GRUNDLAGEN DER WECHSELSTROMTECHNIK

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1 ELEKTROTECHNIK M GLEICHSTROM. ELEKTRISCHE GRÖßEN UND GRUNDGESETZE. ELEKTRISCHE LADUNG UND STROM.3 ELEKTRISCHES FELD UND STROM.4 ELEKTRISCHES SPANNUNG UND POTENTIAL.5 ELEKTRISCHES LEISTUNG UND WIRKUNGSGRAD.6 ELEKTRISCHER WIDERSTAND UND LEITWERT.7 OHMSCHER WIDERSTAND ZWEIPOLE. DEFINITION. PASSIVE ZWEIPOLE (VERBRAUCHER) 3.3 AKTIVE ZWEIPOLE (QUELLEN) 3.4 VERBINDUNG VON ZWEIPOLEN 3.5 KIRCHHOFFSCHE GESETZE 4.6 ERSATZZWEIPOLE 4.7 SPANNUNGSTEILER 4.8 BRÜCKENSCHALTUNG 4.9 MESSUNGEN 5 3 PASSIVE BAUELEMENTE 5 3. OHMSCHER WIDERSTAND 5 3. KONDENSATOREN SPULEN 5 4 GRUNDLAGEN DER WECHSELSTROMTECHNIK 6 4. KENNGRÖßEN 6 4. KOMPLEXE RECHNUNG IM WECHSELSTROMKREIS LEISTUNG IM WECHSELSTROMKREIS OHMSCHES GESETZ BLINDLEISTUNGSKOMPENSATION 7

2 Gleichstrom. Elektrische Größen und Grundgesetze Stromdichte S = J A [S] = A mm Stromstärke J = Q t Ladungstransport Zeit. Elektrische Ladung und Strom Ladungsmenge Q = t t I(t) dt Q = I t.3 Elektrisches Feld und Strom Feldstärke E [E] = V m F = Q E Kraft F auf Ladung Q im el. Feld Ladungsträgerdichte n - : Elektronen n + : Elektronen durchschn. Geschwindigkeit V - = l - t V + = l + t Beweglichkeit b U - = b- E U + = b+ E Ladung innerhalb t Q - = -n - A l e Q + = n + A l e Stromstärke I I - = -(-n - A l - t e) I + = n + A l + t e = A e n - v - = A e n + v + Stromdichte S I ges = I - + I + = Q ges = A e ( n t - v - + n + v + ) S = e ( n - v - + n + v + ) E Proportionalitätskonstante k = e ( n - v - + n + v + ) nur Abhängig von:.4 Elektrisches Spannung und Potential d. Ladungsträger (n) Beweglichkeit (b) Potential ϕ = W Q Energie Ladung [ϕ] = V Spannung U = ϕ = ϕ - ϕ = W - W Q U = E d s Zusammenhang zw. Sp. und el. Feld im homogenen Feld gilt: U = E l l = Abstand Pkt. u. Pkt.

3 .5 Elektrisches Leistung und Wirkungsgrad Leistung P(t) = d W(t) dt [P] = W Gleichstrom P = W t Energie Zeit = U I Leistungsbilanz P ab = P zu - P v Wirkungsgrad η = P ab P zu = P zu - P v P zu = - P v P zu < η ges = P ab,ver P zu,erz = η erz η l η ver.6 Elektrischer Widerstand und Leitwert Widerstand R [R] = Ω = V A Für metallische Leiter gilt: R = ϕ l A Bei Temperaturänderung gilt: R(ϑ) = R 0 [+ α (ϑ - 0 )] spezifischer Widerstand [ϕ] = Ω mm m Temperaturkoeffizient [α] = Κ = Ω 0-6 m Leitwert.7 Ohmscher Widerstand R(ϑ) = R 0 + R α = R R 0 (ϑ -0 ) = R R 0 T G = R Für metallische Leiter gilt: Κ = ϕ [G] = s (Siemens) = A V spezifischer Leitwert [Κ] = s m mm allg. ohm. Gesetz S = Κ E Κ = ϕ spezielle Form U = R I = ϕ l A Zweipole. Definition Zweipolgleichung U = f (I) bzw. I = f (U) I P = R I = U R = G U = I G Erzeuger aktiver Zweipol; Erzeugerpfeilsystem: I U Verbraucher passiver Zweipol; Verbraucherpfeilsystem: U I

4 . Passive Zweipole (Verbraucher) Zweipolgleichung U = f (I) bzw. I = f (U) Widerstand im AP r = U I differentieller Widerstand.3 Aktive Zweipole (Quellen) Grenzfall I = 0 (Leerlauf) U 0 = Leerlaufspannung P = 0 Grenzfall U = 0 (Kurzschluß) I K = Kurzschlußstrom P = 0 ideale Spannungsquelle U = U q = U 0 U q = Quellenspannung I K ideale Stromquelle I = I q = I K I q = Quellenstrom U 0 lineare Spannungsquelle U = U q - R i I R i = Innenwiderstand U 0 = U q ; I K = U q R i lineare Stromquelle I = Iq - Gi U G i = Innenleitwert U = I q -I G i U 0 = I q G i ; I K = I q.4 Verbindung von Zweipolen Spannung U Aktiv = U Passiv = U ArbeitsPunkt U AP = U q R R+R i Strom I A = I P = I AP I AP = U q R+R i Abgabe max. Leistung P max = U q = U q 4R i I K R L = R i U AP = U q I AP = I K U 0 = U q Abgabe max. Spannung U AP U 0 ; I AP 0 ; P << P max R L >> R i Abgabe max. Stromes I AP I K ; U AP 0 ; P << P max R L << R i 3

