Grundlagen der Elektrotechnik I

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1 Universität Ulm Institut für Allgemeine Elektrotechnik und Mikroelektronik Prof. Dr.-Ing. Albrecht Rothermel A A2 A3 Note Schriftliche Prüfung in Grundlagen der Elektrotechnik I :-: Uhr Name: Matrikelnr.: Hinweise: Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Beginnen Sie die Lösung jeder Aufgabe auf einem neuen Blatt. Verwenden Sie keinen Rotstift. Achten Sie darauf, vollständige Lösungen abzugeben (d.h. Ansatz und ausführlicher Lösungsweg). Die Prüfung besteht aus diesem Deckblatt und 6 Blättern mit 3 Aufgaben. Es werden alle 3 Aufgaben gewertet. Bitte geben Sie am Schluss der Prüfung ab: Dieses Deckblatt und alle 6 Aufgabenblätter. Alle Lösungsblätter nach Aufgaben geordnet. Auf jedem Blatt Name und Matrikelnummer nicht vergessen! Viel Erfolg!

2 Prüfung zur Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite von 6 Aufgabe : Für die Schaltung aus Abbildung soll berechnet werden, welche der beiden identischen Glühlampen L oder L 2 heller leuchtet, also mehr Leistung aufnimmt. Die Berechnung erfolgt in kleinen Schritten. R 2 B D L L 2 F I R D βi D R 2 I D R 3 I A C E Abbildung Die Bauteile haben folgende Werte: I +ma R 2Ω 35Ω R 3 5Ω I +2mA R 2 8Ω R 2 Ω R L R L2 4Ω Für die gesteuerte Stromquelle (kein Transistor) gilt: β +2 Die Diode hat folgende Kennlinie:, 2,, 8 I D ma, 6, 4, 2,,, 5,, 5 2, 2, 5 U DV Abbildung 2 a) Ersetzen Sie zunächst die beiden realen Stromquellen an den Klemmen A und B (I, R,R 2 ), bzw. E und F (I, ) durch Ersatzspannungsquellen und berechnen Sie die zugehörigen Bauteilgrößen. Zeichnen Sie die Schaltung erneut, aber diesmal mit den beiden Ersatzspannungsquellen. Seite von 6

3 Prüfung zur Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 2 von 6 b) Tragen Sie in die Abbildung 2 die Arbeitsgerade für die Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B aus Aufgabenteil a) ein und bestimmen Sie dadurch den Diodenstrom I D. c) Ersetzen Sie nun die Elemente links der Klemmen C und D durch eine Ersatzspannungsquelle und berechnen Sie die zugehörigen Bauteilgrößen. Zeichnen Sie nun die vereinfachte Schaltung. d) Berechnen Sie nun mit Hilfe des Überlagerungssatzes die Ströme durch die beiden Lampen. Ermitteln Sie außerdem auch die aufgenommene Leistung in den beiden Glühlampen. Welche der beiden Lampen leuchtet heller? Seite 2 von 6

4 Prüfung zur Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 3 von 6 Aufgabe 2: Filter Filter 2 R U L U 2 L U 3 R U 4 Abbildung 3 Die beiden Filter in Abbildung 3 sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden (keine Verbindung durch die gestrichelten Linien). a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen H (ω) U 2 (ω) und H U (ω) 2(ω) U 4 (ω) U 3 (ω) von Filter und 2. b) Berechnen Sie die Beträge H (ω) und H 2 (ω) sowie die Phasen ϕ (ω) arg(h (ω)) und ϕ 2 (ω) arg(h 2 (ω)) der Übertragungsfunktionen. c) Bestimmten Sie die 3 db-grenzfrequenzen f g, und f g,2 der beiden Filter und zeichnen Sie das Bode-Diagramm (nur die Asymptoten!) von Filter in die Diagramme. bzw..2 und das Bode-Diagramm (nur die Asymptoten!) von Filter 2 in die Diagramme 2. bzw Verwenden Sie für die Bode-Diagramme folgende Bauteilwerte: R 22 kω und L 35 mh d) Um welche Filter handelt es sich bei Filter und 2? e) Nehmen Sie an, Filter und 2 werden so gekoppelt, dass die Übertragungsfunktion H(ω) U 4 (ω) der gesamten Struktur als Produkt der beiden einzelnen Übertragungsfunktionen H (ω) und H 2 (ω) berechnet werden kann. Zeich- U (ω) nen Sie das Bode-Diagramm (nur die Asymptoten!) der gesamten Struktur in die Diagramme 3. bzw Die Bauteilwerte aus Teilaufgabe c) ändern sich nicht. Welchen (exakten) Wert hat der Betrag dieser Übertragungsfunktion bei f MHz? Seite 3 von 6

