Elektrotechnik I Formelsammlung

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1 Elektrotechnik I Formelsammlung Andreas itter und Marco Weber. Dezember 009 Inhaltsverzeichnis Physikalische Gesetze Physikalische Konstanten Physikalische Zusammenhänge Mathematische Formeln Doppelbrüche Komplexe echnung Netzwerk-Analysis 3 Serieschaltung Spannungsteilerregel Parallelschaltung Stromteilerregel Kirchhoff sche egeln Superpositions-Theoreme Verfahren zur Analyse Gleichstrom DC 6 Leistung Kondensatoren Spulen Wechselstrom AC 8 Zeigerdarstellung Polarform Impedanz / Admittanz Widerstand Kondensator / Kapazität Spule / Induktivität Serienschwingkreis Parallelschwingkreis Netzwerk-Analysis mit Wechselgrössen Leistung

2 Seite. Dezember 009 Physikalische Gesetze Physikalische Konstanten Einheitsladung: e = C [C] = [As] Influenzkonstante: ε 0 = C Nm Phsyikalische Zusammenhänge Ohmsches Gesetz: U = I U =[V ]= [ ] [ ] C F = Nm m [ ] Nm As [ ] kg m, = [Ω] = A s 3 Kraft zwischen zwei Ladungen: Kraft in einem elektrischen Feld: Strom: Widerstand eines Leiters: F = q q 4πε 0 r F = q E =[N] =[N] ( ) Q I = lim = dq t t dt =[A] = ρ L A = [Ω] Sheet esistance: s = ρ d = [Ω] = L s b = [Ω] mit Breite b Mathematische Formeln Doppelbrüche x + = x x x x + x x + x + = x 3 x x x 3 x x + x x 3 + x 3 x Komplexe echnung Betrag: Argument: Eulersche Umwandlung: Z = a + jb c + jd Z = a + b c + d Z = a + jb ( ) bc ad c + jd (Z) = arctan ac bd Falls gilt: sign(bc ad) = sign(ac bd) = müssen 80 zur Phase addiert werden. cis ϕ = cos ϕ + j sin ϕ = e jϕ

3 Seite 3. Dezember Netzwerk-Analysis Serieschaltung Schaltbild: Widerstände: tot = i = Strom: I = I = I 3 = Spannung: V = V i = V + V + V 3 + ichtung beachten! Spannungsteilerregel V i = V i tot Parallelschaltung bei zwei Widerständen: V V = Schaltbild: Widerstände: tot = wenn alle gleich: tot = i Anz. für zwei Widerstände: tot = + Strom: I = I i = I + I + I 3 + Spannung: V = V = V 3 = Leitfähigkeit: G = =[S] Siemens Stromteilerregel I i = I tot i mit zwei Widerständen: I = + I bzw. I = + I

4 Seite 4. Dezember 009 Kirchhoff sche egeln KCL-Knotenregel: Die Summe aller zufliessenden Ströme in einem Knoten ist Null. Dabei Nützlich: Über einen Widerstand gilt: I = V V V I V KVL-Maschenregel: Die Summe der Potentiale, die über einen geschlossenen Kreislauf an- und abfallen ist Null. 0 V =0 Superpositions-Theoreme Verschiedene Strom- und Spannungsquellen können einzeln betrachtet werden (Achtung AC bei unterschiedlichen Frequenzen!) Die nicht zu berechnenden Strom und Spannungsquellen werden folgendermassen gehandhabt. E I Thévenin-Theorem: Jedes linear elektrische Netzwerk kann bezüglich zweier Klemmen zu einer Ersatzspannungsquelle, dem Thévenin- Äquivalent, bestehend aus einer Spannungsquelle und einem Widerstand in Serie, umgeformt werden. Ersatzwiderstand Th : Alle Strom- und Spannungsquellen gemäss Superposition behandeln. Widerstand an offenen Klemmen berechnen. Entspricht No. Ersatzspannung E Th : Gemäss Superpositionsprinzip offene Stromkreisspannungen an offenen Klemmen berechnen und Summe bilden. E Th Th Norton-Theorem: Ähnlich dem Thévenin-Theorem mit dem Unterschied, dass Ersatzstromquelle und Ersatzwiderstand parallel sind. Ersatzwiderstand No : Entspricht Th des Thévenin- Theorems. Ersatzstromquelle I No : Gemäss Superpositionsprinzip Kurzschlussströme berechnen an geschlossenen Klemmen und Summe bilden. I No No

