Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B

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1 Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 3

2 Aufgabe : Gleichstrommaschine (20 Punkte) In dieser Aufgabe soll ein fremderregter Gleichstrommotor untersucht werden. Bitte gehen Sie bei allen Aufgabenteilen vom eingeschwungenen Zustand aus. Folgende Parameter seien vorab über den Motor bekannt: L E = 0 mh N E = 00. Skizzieren Sie das Ersatzschaltbild des fremderregten Gleichstrommotors. 2. Zunächst sei der Motor blockiert (ω = 0). Eine Messung ergibt folgende Werte: U A = 6V I A = 0A I E = 3A T = 0,024Nm Beachten Sie für diesen Aufgabenteil außerdem den Bürstenspannungsabfall U B, welcher jeweils V beträgt. Bestimmen Sie den Ankerwiderstand R A, die Koppelkonstante Ψ E und die Maschinenkonstante c M. Hinweis: Ψ E = c M ϕ E R A = U A 2U B 6V 2V = I A 0A = 0,4Ω Ψ E = T = 0,024VAs = 2,4 0 3 Vs I A c M = 0A T = 0,024VAs ϕ E I A 0,003Vs 0A = 8 ϕ E = L E I E = H 3A = 0,3 0 3 Vs N E Im Folgenden kann sich der Motor drehen und eine mechanische Last wird angeschlossen. Der Spannungsabfall an den Bürsten kann von nun an vernachlässigt werden. Eine Messung ergibt folgende Werte: U A = 24V I A = 8A U E = 20V I E = 3A Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 2 von 3

3 Berechnen Sie das Drehmoment und die Drehzahl in diesem Arbeitspunkt. ϕ E = 0,3 0 3 Vs T = c M ϕ E I A = 9,2 mnm U A = I A R A +U ia = I A R A + c m ϕ E ω ω = U A I A R A 24 V 8A 0,4Ω = c M ϕ E 80,3 0 3 Vs n = 379,342 s = 8666,667 s 4. Berechnen Sie den Gesamtwirkungsgrad des Motors für diesen Arbeitspunkt. η = T ω U A I A +U E I E = 66,03% 5. Bei welchem Ankerstrom ergibt sich der maximale Wirkungsgrad, wenn der Erregerstrom und die Drehzahl als konstant angenommen werden. Leiten Sie den Zusammenhang allgemein her und geben Sie den Ankerstrom für den Punkt des größten Wirkungsgrades an. Hinweis: Berücksichtigen Sie die Abhängigkeit der Ankerspannung und des Drehmomentes vom Ankerstrom. c M ϕ E I A ω η = R A IA 2 +U iai A +U E I E C I A η = C 2 IA 2 +C 3I A +C 4 η = C ( C2 IA 2 +C 3I A +C4 ) C I A (2C 2 I A +C 3 ) ( I A C2 IA 2 +C 3I A +C4 ) η I A = 0 = C 2 IA 2 +C 4 ηmax I A = I A = C4 C 2 UE I E R A = 20V3A 0,4Ω = 2,247 A Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 3

4 Aufgabe 2: Gleichstromsteller (20 Punkte). Hochsetzsteller 2. U L = L i L t i L = U L t L U L = U für 0 t < DT U L = U U 2 für DT t < T i L = U t = U DT = (U U 2 ) ( D)T L L L U D = (U 2 U ) ( D) U (D + ( D)) = U 2 ( D) U 2 = D U 3. U 2 = 4 U, siehe Abbildung Funktion U 2 U (D), siehe Abbildung U 2,min = U = 2V 6. U L = L i L t L = U L t i L L = U DT i L,pp,max L = DU f s i L,pp,max L = 0,5 2V 40kHz 0,5A L = 300 µh Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 4 von 3

5 ul U2 t -U2 il IL,max IL,min EL t EL,max EL,min it t IL,max IL,min 0 TS Abbildung 2.: Lösung zu Teilaufgabe 3 2TS t Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 5 von 3

6 0 Spannungsverhältnis U 2 /U Tastverhältnis D Abbildung 2.2: Lösung zu Teilaufgabe 4 7. U 2 = D U U 2 = 2V = 48V 0,75 I R = 48V 480Ω = 00mA P 2 = U 2 I R = P = U i L i L = U 2 I R = 4 I R = 400mA U i L,pp = 2 i L = 8 I R = 800mA L = DU f s i L,pp,max L = 0,75 2V 40kHz 0,8A L = 28 µh Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 6 von 3

