mit unbekannter Systemmatrix A. Die Transitionsmatrix zu obigem System lautet e t. 2 e t u(s) =

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1 1. Teilklausur SS 18 Betrachten Sie folgendes mathematische Modell mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße und dem Zustandsvektor x [ ] dx 1 = Ax + bu = Ax + u = c T x + du = [ 1 0 ] x dt 0 mit unbekannter Sstemmatrix A. Die Transitionsmatrix zu obigem Sstem lautet e 3 t 0 Φ(t) = e 3 t 2 e t e t. 2 a) Berechnen Sie die Sstemmatrix A. b) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Sstems. c) Ermitteln Sie die Sstemantwort (t) für den Anfangszustand x 0 = 0 und die Eingangsfunktion { e t 0 t < T u(t) = 0 T t mit T = ln 4. Betrachten Sie folgende Zusammenschaltung von Übertragungssstemen mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße : u G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) a) Zeigen Sie, dass für G 1 (s) = s 2 s + 4, G 2(s) = 1 s + 3, G 3(s) = (4 k)(s + 3) s + 1 die Übertragungsfunktion G(s) durch G(s) := (s) s 2 s 2 u(s) = AW =0 s 3 + s 2 (4 + k) + s(7k 9) + 12k 36 gegeben ist. b) Berechnen Sie den größtmöglichen Werteberich des reellen Parameters k, für den das Gesamtsstem G(s) BIBO-stabil ist.

2 1. Teilklausur SS 18 Gruppe B Betrachten Sie folgendes mathematische Modell mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße und dem Zustandsvektor x [ ] dx 0 = Ax + bu = Ax + u = c T x + du = [ 0 1 ] x dt 1 mit unbekannter Sstemmatrix A. Die Transitionsmatrix zu obigem Sstem lautet e 2 t 0 Φ(t) = e 2 t 5 e3 t e 3 t. 5 a) Berechnen Sie die Sstemmatrix A. b) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Sstems. c) Ermitteln Sie die Sstemantwort (t) für den Anfangszustand x 0 = 0 und die Eingangsfunktion { e 2t 0 t < T u(t) = 0 T t mit T = 1 ln 4. 2 Betrachten Sie folgende Zusammenschaltung von Übertragungssstemen mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße : u G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) a) Zeigen Sie, dass für G 1 (s) = s 2 s + 1, G 2(s) = 1 s + 3, G 3(s) = die Übertragungsfunktion G(s) durch G(s) := (s) u(s) = AW =0 gegeben ist. (4 k)(s + 3) s + 4 s 2 + 2s 8 s 3 + s 2 (4 + k) + s(3 + 4k) + 3k b) Berechnen Sie den größtmöglichen Werteberich des reellen Parameters k, für den das Gesamtsstem G(s) BIBO-stabil ist.

3 2. Teilklausur SS 18 Betrachten Sie die Streckenübertragungsfunktion s 0.01 P (s) = 100 (s + 10)(s ) a) Zeichnen Sie die Bode-Diagramme der gegebenen Übertragungsfunktion. b) Skizzieren Sie die Ortskurve der Übertragungsfunktion und bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der reellen Achse näherungsweise. Gegeben sei ein Standardregelkreis mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße : r e R(s) P (s) Weiters sind die Bode-Diagramme der Strecke P (s) = (s + 100) s(s + 1) 2 gegeben: P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1 Der Regelkreis soll eine Anstiegszeit von t r = 1.5s und eine Überschwingweite von M p = 1.33 aufweisen.

4 2. Teilklausur SS 18 Entwerfen Sie mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens einen Regler der obige Spezifikationen erfüllt. Geben Sie die Übertragungsfunktion des Reglers an. (Hinweis: 2 db 3) m arcsin m m + 1 arctan m m db 6 9, ,

5 2. Teilklausur SS 18 Gruppe B Betrachten Sie die Streckenübertragungsfunktion s 1 P (s) = 10 (s + 100)(s + 1) a) Zeichnen Sie die Bode-Diagramme der gegebenen Übertragungsfunktion. b) Skizzieren Sie die Ortskurve der Übertragungsfunktion und bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der reellen Achse näherungsweise. Gegeben sei ein Standardregelkreis mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße : r e R(s) P (s) Die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion P (s) sein vom einfachen Tp, ihr Frequenzgang P (jω) liegt in Form von Bode-Diagrammen grafisch vor: P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1 Als Regler wird nun R(s) = K s ω z s 1 + s mit m = ω N angesetzt (K, ω Z und ω N sind hierbei ω N ω Z reelle Parameter). Dimensionieren Sie mit Hilfe der folgenden Tabelle (näherungsweise) die

6 2. Teilklausur SS 18 Gruppe B Parameter ω Z, ω N und K so, dass die Anstiegszeit t R des geschlossenen Regelkreises 0.15s und die Überschwingweite ü = 18% beträgt. Hinweis: 2 db 3. m arcsin m m + 1 arctan m m db 6 9, ,

7 Nachklausur SS 18 Betrachten Sie folgendes mathematische Modell mit der Eingangsgröße u, der Ausgangsgröße und dem Zustandsvektor x [ ] [ ] dx = Ax + bu = x + u dt = c T x + du = [ 1 a) Berechnen Sie die Transitionsmatrix Φ(t). 0 ] x b) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Sstems. c) Ermitteln Sie die Sstemantwort (t) für den Anfangszustand x 0 = [ 3 6 ] T und die Eingangsfunktion u(t) = e 2t. Gegeben sei folgender Regelkreis mit der Führungsgröße r, dem Regelfehler e und der Ausgangsgröße : r e R(s) P (s) Die Regelstrecke P (s) ist vom einfachen Tp. Ihr Frequenzgang P (jω) liegt in Form von Bode-Diagrammen vor: 20 P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1

8 Nachklausur SS 18 An der Stelle ω = 4 kann die Regelstrecke approximiert werden durch P (j4) e j π 2. a) Als Regler wird nun R(s) = K 1 mit dem reellen Parameter K eingesetzt. Skizzieren s Sie die Ortskurve und bestimmen Sie deren Schnittpunkt mit der reellen Achse für K = 1. (Hinweis: 2 db 3) b) Bestimmen Sie den größtmöglichen Wertebereich des Parametes K, für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt. c) Ermitteln Sie für K = 5 die Ausgangsgröße (t) für hinreichend große Werte von t, wenn als Führungsgröße r(t) = sin(4t) gewählt wird.