) ( + 3jω) 3jω 2 + jω(2 ω 2 ) ( + 3jω)( 3jω 2 jω(2 ω 2 )) 9ω 4 + ω 2 (2 ω 2 ) 2 Re{F 0 (jω)} = k 3 (+3 3ω 2 ) 9ω 2 + (2 ω 2 ) 2

3 Re{F 0 (j0)} = k = k 4 ImF 0 (jω) Ortskurve siehe unten b) Neue Ortkurve und Stabilität F 0 (jω) = k( + 3jω)e( 2jw) 3jω(2 + jω)( + jω) Zusätzliche Phasendrehung führt auf mindestens einen echten Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse. Phasenbedingungen: numerisch: ω = 0.85 F 0 (jω) = arctan(3ω) arctan( ω 2 ) arctan(ω) π 2 2ω eingesetzt in Betragsgleichung für k = : F 0 (j0.85) = = 3.33 = k.0 k 2.65

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5 Aufgabe 3: Stabilitätsnachweise a) Aus dem HURWITZ-Polynom Notwendige Bedingungen: s 3 + (4 b ) s 2 + b s + b 2 = 0 a 0 = b 2, a = b, a 2 = 4 b, a 3 = Hinreichende Bedingungen: D 2 = a a 3 a 0 a 2 = b (4 b ) (b 2 ) > 0 ergibt nach geeigneter Umformung: 5 (b 2) 2 > b 2 Dies wird nachfolgend im Stabilitätsdiagramm dargestellt. 5 b b b) Originalpolynom P (s) = s 3 + s s + 75

6 . Analyse: alle Nullstellen λ i < 2. Zu untersuchendes Polynom: P (s 2) = (s 2) 3 + (s 2) (s 2) + 75 = s 3 + 5s 2 + 7s + 3 Auswertung der notwendigen und hinreichenden Hurwitz-Bedingungen sämtliche Nullstellen sind kleiner als ( 2). 2. Analyse: alle Nullstellen λ i > 5. Zu untersuchendes Polynom: P ( [s + 5]) = P ( s 5) P ( s 5) = ( s 5) 3 + ( s 5) ( s 5) + 75 = ( )(s 3 + 4s 2 + 4s + 20) Auswertung der notwendigen und hinreichenden Hurwitz-Bedingungen sämtliche Nullstellen sind größer als ( 5). 3. Analyse: alle Nullstellen λ i > im Winkelbereich ±45 um die negative reelle Achse. Durch Drehung sämtlicher Pole sowohl um +45 wie auch um 45 (und anschließender multiplikativer Verknüpfung) kann der schraffierte Winkelbereich auf die negative Halbebene abgebildet werden. Zu untersuchendes Polynom: P (s e +j45 ) P (s e j45 ) = [ s 3 e +j35 + s 2 e +j se +j ] [ s 3 e j35 + s 2 e j se j ] = s 6 + 2s 5 + 2s s s s Auswertung der notwendigen und hinreichenden Hurwitz-Bedingungen sämtliche Nullstellen liegen auch im schraffierten Winkelbereich.

7 Aufgabe 4: Wurzelortskurve a) Der PID-Regler kompensiert die Polstelle s = 3 der Regelstrecke, deshalb lautet die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises: (s + a) F 0 (s) = G R (s)g S (s) = K s(s 2 + s + ) Der offene Regelkreis hat also drei Polstellen (s,2 = 0.5 ± 3/2j, s 3 = 0) und eine Nullstelle (s 4 = a), deshalb gilt: n = 3 und m =. Im ersten Schritt muss der Reglerparameter a so entworfen werden, dass der resultierende Regelkreis für alle Werte von K stabil ist. Um diese Bediengung zu erfüllen, dürfen keine Teile der WOK rechts von der j-achse liegen. Aus der Übertragungsfunktion ist erkennbar, dass ein Teil der WOK bestimmt auf der reelen Achse (zwischen der Polstelle s 3 und der Nullstelle s 4 ) liegt und dass zwei Äste aus den Polstellen s,2 ins Unendlich führen werden. Die Winkel der Asymptoten werden daher ±90 betragen, wie aus dem Regel III auch leicht zu berechnen ist. Damit die WOK keine Schnittpunkte mit der j-achse besitzt (Stabilität!), muss der Wurzelschwerpunkt links von der j-achse liegen. Für den Wurzelschwerpunkt gilt nach dem Regel II: δ W = Daraus folgt für den Wert der Nullstelle: a ( ) 2 = a + 2 a. Die Nullstelle s 4 muss also im Bereich (0, ) liegen, damit der Regelkreis für alle Werte der Verstärkung K stabil bleibt. b) Die WOK hängt selbstverständlich von der konkreten Wahl der Nullstelle a, im folgenden Beispiel wird sie als s 4 = 0.5 gewählt. Die Regel I zu den Ästen der WOK auf der realen Achse, sowie die Regel III über die Asymptotenwinkel wurden bereits besprochen. Der Wurzelschwerpunkt ergibt sich für a = 0.5 als δ W = = 0.25 Die Regeln IV und V sind für die WOK aus dem Beispiel nicht relevant, da diese gar keine Verzweigungspunkte besitzt. Weil zudem der Kompensationsregler derartig