7 Aufgabe 3: Komplexe Wechselstromrechnung (20 Punkte) Gegeben sei ein System bestehend aus Einspeisung, Erdkabel und Last, welches vereinfacht durch das folgende elektrische Ersatzschaltbild beschrieben werden kann. I A I C I R U C L R I L B Abbildung 3.: Ersatzschaltbild mit komplexen Zeigern Die darin aufgeführten Größen haben folgende Werte: U = 230 V, C = 2 mf, L = mh, R = 0 Ω U repräsentiert eine sinusförmige Spannung mit einer Frequenz von 50 Hz.. Leiten Sie die Admittanz (komplexer Leitwert) Y der Schaltung zwischen den Klemmen A und B in Abhängigkeit von R, L, C und ω her. Stellen Sie das Ergebnis in arithmetischer Form dar. Y = R + jωl + jωc = R + j(ωc ωl ) = R + LC j(ω2 ) ωl 2. Berechnen Sie die Admittanz Y als Zahlenwert. Geben Sie das Ergebnis in arithmetischer Form und in Exponentialform an. Arithmetische Form Y = 0Ω j( (2 π 50Hz)2 mh 2mF = (0, j 0,587) 2 π 50Hz mh Ω = (0, + j0,587) Ω Exponentialform Y = 0,595 Ω ej80,33 3. Berechnen Sie den komplexen Leistungszeiger S, die Wirkleistung P und die Blindleistung Q der Schaltung. Die Wirkleistung ist rein reel und kann nur durch den ohmschen Widerstand verursacht werden. P = U R = (230V)2 0Ω = 5,29kW Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 7 von 3

8 Für die Scheinleistung muss der Phasenwinkel berücksichtigt werden, da Sie sich aus Realund Imaginärteilen zusammensetzt. S = U I mit I = U Z = U Y folgt: S = U 2 Y = (230V) 2 0,595 Ω e-j80,33 = 3,448kVA e -j80,33 Die Blindleistung ist: Q = U 2 Im{Y } = (230V) 2 ( 0,587) = 3,04 kva Ω Anstatt mit der Admittanz kann natürlich auch mit der Impedanz gerechnet werden: Z = Y =,68Ω e j80,33 4. Zeichnen Sie den Leistungszeiger S in die gaußsche Zahlenebene ein. Verwenden Sie dabei den Maßstab 5 kva ˆ= cm. Im / kva P 5 0 Re / kva 0 S Q Abbildung 3.2: Leistungszeiger Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 8 von 3

9 5. Sie wollen nun die Blindleistungsaufnahme des Netzwerks minimieren, dazu fügen Sie ein Bauteil zwischen den Klemmen A und B ein. Welches Bauteil verwenden Sie und welcher Wert wird für die minimale Blindleistungsaufnahme benötigt? Die Schaltung verhält sich kapazitiv, da Z einen negativen Winkel aufweist. φ UI < 0; der Strom ist also voreilend. Es muss also eine Induktivität eingefügt werden. Ziel ist, dass Q C = Q Lges : ωc = ωl ges L ges = ω 2 C = 2 π 50Hz 2mF = 844µF Die erforderliche Induktivität der einzusetzenden Kompensationsspule L comp, ergibt sich aus der Parallelschaltung mit der vorhandenen Induktivität L. = L ges L + = L comp L comp L ges L L comp = 84,834 H L comp = 5,4mH 6. Stellen Sie die komplexe Übertragungsfunktion H( jω) = I R I allgemein in Abhängigkeit der Bauteilparameter auf. Geben Sie das Ergebnis nach Real- und Imaginärteil getrennt an. Verwenden Sie für diese Aufgabe nur das Ersatzschaltbild aus Abbildung 3., ohne die Kompensation aus Aufgabenteil 5. mit H( jω) = I R I I R = U R und I = U Z ges H( jω) = I R = Z ges I R = R Y = R ( R + j(ωc ωl )) = + j(ωrc ωl R ) Komplex konjugiert erweitern: H( jω) = H( jω) = + j(ωrc ωl R ) j(ωrc ωl R ) j(ωrc ωl R ) = j(ωrc ωl R ) jr(ωc + j(ωrc ωl R = )2 + R 2 (ωc + R 2 (ωc ωl j R(ωC ωl ) )2 + R 2 (ωc ωl )2 Hinweis: Punkt 6 kann unabhängig von den vorherigen Aufgaben gelöst werden. ωl ) ωl ) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 9 von 3