5 Prüfung zur Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 4 von 6 Jetzt werden die Filter in Abbildung 3 verbunden (gestrichelte Linien sind Verbindungen). f) Berechnen Sie nun die Übertragungsfunktion H(ω) U 4 (ω) der gesamten U (ω) Struktur. Welchen (exakten) Wert hat der Betrag dieser Übertragungsfunktion bei f MHz? Wie groß (in db) ist an dieser Stelle der Fehler des Betrags der Übertragungsfunktion durch die Annahme aus Teilaufgabe e)? g) Ist es möglich, die Bauteilwerte der Struktur so zu verändern, dass der Betrag der Übertragungsfunktion Werte größer als db annehmen kann? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der Struktur der Schaltung! Seite 4 von 6

6 Prüfung zur Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 5 von 6 Aufgabe 3: Im folgenden sollen drei Schaltungen mit idealen Operationsverstärkern schrittweise untersucht werden. Betrachten Sie zunächst Abbildung 4. a) Geben Sie die Übertragungsfunktion H (ω) U 2 (ω) in Abhängigkeit von R U (ω) und R 2 an. b) Berechnen Sie sowohl den Betrag H (ω) H (ω) als auch die Phase ϕ (ω) der Übertragungsfunktion. R 2 + U OP 2 U 2 Abbildung 4 Untersuchen Sie nun die Schaltung aus Abbildung 5. c) Geben Sie nun die Übertragungsfunktion H 2 (ω) U 2 (ω) in Abhängigkeit von R U (ω) und C an. d) Bestimmen Sie ebenfalls sowohl den Betrag H 2 (ω) H 2 (ω) als auch die Phase ϕ 2 (ω) der Übertragungsfunktion. C + U OP 2 U 2 Abbildung 5 e) Ermitteln Sie den zeitlichen { Verlauf der Ausgangsspannung U 2 (t) für eine Eingangsspannung U (t) : t < U : t Der Kondensator C ist für t < ungeladen (U C (t < ) V ). (Beachten Sie: Die Differentialgleichung ist hier direkt lösbar!) f) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung U 2 (t) aus dem vorherigen Aufgabenteil graphisch in einem Diagramm für einen Zeitraum von τ < t < 4τ mit τ C dar. Seite 5 von 6