8 entworfen wurde, dass die WOK die j-achse nicht schneidet, hat auch die Regel VI keine Bedeutung mehr. Zuletzt muss der Anstieg der WOK aus den komplexen Polstellen s,2 berechnet werden: Der Anstiegwinkel aus dem Pol s ist: ϕ s = Für die Winkel gilt: ( (s s 2 ) (s s 3 ) + (s s 4 )) + π Damit ist der Anstiegwinkel ϕ s : (s s 2 ) = π 2 ( (s s 3 ) = π + atan 2 (s s 4 ) = π 2 ) 3 ϕ s = π 2 atan ( 3 ) π =.047 rad = 60 Der Anstiegwinkel ϕ s2 aus der Polstelle s 2 ist 60. Die resultierende WOK ist in der folgenden Abbildung dargestellt: 4 Root Locus 3 2 s Imag Axis 0 s 4 δ W s 3 s Real Axis

9 c) Die Verstärkung des Regelkreises K muss jetzt so eingestellt werden, dass der resultierende Regelkreis das gewünschte dynamische Verhalten aufweist. Die vorgegebenen Anforderungen sind: Die maximale Überschwingweite betrage mo = 0.3. Die maximale Übergangszeit betrage t uo = 5 s. Beim Entwurf des Verstärkungsfaktors K des Reglers hilft uns am Anfang die Analyse der WOK aus der Lösung b): Der geschlossene Regelkreis besitzt bekanntlich drei Polstellen, wobei für K = 0 diese Polstellen gleich der Polstellen des offenen Regelkreises sind. Für steigende K-Werte verschiebt sich die Polstelle s 3 nach links zu der auf der realen Achse liegenden Nullstelle s 4. Die konjugiert-komplexen Polstellen s,2 verschieben sich dabei nach rechts entlang der WOK-Äste. Für kleine Verstärkungen K ist die Polstelle s 3 damit dominant, und sie bestimmt das Verhalten der Ausgangsgröße. Je mehr sich die Polstellen einander nähern, desto größeren Einfluss haben dann die konjugiert-komplexen Polstellen. Jene Verstärkung K g, bei welcher alle Polstellen den gleichen reellen Teil p haben, kann aus dem Vergleich der charakteristischen Polynome berechnet werden: (s p)(s p jq)(s p + jq) = s 3 + s 2 + s + K g (s + a) Für unser Beispiel mit a = 0.5 ergibt sich: p = 3, K g =.555 Für K << K g verhält sich der Regelkreis als ein PT -Glied, und deshalb ist die Überschwingung der Ausgangsgröße gleich Null. Die dominante Zeitkonstante des Regelkreises kann dann entsprechend der zweiten Bedingung (t uo 5 s) gewählt werden, beispielsweise ergibt sich für s 4 = 0. s eine Zeitkonstante des PT -Gliedes zu 0 s. Interessanter ist jedoch der Fall, wenn K > K g gilt und damit das Verhalten des Regelkreises durch das konjugiert komplexes Polpaar bestimmt wird. In einem solchen Fall kann der Regelkreis durch folgende Übertragungsfunktion beschrieben werden: G(s) = K T 2 s 2 + 2dT s + Mit den Werten für die maximale Überschwingweite mo und für die maximale Übergangszeit t uo kann man die Parameter d o und ω o berechnen. Diese Parameter grenzen ein Gebiet der WOK ab, aus dem man die Polstellen des geschlossenen Regelkreises wählen muss, damit der Regelkreis die angegebenen Anforderungen erfüllt:

10 d o = L + L 2, wobei, L = lg mo.363 = Damit ist d o = Für ω o gilt: ω o = 3.5 lg ( d2 ) d t uo = rads, Die Polstellen des geschlossen Regelkreises müssen damit aus dem durch die Geraden mit der Steigung ψ = arccos d o abgegrenzten Teil der WOK, ausserhalb des Kreises mit dem Radius ω o ausgewählt werden. Diese Situation ist in der nächsten Abbildung dargestellt. 2 Root Locus.5 s 0.5 Imag Axis 0 s 4 s s Real Axis

11 Aufgabe 5: Reglerentwurf a) Führungsübertragungsfunktion: F w (s) = G (s)g 2 (s)g 3 (s) + G (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) Störübertragungsfunktion: F z (s) = G 3 (s) + G (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) b) Vorliegender geschlossener Regelkreis: F w (s) = = 20k R ( + 4s)(a 2 s 2 + s + a 0 ) + 20k R 20k R 4a 2 s 3 + (4 + a 2 )s 2 + ( + 4a 0 )s + (a k R ) Erfüllung der drei Anforderungen: Für VZ2-Verhalten muss gelten: a 2 = 0. Für stationäre Genauigkeit muss der verwendete Regler ein I-Verhalten besitzen: a 0 = 0. Der Endwertsatz liefert dazu den Nachweis. Stabilität ist an der nunmehr genauer spezifizierten Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises zu untersuchen: F w (s) = 20k R 4s 2 + s + 20k R Ein Stabilitätsnachweis (z.b. Hurwitz) liefert, dass Stabilität für alle k R > 0 vorliegt. c) Für eine Kreisverstärkung k R = 0. ergibt sich die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises: F w (s) = 2s s + Ein Vergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion für VZ2-Glieder liefert: T = 2, d 0.7 (Die Sprungantwort besitzt dann ein starkes Überschwingverhalten und klingt nur langsam ab.)

12 Aperiodisches Einschwingverhalten ( d =.0 ) ergibt sich für: kann man dann (unter der Vorgabe d =.0) gleichset- Mit T = zen: 5k R und 2dT = 20k R F w (s) = = 20k R 4s 2 + s + 20k R + 20k R s + 5k R s 2 5k R = 40k R und erhält daraus: k R = 320