5 Seite 5. Dezember 009 Umwandlung zwischen Thévenin und Norton: I N = E Th Th E Th = I N Th No = Th Maximale Leistungsübertragung: L = Th E Th Th L E L = E Th L = No I No No L I L = I No Verfahren zur Analyse Ast-Strom-Analyse:. Nummeriere in jedem Ast einen Strom. Wende in jeder Masche das KVL an 3. Wende das KCL an (an einem Minimum der Knoten (alle Äste)) 4. Löse die Gleichungen Maschen-Analyse:. Nummeriere jede unabhängige geschlossene Masche. Wende KVL in jeder Masche an Knoten-Analyse:. Nummeriere die Knoten. Wähle einen eferenzknoten und setze Potential Null 3. KCL an restlichen Knoten V,V,V 3, Löse das Gleichungssystem Brückenschaltungen: Falls das Verhältnis : 3 = : 4 gilt, fliesst kein Strom durch 5 und der Widerstand kann aus dem Schaltbild entfernt werden.

6 Seite 6. Dezember Gleichstrom DC Strom und Spannung mit konstanter ichtung und Betrag Leistung P = u t = I V P = I P = V [ W = J ] s Kondensatoren Symbol: Kapazität: Differentialgleichungen: Lade- und Entladevorgang: C i = Q i V i =[F ] Faraday (gilt in jedem Kondensator i) i C (t) = dq C dt = C dv C dt v C (t) = C i C (t) dt Zum Zeitpunkt t = t 0 wird der Schalter umgeschaltet, sodass sich der bis dahin vollständig aufgeladene Kondensator wieder vollständig entlädt. + - E t < t 0 t! t 0 C i C (t) v C (t) Ladephase: Entladephase: E i C (t) v C (t) =0 i C (t) + v C (t) = 0 C d (v dt C(t)) + v C (t) =E C d (v dt C(t)) = v C (t) v C (t) =E ( ) e t / C v C (t) =E ( ) e t / C ( ) i C (t) = E / C i e t C (t) = E e t / C t =0: v C (t) = 0 t = t 0 : v C (t) =E t : v C (t) =0 i C (t) = E i C (t) = 0 i C (t) = E v (t) =E v (t) =0 v (t) =E Graphische Darstellung:

7 Seite 7. Dezember 009 Serieschaltung: + - E + 3 Parallelschaltung: - E 3 Spulen Gespeicherte Energie: Q T = Q = Q = Q 3 Q T = Q + Q + Q 3 E = Q + Q + Q 3 CV = C V + C V + C 3 V C C C 3 E = V + V + V 3 E = V = V = V 3 = C tot = C i C tot C i U = QV = CV = Q C Plattenkondensator: V = E d E = V d = F Q gespeichert im elektrischen Feld C = Q V = ε 0 ε r A d Symbol: Induktivität: L = dφ [ di = H = Vs ] A Henry (Φ magnetischer Fluss) Spulengüte: Q L = w L L (gilt in jeder Spule) Differentialgleichungen: i L (t) = L v L (t) dt v L (t) =L di L dt Lade- und Entladevorgang: Zum Zeitpunkt t = t 0 wird der Schalter umgeschaltet, sodass sich die bis dahin vollständig aufgeladene Spule wieder vollständig entlädt. + - E t < t 0 t! t 0 L i L (t) v L (t) Ladephase: Entladephase: E i L (t) v L (t) = 0 i L (t) + v L (t) = 0 i L (t) + L d (i L d dt L(t)) = E dt L(t)) = i L (t) i L (t) = E ( e t L ) i L (t) = E e t L v L (t) =Ee t L v L (t) =E( e t L ) t =0: v L (t) =E t = t 0 : v L (t) = 0 t : v L (t) =E i L (t) =0 i L (t) = E i L (t) =0 v (t) = 0 v (t) =E v (t) =0

8 Seite 8. Dezember 009 Graphische Darstellung: Serieschaltung: + - E + 3 Parallelschaltung: - E 3 L tot = L i L tot = L i Gespeicherte Energie: U = L I gespeichert im Magnetfeld Solenoid: B = µ 0 I n Toroid: B = µ 0 I n πr n Anzahl Windungen h Dicke des ings a Aussenradius i Innenradius r mittlerer adius A Querschnittsfläche n L = µ 0 l A L = µ 0 n h π ln a i 7 Vs µ 0 =4π 0 Am 5 Wechselstrom AC Zeigerdarstellung Polarform Frequenz: Kreisfrequenz: f = T = [Hz] ω = π =πf = [ ] T s Phasenverschiebung: Der Phasenverschiebungswinkel θ ist die Spannung gegenüber dem Strom! θ = (V ) (I)