7 Prüfung zur Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 6 von 6 Die folgenden Aufgabenteile sind ohne c) - f) lösbar. Betrachten Sie nun Abbildung 6. g) Geben Sie wiederum die Übertragungsfunktion H 3 (ω) U 2 (ω), nun in Abhängigkeit von U (ω), R 2 und C an. h) Bestimmen Sie auch für diese Schaltung sowohl den Betrag H 3 (ω) H 3 (ω) als auch die Phase ϕ 3 (ω) der Übertragungsfunktion. R 2 C + U OP 2 U 2 Abbildung 6 i) Ermitteln Sie ebenfalls den zeitlichen { Verlauf der Ausgangsspannung U 2 (t) für : t < eine Eingangsspannung U (t) U : t Der Kondensator C ist für t < ungeladen (U C V ). j) Stellen Sie wieder den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung U 2 (t) aus dem vorherigen Aufgabenteil graphisch in einem Diagramm für einen Zeitraum von τ < t < 4τ mit τ R 2 C dar. Im folgenden sollen die beiden Übertragungsfunktionen H 2 (ω) und H 3 (ω) miteinander verglichen werden. Die Widerstände und R 2 gilt dabei R 2. k) Geben Sie für beide Übertragungsfunktionen den Amplitudengang in Dezibel an, wie er üblicherweise für Bodediagramme verwendet werden. l) Tragen Sie jeweils die Amplituden- und die Phasengänge beider Übertragungsfunktionen in die Diagramme 4. und 4.2 ein. Normieren Sie dabei die Winkelfrequenz ω auf ω R 2 C. Berechnen Sie explizit die Werte für C ω ω, ;, ; ; und und tragen Sie den prinzipiellen Verlauf anhand dieser in die Diagramme ein. Seite 6 von 6

8 Lösungblatt zur Aufgabe 2: H (ω) db 4 2 ϕ (ω) rad ,, Diagramm. f MHz 2,, Diagramm.2 f MHz H 2 (ω) db 4 2 ϕ 2 (ω) rad ,, Diagramm 2. f MHz 2,, Diagramm 2.2 f MHz H(ω) db 4 ϕ(ω) rad ,, Diagramm 3. f MHz 2,, Diagramm 3.2 f MHz

9 Lösungblatt zur Aufgabe 3: A(ω) db ,, Diagramm 4. ω ω ϕ(ω) rad 2 2,, Diagramm 4.2 ω ω

10 Lösung der Prüfung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite von 7 Aufgabe : a) (Klemmen A und B) (Klemmen E und F) U LL R I 2Ω ma 2V U I KS R R +R 2 I R i, ma 2Ω 2Ω + 8Ω ma U LL I KS 2V ma 2kΩ U LL ( I ) 35Ω ( 2mA), 7V U I KS I 2mA R i, U LL I KS ( I ) I 35Ω R i, B D L L 2 F R i, U D βi D R 2 I D R 3 U A C E Abbildung b) I D, 7mA (siehe Schnittpunkt in Diagramm), 2, I D ma, 8, 7, 6, 4, 2,,, 5,, 5 2, 2, 5 U DV Abbildung 2 Seite von 7

11 Lösung der Prüfung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 2 von 7 c) (Klemmen C und D) U LL R 2 ( βi D ) Ω ( 2, 7mA), 4V U 2 I KS β I D 2, 7mA 4mA U R i,2 LL I KS R 2 ( βi D ) βi D R 2 Ω R i,2 D L L 2 F R i, U 2 R 3 U C E Abbildung 3 d) Zusammenfassen von Serienwiderständen zur Berechnung der Ströme möglich. R X R i,2 + R L, Ω + 4Ω 5Ω R Y R i, + R L,2 35Ω + 4Ω 75Ω R X R Y I I 2 U 2 R 3 U Abbildung 4 Berechnung der Ströme I und I 2 durch Überlagerungssatz nach folgenden zwei Abbildungen: Seite 2 von 7

12 Lösung der Prüfung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 3 von 7 R X R Y I, I,2 R X R Y I 2, I 2,2 U 2 R 3 R 3 U Abbildung 5 Abbildung 6 I I, + I,2 I 2 I 2, + I 2,2 I, R X + R 3 R Y R 3 +R Y U 2 I 2,2 R Y + R 3 R X R 3 +R X U 5Ω + 5Ω 75Ω (, 4V) 7, 5mA 5Ω+75Ω 75Ω + 5Ω 5Ω (, 7V) 7, ma 5Ω+5Ω I,2 R 3 R 3 +R Y I, 5Ω ( 23, 8mA) 7, ma 5Ω + 75Ω I 2, R 3 R 3 +R X I 2,2 5Ω ( 8, 4mA) 3, 5mA 5Ω + 5Ω I I, + I,2 ( 7, 5mA) + 3, 5mA 4, ma I 2 I 2, + I 2,2 ( 7, ma) + 7, ma, ma Berechnung der Leistungen: P L U L I R L I 2 4Ω ( 4, ma) 2 7, 84mW P L2 U L2 I 2 R L2 I 2 2 4Ω (, ma) 2, mw Da die Glühlampe L 2 keine Leistung verbraucht (also aus ist), ist die Lampe L natürlich heller! Seite 3 von 7

