Regelungs- und Systemtechnik 1 - Übungsklausur 16

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1 4 6 Fachgebiet Regelungstechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger Bearbeitungszeit: Min Modalitäten Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte schreiben Sie mit dokumentenechtem Schreibgerät (Tinte oder Kugelschreiber). Zur Lösung der Aufgaben ist der freie Platz nach den jeweiligen Aufgaben vorgesehen; bei Bedarf werden Ihnen weitere Lösungsblätter ausgehändigt. Für alle Berechnungen sind die Lösungswege darzustellen. Die alleinige Angabe eines Ergebnisses wird als Lösung nicht bewertet. Aufgabe 6 Punkte Gegeben ist die nichtlineare Differentialgleichung: ÿ+h(ẏ)+ 3 (y )3 = sin( u)+bu mit b R\{} und: h(ẏ) = { 4ẏ, ẏ > ẏ, ẏ. a) Bestimmen Sie die stationären Lösungen(y, u ) für beliebiges b =! b) Linearisieren Sie die Gleichung am Betriebspunkt mit y = 3 für beliebiges b =! Hinweis: Achten Sie auf den Gültigkeitsbereich von h(ẏ). c) Seien Y(s), U(s) die Laplace-Transformierten von y und u. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G(s) = Y(s) U(s)! d) Berechnen Sie die Laplacetransformierte von u(t) = exp( bt) und geben Sie den Konvergenzbereich der Laplacetransformierten U(s) = L{ u(t)} an! e) Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Ausgangs, wenn das Eingangssignal u(t) aus d) auf die Strecke G(s) wirkt! ω Hinweis: L{exp( αt) sin(ωt)} = (s+α) + ω. In der Übungsklausur ist dieser Platz nicht enthalten (Dr. Kai Wulff) Seite von 5 Winter 6/7

2 Aufgabe 9 Punkte Gegeben ist die Regelkreisstruktur in Abbildung, wobei G p (s) die Regelstrecke, C(s) den Regler sowie G v (s) und G m (s) die zu wählenden Übertragungsfunktionen einer Vorsteuerung und eines Referenzmodells bezeichnen. G v (s) R(s) G m (s) C(s) G p (s) Y(s) Abbildung : Regelkreisstrukur a) Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion T(s) = Y(s) R(s) allgemein! b) Wie muss G v (s) gewählt werden, damit sich T(s) = G m (s) ergibt? c) Sei r p der Relativgrad von G p (s). G m (s) soll so gewählt werden, dass sowohl G m (s) als auch G v (s) realisierbar sind. Welchen Relativgrad r m muss G m (s) mindestens besitzen? Aufgabe 3 3 Punkte Gegeben ist die Auswahl an Sprungantworten und das Bode-Diagramm in Abbildung für eine zu untersuchende Regelstrecke. a) Bestimmen Sie den Relativgrad der Regelstrecke! b) Welche stationäre Verstärkung weist die Regelstrecke auf? Hinweis: Nutzen Sie auch die Sprungantworten c) Identifizieren Sie die Übertragungsfunktion! Zeichen Sie hierzu die entsprechenden Asymptoten in den Amplituden- und Phasengang und geben Sie die Übertragungsfunktion in Zeitkonstantenform an! d) Welche Sprungantwort gehört zur gegebenen Regelstrecke? (Begründen Sie Ihre Aussage!) (Dr. Kai Wulff) Seite von 5 Winter 6/7

3 . Sprungantwort. Sprungantwort.4 3. Sprungantwort Sprungantwort 4 5. Sprungantwort 5 6. Sprungantwort Amplitudengang G(jw) w [rad/s] 9 Phasengang 45 arg(g(jw)) w [rad/s] Abbildung : Auswahl von Sprungantworten und Bode-Diagramm der Regelstrecke (Dr. Kai Wulff) Seite 3 von 5 Winter 6/7

4 Aufgabe 4 4 Punkte Gegeben ist der Standardregelkreis und die Ortskurve der offenen Kette in Abbildung 3 mit Regelstrecke G(s) und Regler C(s), wobei G(s) = s s(s+a ), C(s) = K(s+a ), a, K R. s+ a) Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Ast der Ortskurve L(jω) für ω = bis ω =! Machen Sie dabei die Richtung anwachsender Frequenz durch eine Pfeilspitze deutlich! b) Geben Sie die stetige Winkeländerung der Ortskurve + L(jω) für ω = bis ω = an! Welche stetige Winkeländerung der Ortskurve + L(jω) ist nach dem Nyquistkriterium gefordert? Ist das Führungsverhalten BIBO stabil? c) Für welche a, K R ist der Regelkreis intern stabil? Geben Sie jeweils die exakten Wertebereiche an! d) Zeigen Sie, dass die offene Kette für K < vom einfachen Typ ist! e) Welche Schnittfrequenz ω s müssen Sie für die offenen Kette erzielen, wenn für die Sprungantwort des Führungsverhaltens eine Überschwingweite von M p = 4% gefordert wird? α tan(α) Tabelle : Wertetabelle Tangensfunktion Nyquist Diagram.6.4. Imaginary Axis Real Axis Abbildung 3: Nyquistortskurve der offenen Kette L(jω) für ω > und K = 3. (Dr. Kai Wulff) Seite 4 von 5 Winter 6/7

5 Aufgabe 5 8 Punkte Gegeben ist der Standardregelkreis mit Regelstrecke der Übertragungsfunktion G(s) = (s+ )(s+). Mit dem Polvorgabeverfahren soll ein Regler so entworfen werden, dass er einen Integrierer aufweist. a) Bestimmen Sie den (minimalen) Grad des Entwurfspolynoms Q T (s) und die (minimale) Ordnung des Reglers C(s) mit Integrierer! b) Gegeben sei das folgende Entwurfspolynom: Q T (s) = (s+3)(s+4)(s+5)(s+6) = s s s s+ 36 Berechnen Sie den Regler C(s) so, dass Q T (s) Nenner der Führungsübertragungsfunktion T(s) ist und die Nebenbedingung erfüllt wird! c) Ist T(s) eine minimalphasige Übertragungsfunktion? (Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich!) (Dr. Kai Wulff) Seite 5 von 5 Winter 6/7