9 Seite 9. Dezember 009 Zeitsignal: a(t) =A m cos (ωt + θ) Phasor: A = A m (cos θ + j sin θ) =A m e jθ Amplitude: A m = e(a) + Im(A) Phase: θ = (A) = arctan ( ) Im(A) e(a) Impedanz / Admittanz Im xl Z induktiv Komplexer Widerstand: Z = V I = [Ω] e xc kapazitiv Admittanz: Y = Z =[S] Siemens Z Serieschaltung: Z = i Z i Parallelschaltung: Z = i Z i Y = i Y i = i Z i Widerstand x =0 Phasenverschiebung: θ =0 Impedanz: Z = Kondensator / Kapazität x C = ωc Phasenverschiebung: θ = 90 Impedanz: Z C = jωc Ein Kondensator ist ein Kurzschluss für hohe Frequenzen und ein Leerlauf für tiefe Frequenzen (= Gleichstrom).

10 Seite 0. Dezember 009 Spule / Induktivität x L = ωl Phasenverschiebung: Impedanz: θ = +90 Z L = jωl Eine Spule ist ein Leerlauf für hohe Frequenzen und ein Kurzschluss für tiefe Frequenzen (= Gleichstrom). Serienschwingkreis S C L Z = S + jωl + jωc = S + j ( ωl ) ωc esonanzfrequenz: f S = ω S π ω S = LC Güte Q = S ω S C = L S C = ω SL S Bandbreite: BW 3dB = S L = ω S Q ω, = ω S + (Q) ± S L mit: 3dB = Frequenzgänge:

11 Seite. Dezember 009 Parallelschwingkreis P C L Z = P + jωl + jωc = jωl P P ( ω LC)+jωL esonanzfrequenz: f P = ω P π ω P = LC Güte Bandbreite: Q = P ω P C = P C L = P ω P L BW 3dB = ω P Q ω, = ω P mit: 3dB = + (Q) ± ω P Q Frequenzgänge: Netzwerk-Analysis mit Wechselgrössen Unterschiedliche Frequenzen: Befinden sich in einem Netzwerk Elemente mit unterschiedlichen Frequenzen, so müssen sie in zwei unabhängigen echenschritten behandelt werden und könnenerst am Schluss kombiniert werden. Hierzu wird das Superpositionsprinzip verwendet. Die Lösungen der Aufgabe mit den unterschiedlichen Frequenzen ergeben addiert die Lösung.

12 Seite. Dezember 009 Allgemeines Vorgehen: eaktive Elemente mit Impedanzen ersetzen Falls Phasenverschiebungen vorhanden sind müssen diese nur für die Berechnung der Phase beachtet werden und werden ganz zum Schluss addiert oder subtrahiert. Netzwerk mit normaler Netzwerkanalysis lösen! Frequenzen in algebrahische Lösung einsetzen. Komplexe Lösung in eal- und Imaginärteil, Polarform oder am gebräuchlichsten in Betrag und Phase darstellen Mit der letzteren Form kann dann die gesuchte Grösse wieder als Zeitsignal dargestellt werden. Leistung Effektivwerte: Erzeugt ein Wechselstrom in einem Widerstand im Mittel die gleiche Leistung, wie ein Gleichstrom, so ist der Effektivwert des Stromes gleich dem Wert des Gleichstromes. T p(t) =ī(t) = P = I T 0 i(t) dt = I π i(t) dt = I π 0 π I m π = I I eff = Im V eff = Vm Scheinleistung: Die Scheinleistung ist die vektorielle Summe aus Wirkleistung und Blindleistung. P S = S = I eff V eff = I m V m = V m Z = I m Z Wirkleistung: Die Wirkleistung ist die Leistung, die über den Widerstand genutzt werden kann. Sie ist in Phase mit dem Strom. P W = P = P S cos θ = e(p S ) Blindleistung: Die Blindleistung bleibt im System und kann nicht genutzt werden. P B = Q = P S sin θ = Im(P S ) Leistungsfaktor: F = cos θ = P W P S