10 Aufgabe 4: Ausgleichsvorgang Gegeben sei die in Abbildung 4. dargestellte Schaltung: (20 Punkte) L R t=0 i(t) S U L R u(t) Abbildung 4.: Schaltbild zu Aufgabe 4 Der Schalter S werde zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen.. Wie groß ist der Strom i(t) unmittelbar nach Schließen des Schalters S? (2 Punkte) Nach Stetigkeitsbedingung: i(t = 0) = 0 2. Stellen Sie die Differentialgleichung für den Strom i(t) auf! (4 Punkte) U = 2L dt di di + 2R i(t) dt + R L i(t) 2 U L = 0 3. Lösen Sie( die Differentialgleichung für den Strom i(t)! (6 Punkte) i(t) = 2R U e t/τ) mit τ = R L 4. Skizzieren Sie den Stromverlauf i(t) (4 Punkte)! i U 2R t Abbildung 4.2: Stromverlauf i(t) 5. Berechnen Sie den Spannungsverlauf u(t)! (4 Punkte) u(t) = U Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 0 von 3

11 Aufgabe 5: Magnetischer Kreis (20 Punkte) Gegegeben sei das in Abbildung 5. dargestellte Magnetlager bestehend aus einem Eisenkern und einem Joch, welcher ebenfalls aus Eisen besteht (µ r,fe = 4000). Die Abmessungen der Anordnung können der Grafik entnommen werden. Die Anzahl der Windungen betrage N = 250 und durch die Wicklung fließe ein Gleichstrom von I = 2,5A. Die Länge des Luftspaltes d betrage 2mm. Hinweis: Achten Sie auf den Wicklungssinn! µ 0 = 4π 0 7 N A 2 ; g = 9,8 m s 2 U I 20cm N 50cm l Joch d ϕ 20cm 0cm 0cm d 30cm 0cm l 2 70cm l 3 Abbildung 5.: Magnetischer Kreis. Zeichnen Sie in Abbildung 5. den Verlauf des magnetischen Flusses ϕ (mit Flussrichtung) ein und berechnen Sie die effektive Magnetfeldlinienlänge durch das Eisen. l = 40cm l 2 = 20cm l 3 = 50cm 2. Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 3

12 N I ϕ 2R 2 2R 2R 3 2R L Abbildung 5.2: Magnetischer Kreis ESB 3. Bestimmen Sie den magnetischen Widerstand der Anordnung sowie die Induktivität. A = 0,2 0,m 2 = 0,02m 2 l R = ka = 3,9789 µ r,fe µ 0 A Vs R 2 = l 2 ka =,9894 µ r,fe µ 0 A Vs R 3 = l 3 ka = 4,9736 µ r,fe µ 0 A Vs R L = d ka = 79,577 µ 0 A Vs R ges = 2R + 2R 2 + 2R 3 + 2R L = 8 038,7478 A Vs L = N2 R ges = 0,34523H 4. Berechnen Sie den magnetischen Fluss ϕ L sowie die magnetische Flussdichte B L im Luftspalt. ϕ L = Θ R ges = N I R ges = 3,4523mVs B L = ϕ L A L = 0,726 Vs m 2 Nehmen Sie ab jetzt an µ r 5. Berechnen Sie nun den magnetischen Fluss ϕ L sowie die magnetische Flussdichte B L im Luftspalt Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 2 von 3

13 ϕ L,2 = Θ = N I = 3,927mVs 2R L R L B L,2 = ϕ L,neu A L = 0,9635 Vs m 2 6. Welche Masse m kann das maximal Joch besitzen, damit es bei gegebenen Bedingungen von dem Eisenkern getragen werden kann? F = 2A L 2 B B 2 L,2 L,2H L,2 = A L = 63,5923N µ 0 F = F g = mg m = F g = 62,5476kg Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 3