Uebungsserie 2.2. Abbildung 1: CR-Glied. Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 1. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion U 2 /U 1

Transkript

1 29. Oktober 205 Elektrizitätslehre 3 Martin Weisenhorn Uebungsserie 2.2 Aufgabe. CR-Glied Abbildung : CR-Glied Gegeben sei der Zweipol aus Abb.. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion /U a) direkt durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung. b) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs. c) In welchem Frequenzbereich lässt sich die Schaltung als Differentiator benutzen? d) Wozu könnte man die Schaltung oberhalb ihrer Grenzfrequenz benutzen? Begründung angeben. Aufgabe 2. Spannungsteiler mit Kondensator Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 2. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion /U a) direkt durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung. b) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs. Aufgabe 3. Schwingkreis mit Verlustwiderständen Gegeben sei der Schwingkreis aus Abb. 3:

2 Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3 2 Abbildung 2: Spannungsteiler mit Kondensator Abbildung 3: Einfacher Schwingkreis mit Verlustwiderständen a) Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion /U durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung. Hinweis: Beginnen Sie mit der Spannung und drücken Sie alle anderen Grössen (Stromstärken, Teilspannungen) der Schaltung in Funktion von aus. b) Bringen Sie die Frequenzgangfunktion in die folgende normierte Form k ( ) + j ω ω 0 Q + j ω ω 0 und indentifizieren Sie die Parameter k, ω 0 und Q in Funktion der Grössen R,, L und C. c) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs. d) Welche Änderungen ergeben sich bezüglich k, ω 0 und Q gegenüber dem Serieschwingkreis bei dem der Widerstand unendlich hoch ist? Aufgabe 4. Resonanztransformator (Boucherot-Schaltung) Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 4 mit den Werten R 00 Ω, L 35 mh, C 0.5 µf.

3 Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3 3 Abbildung 4: Resonanztransformator (Boucherot-Schaltung) ( ) Unter der Bedingung L/R > RC gilt für die Resonanzkreisfrequenz : ω r LC. L In diesem Fall gilt: Z(ω r ) L RC a) Bestimmen Sie das Bodediagramm des komplexen Widerstands in der folgenden normierten Form: + j ω ω Z(ω) k g ( ) 2 + j ω ω 0 Q + j ω ω 0 Identifizieren Sie die Koeffizienten k, ω g, ω 0 und Q in Funktion der gegebenen grössen R, L und C. Aufgabe 5. KO ohne Tastkopf (Sonde) Der Messeingang eines KOs im DC-Modus kann Abbildung 5: Ersatzschaltbild KO ohne Tastkopf an Spannungsquelle mit Innenwiderstand. durch einen Widerstand MΩ parallel zu einem idealen Kondensator der Kapazität C KO 27 pf dargestellt werden. Mit diesem KO wird das harmonische Signal eines Funktionsgenerators mit Leerlaufspannung U 0 V und Innenwiderstand R 0 50 Ω betrachtet. a) Bestimmen Sie den Amplitudengang der mit den KO gemessenen Spannung U bezogen auf die Quellenspannung U 0 als Bodediagramm. Weitere Angaben zu diesem Schwingkreis sind in der Musterlösung der Übung EL3_Ueb_2 zu finden.

4 Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3 4 b) Bis zu welcher Kreisfrequenz (Grenzfrequenz) ω g wird das Signal um weniger als 3 db gegenüber DC gedämpft? Aufgabe 6. KO mit Tastkopf (Sonde) Das Oszilloskop wird mit einem abgeglichenen Tastkopf (KO-Sonde) ergänzt (siehe Ersatzschaltung gemäss Abb. 6). Die Sonde weist den Widerstand R S 9 MΩ und die Kapazität C S auf. Der Funktionsgenerator und das Oszilloskop haben die selben Werte wie in der vorherigen Aufgabe, Abbildung 6: Ersatzschaltbild KO mit Tastkopf (Sonde) a) Bestimmen Sie die für den Abgleich benötigte allgemeine Bedingung und damit die Sondenkapazität C S. Hinweis: Der kapazitive und der resistive Spannungsteiler 2 müssen das selbe Verhältnis liefern. b) Zeigen Sie, dass bei abgeglichener Sonde das Verhältnis /U frequenzunabhängig ist. c) Bestimmen Sie die Kreisfrequenz (Grenzfrequenz) ω g die sich jetzt für das Verhältnis /U 0 ergibt. Um welchen Faktor wird die Bandbreite gegenüber einer Messung ohne Sonde erhöht? d) Welche Vorteile ergeben sich aus der Verwendung einer KO-Sonde? Lösung. CR-Glied Gegeben sei der Zweipol aus Abb.. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion /U a) direkt durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung. U jωc R + (jωrc + ) jωrcu U b) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs. jωrc + jωrc c) In welchem Frequenzbereich lässt sich die Schaltung als Differentiator benutzen? Ist ω RC ω g, so wird U RCjω, was einer reinen Differentiation entspricht. 2 gebildet durch Sonde und KO

