Lineare elektrische Netze

Transkript

1 Lineare elektrische Netze

2 Energiegewinn &-verlust Energiegewinn, Erzeugung Energieverlust, Verbrauch ds E ds E, U I U I F= m g d s F= m g U I Drei Beispiele aus der Mechanik und aus der Elektrotechnik für den Transfer von Energie: Ein System gewinnt Energie, wenn eine Kraft überwunden wird (obere Reihe). Ein System gibt Energie ab, wenn Kraft und Bewegung in die gleiche Richtung zeigen. Die Pfeile hier zeigen die tatsächliche Richtung an.

3 Strompfeil = Koordinatensystem J I>0 I<0 J Strompfeile (rot) sind eindimensionale Koordinatensysteme, die eine Referenzrichtung festlegen. Dagegen zeigen Pfeile, die Für Vektoren stehen (schwarz), die tatsächliche Richtung an.

4 Vorzeichen, richtig! + Generator, Erzeuger Verbraucher + I U di U = - L dt I U U I - di U = + L dt Q=-CU I Q=+CU U - Skizze zur Bestimmung der richtigen Vorzeichen: Die Bauelementegleichungen für Spule und Kondensator (und aller anderen Bauelemente) gelten nur dann ohne zusätzliches Minuszeichen, wenn der Strom und die Spannung jeweils relativ zur gleichen Richtung definiert werden

5 Pole, Knoten und Zweige? 2 Klemmen 1 Klemme = 2 Pole 1 Knoten 1 Zweig Veranschaulichung einiger häufig gebrauchter Begriffe: Ein Klemmenpaar ergibt zwei Pole, mehrere Pole zusammen ergeben einen Knoten; Knoten sind durch Zweige verbunden

6 Bäume und Maschen Baum Masche Veranschaulichung der Begriffe Baum und Masche Hat die Verbindung Endpunkte, ist sie ein Baum, ist sie geschlossen, spricht man von einer Masche. Alle Quellen und Impedanzen entlang der Zweige sind hier nicht gezeichnet

7 Knotenregel I2 I3 I1 I5 I4 Veranschaulichung der Knotenregel: Bei ihrer Anwendung muss mindestens ein Strom negativ sein, wenn alle Ströme auf den Punkt zeigen, denn was hereinkommt muss auch wieder hinaus

8 k oder k-1 Knotengleichungen? IEin I k (k-1) IAus I Veranschaulichung des Verlustes einer Knotengleichung: Bei a priori ausgeglichener Strombilanz, d.h. IEin = IAus = I gibt es statt k nur (k-1) unabhängige Knotengleichungen

9 Maschenregel U2 c U3 U1 b I d U4 a e U5 Die Maschenregel als Konsequenz der Energieerhaltung: Weil ein Ladungsträger auf dem Weg a b c... zurück nach a keine Energie gewinnen kann, ist die Summe aller Spannungen Null

10 Stromteiler IQ R1 R2 R3 RN Skizze eines Stromteilers. Stromteiler sind Netze, bei denen alle Komponenten parallel geschaltet sind. Über allen fällt daher die gleich Spannung ab und der Strom wird aufgeteilt U

11 Reale Quellen Idealfall + - Modell der Wirklichkeit + UQ UQ + + IQ Rs - IQ Rp - Ideale und reale Spannungs- und Stromquellen. Die Abweichungen vom Idealfall werden näherungsweise durch einen zusätzlichen Widerstand berücksichtigt

12 Quellenumrechnung + IQ + Rp - äquivalent - Rs UQ Beispiel für das Ersetzen von Parallelschaltungen durch Reihenschaltungen: Reale Strom- und Spannungsquellen können ineinander umgerechnet werden

13 Konstruktion von Ersatzspannungsquellen R1 R1 IB UB R2 R3 R2 R1 IB UB Kurzschlussstrom R1 IB UB R3 R2 = R3 Ri IQ Grafische Darstellung eines Beispiels zur Bestimmung der Parameter von Realen Ersatzquellen. Für die Bestimmung der Leerlaufspannung ist der Widerstand R3 R2 UQ irrelevant

14 Beispielschaltung R1 IB UB I1 R2 R3 I2 I3 R4 Beispielschaltung zur Illustration der Systematisierung der Lösung der Kirchhoff'schen Gleichungen

15 Maschenstromverfahren IM1 IM2 Der Kerngedanke des Maschenstrom-Verfahrens: Der Strom durch ein Bauteil, hier ein Ohm'scher Widerstand, wird als Summe der Maschenströme angegeben,

16 Maschen-Spannungsbilanz Spannungsbilanz einer Masche. Sie wird in zwei Schritten erstellt: zun"achst die Masche allein (hier: IM1), dann um die angrenzenden Maschenstr"ome (hier: IM2) erweitert

17 Maschenstrom & ideale Stromquellen R1 IB UB I1 R2 R3 I3 I2 R4 Rx R1 IB UB Uminterpretation einer Schaltung zur Vorbereitung des Maschenstrom-Verfahrens: die grau unterlegten Widerstände werden benutzt, um aus der idealen eine reale Stromquelle zu machen. I1

18 Knotenpotenzial-Verfahren I2 R2 V2 I1 V1 Vx R1 R3 I3 V3 IQ Der Kerngedankens des KnotenpotenzialVerfahrens: Zum Aufstellen der Knotenmatrix reicht eine Betrachtung aller unmittelbaren Nachbarschaften

19 Knotenpotenzial & ideale Spannungsquelle: Doppelknoten Behandlung idealer Spannungsquellen im Rahmen des KnotenpotenzialVerfahrens: Zwei durch eine ideale Spannungsquelle verbundene Knoten können zu einem Doppelknoten zusammengefasst werden

20 Überlagerungsverfahren Eine Schaltung mit drei Quellen (links) und die zur Berechnung nach dem Überlagerungssatz dienenden Teilschaltungen (rechts)

21 Netzwerkanalysebeispiel Aufgabe: Bestimmen Sie den Strom durch den Widerstand R3 mithilfe des Überlagerungsverfahrens

22 Netzwerkanalysebeispiel R1,2,3 R1 R3 R4 Ri R2 R4 M1 Ri M2 R5 R6 U 3 G4 1 G1,2,3 G6,i IQ R5 R6 U 2 G5 0 Aufgabe & Lösung: Zeichnerische Vorbereitung der beiden StandardAnalyseverfahren: Widerstände werden zusammengefasst, Maschenströme und Knotennummern definiert. Für das KnotenpotenzialVerfahren wird die Spannungsquelle in eine Stromquelle umgerechnet

23 Messung kleiner Ströme Aufgabe: Eine Spannungsquelle, zwei Multimeter und ein unbekanntes, als Geschenk verpacktes Gerät, welches bei 1,5 V Nur 10 Mikrowatt verbraucht. Wie genau schließen Sie die mit dem im Karton versteckten Geschenk zusammen, um dessen Leistungsaufnahme möglichst genau zu bestimmen?

24 Passau und Kirchhoff Aufgabe: In Passau fließen drei Flüsse zusammen. Welche Größe ist dabei erhalten und was hat das mit Gustav Robert Kirchhoff zu tun?