5 .5 Kirchhoffsche Gesetze Knotenregel 3 oder mehr Leitungen zufließende Ströme: + Maschenregel I zu = I ab I zu - I ab = 0 abfließende Ströme: - n k= I k = 0 (Knotenregel) Stromkreis ; geschlossener möglicher Kreis einer Ladung m j= U j = 0 (Maschenregel) Praktische Vorgehensweise:. Festlegung der Ströme und Stromrichtungen an den Zweipolen. Die Ströme bewirken an den passiven Zweipolen (Widerstände) Spannungsabfälle in der gleichen Richtung. 3. Bildung der Maschen 4. Def. Des Umlaufsinnes (beliebig, aber einmal festgelegt es muß bleiben) 5. Summenbildung so, daß alle Spannungen in Richtung des Umlaufsinnes positiv, alle Sp. entgegen dem Umlaufsinn negativ in die Summe eingesetzt werden. 6. Anwendung des ohmschen Gesetzes. 7. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems mit den entsprechenden Knotenpunktgleichungen..6 Ersatzzweipole Reihenschaltung Parallelschaltung R ges = n i= R i = n = n R ges i= R i i= G i = + = R R R ges R R R +R = R R R 3 R R 3 +R R 3 +R R.7 Spannungsteiler Spannungsteilerregel U U = R R ; U U i = R R i ; U U = R R ges Potentiometerschaltung unbelastet U = U R R +R (I =0) belastet U = U R R +R + R R R L (I 0; I = U R L ).8 Brückenschaltung U = U R 3 - R 3 +R 4 R R 3 - R R 4 R R ( ) = U +R ( R +R ) ( R +R 4 ) abgeglichen, wenn: U = I d.h. ( R 3 R 3 - R 3 R 3 ) = 0 R R = R 4 R 3 4

6 .9 Messungen Strommessung U A 0 ; U U s R A 0 R A möglichst klein Spannungsmessung I = I S ; I V 0 R V R V möglichst groß stromrichtige Schaltung Voltmeter vor Amperemeter bei großen Widerständen U + U A U spannungsr. Schaltung Amperemeter vor Voltmeter bei kleinen Widerständen I + I V I 3 Passive Bauelemente 3. Ohmscher Widerstand Festwiderstände Veränderliche W. Drahtw.; Schichtw. Potentiometeer 3. Kondensatoren Kapazität C = Q C C = ε 0 ε r A l [C] = A s = F (Farad) V Plattenkondensator Zweipolgleichung i c (t) = c du c (t) dt. = c u c t u c (t) = c 0 i c (t) dt Energie W = - C U c,o Reihenschaltung Parallelschaltung = n = + = C C C ges i= C i C ges C C C +C C ges = n i= C i C ges = C + C 3.3 Spulen Induktivität Zweipolgleichung Energie Reihenschaltung Parallelschaltung L = µ N A l u L (t) = L di(t) dt W = L I L ges = n i= L i = n L ges i= L i [L] = V s = H (Henry) A 5

7 4 Grundlagen der Wechselstromtechnik 4. Kenngrößen Periodendauer T i(t) = i(t+nt) ; n Z Frequenz f = T [f] = = Hz (Herz) s Schwingbreite i max = i min = i pp = i ss pp = ss = Peak to Peak Scheitelwert i = max ( i max, i min ) t +T arithmetischer Mittelwert ī = T t i(t) dt ; i(t) = i ~ + ī Gleichwert des Stromes quadratischer Mittelwert I = t +T T i (t) dt t Effektivwert des Stromes Spezialfall: Sinusförmiger Wechsels. i(t) = i cos(ωt + ϕ i ) i, u : Amplitude, Scheitelwert u(t) = u cos(ωt + ϕ u ) (ωt + ϕ i ) (ωt + ϕ u ) } Phasenwinkel ω = π T = π f [ω] = s ϕ i, ϕ u : Nullphasenwinkel ω: Kreisfrequenz Effektivwert U = u ; I = i 4. Komplexe Rechnung im Wechselstromkreis x = Re{Z} ; y = Im{Z} ; Z = Betrag von Z ; ϕ = Winkel von Z Z = x + jy = Z e j ϕ ; Z = x + y ; ϕ = arctan y x U = U e j ϕ u I = I e j ϕ i ; I * = I e -j ϕ i 6

8 4.3 Leistung im Wechselstromkreis Phasenverschiebung ϕ = ϕ u + ϕ i gemittelte Leistung P = T 0 T p(t) dt = U I cosϕ Scheinleistung S = U I VA Wirkleistung P = S cosϕ = S cos(ϕ u - ϕ i ) W Blindleistung Q = S sinϕ var Leistungsfaktor P = cosϕ (=λ) max. S Darstellung d. Leistung Re{S} = S cosϕ = Q Wirkleistung in W 4.4 ohmsches Gesetz Im{S} = S sinϕ = P S = U I * = P + j Q = s e j ϕ u Blindleistung in var komplexer Widerstand Z = U I = U ej ϕ u I e j ϕ i = U I ej ϕ u-ϕ i = U I ej ϕ Z = R + j x = z e j ϕ ; z = R + y ; ϕ = arctan x R Leistung S = U I * = Z I I * = Z I = y * U y * = Leitwert S = (R + j x) I S = R I + jx I = G U + jb U S = P + j Q B = R: Wirkleistung X: Blindleistung X = ω L ω L Leitwert y = Z = I = G + j B B: Kehrwert von X U 4.5 Blindleistungskompensation C komp parallel Y komp = jω C komp S = G v U + ju ( ω L - ωc komp ) S = S = P v +(Qv -U ωc komp ) cosϕ = P v S C komp = Q v-q U ω = P v U ω (tanϕ v-tanϕ komp ) reine Blindleistung Leistungsfaktor λ 7