5 Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3 5 d) Wozu könnte man die Schaltung oberhalb ihrer Grenzfrequenz benutzen? Begründung angeben. Oberhalb der Grenzfrequenz ω ω g RC gilt U. Komponenten von u (t) mit Frequenzanteilen weit unterhalb ω g werden unterdrückt DC-Entkopplung z.b. am Eingang eines Oszilloskops. Lösung 2. Spannungsteiler mit Kondensator Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 2. Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion /U a) direkt durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung. I I 2 + I C U R I + ( + jωc) R C u 2 (t) + u 2 (t) u (t) R + R + ( + jω R ) C U R + U 2 R + R 2 k U + j ω mit k ω g ( + R ) + jωr C U 2 und ω g R + τ R + R C b) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs. Lösung 3. Schwingkreis mit Verlustwiderständen Gegeben sei der Schwingkreis aus Abb. 3: a) Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion /U durch Benutzen der komplexen Wechselstromrechnung. Hinweis: Beginnen Sie mit der Spannung und drücken Sie alle anderen Grössen (Stromstärken, Teilspannungen) der Schaltung in Funktion von aus. U / +jωc R + jωl + / +jωc ( + R ) + jω ) (R C + L + (jω) 2 LC R2 b) Bringen Sie die Frequenzgangfunktion in die folgende normierte Form k ( ) + j ω ω 0 Q + j ω ω 0 und indentifizieren Sie die Parameter k, ω 0 und Q in Funktion der Grössen R,, L und C. ( ) U R + + jω R R + C + L R + + (jω) 2 LC R +

6 Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3 6 Der Koeffizientenvergleich liefert: k ω 0 Q LC R + R 2 + R LC R2 (R + ) R C + L c) Skizzieren Sie das Bodediagramm des Frequenzgangs. d) Welche Änderungen ergeben sich bezüglich k, ω 0 und Q gegenüber dem Serieschwingkreis bei dem der Widerstand unendlich hoch ist? Der Koeffizientenvergleich liefert: k ω 0 LC Q L R C Lösung 4. Resonanztransformator (Boucherot-Schaltung) Gegeben sei der Zweipol aus Abb. 4 mit den Werten R 00 Ω, L 35 mh, C 0.5 µf. ( ) Unter der Bedingung L/R > RC gilt für die Resonanzkreisfrequenz 3 : ω r LC. L In diesem Fall gilt: Z(ω r ) L RC a) Bestimmen Sie das Bodediagramm des komplexen Widerstands in der folgenden normierten Form: + jω L ω R Z(ω) R + jωrc + (jω) 2 LC k + j ω g ( ) 2 + j ω ω 0 Q + j ω ω 0 Identifizieren Sie die Koeffizienten k, ω g, ω 0 und Q in Funktion der gegebenen grössen R, L und C. k R ω g R L ω 0 LC Q L R C > (wegen der Bedingung L R > RC) 3 Weitere Angaben zu diesem Schwingkreis sind in der Musterlösung der Übung EL3_Ueb_2 zu finden.

7 Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3 7 Lösung 5. KO ohne Tastkopf (Sonde) Der Messeingang eines KOs im DC-Modus kann durch einen Widerstand MΩ parallel zu einem idealen Kondensator der Kapazität C KO 27 pf dargestellt werden. Mit diesem KO wird das harmonische Signal eines Funktionsgenerators mit Leerlaufspannung U 0 V und Innenwiderstand R 0 50 Ω betrachtet. a) Bestimmen Sie den Amplitudengang der mit den KO gemessenen Spannung U bezogen auf die Quellenspannung U 0 als Bodediagramm. U U 0 +jωc KO R0 + +jωc KO + R 0 + jωr 0 C KO R jω R 0 k R 0 + C KO + j ω ω g b) Bis zu welcher Kreisfrequenz (Grenzfrequenz) ω g wird das Signal um weniger als 3 db gegenüber DC gedämpft? ω g + R 0 R 0 C KO s 7.9 MHz Lösung 6. KO mit Tastkopf (Sonde) Das Oszilloskop ( MΩ, C KO 27 pf) wird mit einem abgeglichenen 0: Tastkopf (KO-Sonde) ergänzt (siehe Ersatzschaltung gemäss Abb. 6). Die Sonde weist den Widerstand R S 9 MΩ und die Kapazität C S auf. Der Funktionsgenerator und das Oszilloskop haben die selben Werte wie in der vorherigen Aufgabe, a) Bestimmen Sie die für den Abgleich benötigte allgemeine Bedingung und damit die Sondenkapazität C S. U R S + C S C S C KO 3 pf C S + C KO R S Hinweis: Der kapazitive und der resistive Spannungsteiler 4 müssen das selbe Verhältnis liefern. b) Zeigen Sie, dass bei abgeglichener Sonde das Verhältnis /U frequenzunabhängig ist. U +jωc KO + +jωc +jωc KO R S S +jω C KO +jω C KO + R S +jωr S C S + R S 0 c) Bestimmen Sie die Kreisfrequenz (Grenzfrequenz) ω g die sich jetzt für das Verhältnis /U 0 ergibt. U 0 U U U gebildet durch Sonde und KO + +jωc +jωc KO R S S + +jωc +jωc KO R S S R0 + + R S 0 R R S + jω R 0 R 0 + +R S C KO

8 Uebungsserie 2.2, Elektrizitätslehre 3 8 d) Welche Vorteile ergeben sich aus der Verwendung einer KO-Sonde? ω g R S + + R 0 R 0 C KO s.79 GHz Mir der 0:-Sonde wird die Bandbreite um den Faktor 0 erhöht und die Eingangskapaziät um den selben Faktor erniedrigt. Dies geht auf Kosten der Empfindlichkeit: Dämpfung um 20 db gegenüber einer Messung ohne Sonde.