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16 Lösung der Prüfung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 4 von 7 Aufgabe 3: a) b) c) U 2 R 2 I 2 R 2 I R 2 U H (ω) R 2 H (ω) H (ω) R 2 R 2 ( ) ϕ (ω) arctan R 2 + U 2 jωc I 2 jωc I U j U jωc ω C H 2 (ω) j ω C d) H 2 (ω) H 2 (ω) j ω C ω C ( ) ωr ϕ 2 (ω) arctan C 2 e) { t < I 2 (t) I (t) U t Für t : t I 2 (t) U U dt C ( U ) dt C C du C (t) dt C du C (t) dt du C (t) t du C(t) U C t U C (t) U C () U C () U C (t) U C t Seite 4 von 7

17 Lösung der Prüfung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 5 von 7 f) τ C U 2 U Abbildung 7 t τ g) U 2 R 2 jωc R 2 + jωc I 2 R 2 +jωr 2 C I 2 R 2 +jωr 2 C I H 3 (ω) R 2 +jω R 2 C R 2 U + jωr 2 C h) H 3 (ω) H 3 (ω) R 2 +jω R 2 C R 2 +jω R 2 C R 2 R 2 R 2 +(ω R 2 C ) 2 +(ωr 2 C ) 2 ϕ 3 (ω) arctan ( R 2 ) + arctan ( ωr R 2 C ) arctan (ωr2 C ) i) Berechnung nur für t notwendig: U 2 (t) U C (t) I 2 (t) I (t) U I 2,R + I 2,C U C(t) du C (t) + C R 2 dt R 2 du C (t) U U C (t) + R 2 C dt Schritt (homogene Lösung): U C (t) Ae pt Ae pt ( + pr 2 C ) p R 2 C Schritt 2 (partikuläre Lösung): U C (t ) R 2 U Seite 5 von 7

18 Lösung der Prüfung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 6 von 7 Schritt 3 (homogene + partikuläre Lösung): U C (t) Ae R 2 C t R 2 U Schritt 4 (Anfangsbedingung): U C (t ) ( ) Lösung: U C (t) R 2 U e R 2 C t j) τ R 2 C Ae R 2 C R 2 U A R 2 U A R 2 U, R 2 U 2 U, Abbildung 8 t τ k) ( ) A 2 (ω) 2dB log 2dB log() 2dB log(ω C ) ω C 2dB log(ω C ) A 3 (ω) 2dB log R 2 + (ωr 2 C ) 2 2dB log( R 2 ) + 2dB log() 2dB log( + (ωr 2 C ) R 2 ) 2dB db log( + (ωr 2 C ) 2 ) Seite 6 von 7

19 Lösung der Prüfung Grundlagen der Elektrotechnik I Seite 7 von 7 l) ω A 2 (ω) 2dB log( ) ω A 3 (ω) 2dB db log( + ω2 ) ω 2 ω ω,, A 2 (ω) [db] ϕ 2 (ω) [rad] /2 /2 /2 /2 /2 A 3 (ω) [db] ϕ 3 (ω) [rad], 97, 75, 53, 5 A(ω) db 4 2 A 3 (ω) A 2 (ω) -2-4,, Diagramm 4. ω ω ϕ(ω) rad 2 ϕ 2 (ω) ϕ 3 (ω) 2,, Diagramm 4.2 ω ω Seite 7 von 7