Vororientierung zur Kurseinheit 7

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1 92 4 Berechnung linearer Netzwerke Vororientierung zur urseinheit 7 In diesem apitel wird Ihnen gezeigt, wie man aus linearen Zweipolen aufgebaute Netzwerke in systematischer Weise analysieren kann. Dazu werden wir, ausgehend von der Struktur des Netzwerkes, ein System von unabhängigen Gleichungen aufstellen. Nach der Auflösung dieses Systems können dann alle Ströme und Spannungen des Netzwerkes berechnet werden. Die hier vorgestellten Analyseverfahren sind der erste Schritt einer allgemeinen Theorie der elektrischen Netzwerke. Es wird gezeigt, wie man, ausgehend von den empirisch gefundenen Gesetzen (irchhoff sche Regeln, Ohm sches Gesetz), für komplizierte Schaltungen mit Hilfe der Mathematik unter Beachtung der vorgegebenen Voraussetzungen allgemein gültige Methoden entwickeln kann. In diesem apitel werden wir deshalb, wenn auch in beschränktem Umfang, auf Beweisführungen nicht verzichten. Es ist deshalb für den theoretisch veranlagten Studenten von besonderem Interesse. Die hier angegebenen Verfahren werden später, z. B. auf Wechselstromnetzwerke, erweitert werden.

2 Lernzyklus Lernzyklus 4. Studienziele Sie sollen nach dem Durcharbeiten dieses Lernzyklus in der Lage sein, zu zeigen, dass ein Netzwerk aus linearen Zweipolen mit Hilfe der irchhoff schen Gleichungen und der Strom-Spannungs-Beziehungen für die Zweige eindeutig analysiert werden kann; ein vollständiges System von linear unabhängigen Strömen, mit dem alle anderen Größen bestimmt werden können, zu finden und zu begründen; ein vollständiges System von linear unabhängigen Spannungen, mit dem alle anderen Größen im Netzwerk bestimmt werden können, zu finden und zu begründen; die Analysegleichungen für ein Netzwerk aufzustellen und zu lösen; den Aufbau der Maschenimpedanzmatrix und der notenadmittanzmatrix zu beschreiben und für ein Netzwerk sofort anzugeben; das Überlagerungsprinzip anzugeben, zu begründen und damit zu arbeiten.

3 4 Berechnung linearer Netzwerke 4. Allgemeine Grundlagen Nachdem wir im letzten apitel einige einfache Schaltungen betrachtet haben, wollen wir uns nun der Aufgabe zuwenden, allgemeine Berechnungsverfahren zur Analyse beliebig komplizierter linearer Netzwerke zu entwickeln. Die Beschränkung auf lineare Netzwerke, d. h. auf Netzwerke, deren Zweige aus linearen Zweipolen gebildet werden, hat den großen Vorteil, dass die Gleichungen, die die verschiedenen Ströme und Spannungen miteinander verknüpfen, linear werden. Dann lässt sich aber für jeden Strom und jede Spannung eine eindeutige analytische Lösung angeben. Die Gesetzmäßigkeiten, die für die Analyse zur Verfügung stehen, sind die irchhoff schen Regeln und das Ohm sche Gesetz. Insgesamt sind in einem Netzwerk mit Z Zweigen die Z Zweigspannungen und die Z Zweigströme, also insgesamt 2Z Größen unbekannt. Ein allgemeiner Zweig k ist im Bild 4. dargestellt. Der Allgemeingültigkeit halber wird in dem Zweig sowohl eine Spannungsquelle als auch eine Stromquelle vorgesehen. Die Wahl der Richtungspfeile erfolgt willkürlich. U k R k ( G k ) I k U ok I k I o k Bild 4.: Zweig des Netzwerkes in allgemeiner Form Da wir Spannungsquellen und Stromquellen ineinander umrechnen können, wäre es ausreichend, in den allgemeinen Betrachtungen entweder nur Stromquellen oder nur Spannungsquellen anzunehmen. Das ist im Zweig von Bild 4. dadurch herbeizuführen, dass entweder I ok =0oderU ok = 0 gesetzt wird. Setzen wir I ok = U ok =0, dann haben wir den einfachen Widerstandszweig. Aufgabe 4. Geben Sie für den Zweig im Bild 4. einen Ersatzzweig mit gleichen Eigenschaften bezüglich der Pole an, der a) nur eine Strom-, b) nur eine Spannungsquelle enthält! Mit dem Ohm schen Gesetz gilt für den allgemeinen Zweig im Bild 4.

4 4. Allgemeine Grundlagen 95 Allgemeine Zweiggleichungen oder U k = R k (I k + I ok ) U ok (4.) I k = G k (U k + U ok ) I ok. (4.2) Durch jede dieser beiden Gleichungen sind Spannung und Strom am Zweig eindeutig miteinander verknüpft. Sind also in einem Netzwerk mit Z Zweigen die Z Zweigströme oder die Z Zweigspannungen bekannt, dann lassen sich auch sofort die Z Zweigspannungen bzw. die Z Zweigströme berechnen. Wir benötigen damit nur noch Z Gleichungen für die Zweigströme oder für die Zweigspannungen. Diese Gleichungen müssen mit den irchhoff schen Regeln aufgestellt werden. Das kann durch direkte Anwendung dieser Regeln geschehen. Unabhängige notengleichungen Im Abschnitt 3.6 haben wir zunächst die notenregel angewandt. Sie liefert in einem allgemeinen zusammenhängenden Netzwerk mit noten genau voneinander unabhängige Gleichungen. Denn betrachtet man die ersten noten nacheinander, dann stellt man fest, dass bei jedem neuen noten wenigstens ein neuer Zweig vorkommt, der bei den vorherigen noch nicht vorhanden war. Das sind jeweils die Zweige, die zu noten führen, die noch nicht betrachtet wurden. In dem im Bild 4.2 angegebenen Netzwerk lässt sich dies für die noten bis 6 leicht nachprüfen. Die Zweige in dem Netzwerk wurden dabei nur durch Linien angegeben, denn für die notengleichungen ist es völlig unerheblich, von welcher Beschaffenheit der einzelne Zweig ist. Aus dem Bild 4.2 erkennt man nun aber auch, dass die notengleichung für den letzten noten ( 7 ) keine neue Information enthält (s. auch das Beispiel in Aufgabe 3.6). Die notengleichung für 7 ist identisch mit der für den noten Σ. Die notengleichung für Σ ergibt sich aber als Summe aller notengleichungen der vorher betrachteten noten (hier bis 6 ) Σ 6 Bild 4.2: Zur Gewinnung unabhängiger notengleichungen

5 96 4 Berechnung linearer Netzwerke Unabhängige Maschengleichungen Um auf die erforderlichen Z Gleichungen zu kommen, benötigen wir also noch weitere Z ( ) = Z + unabhängige Gleichungen. Sie müssen mit der Maschenregel gewonnen werden. Dazu müssen entsprechend viele Umläufe durchgeführt werden. In einem komplizierten Netzwerk ist es jedoch nicht so ohne weiteres möglich zu erkennen, ob die dabei erhaltenen Gleichungen voneinander linear unabhängig sind. Es ist deshalb sinnvoll, nach einem bestimmten Schema vorzugehen. Die Gleichungen werden auf jeden Fall dann linear unabhängig, wenn bei jeder neuen Masche wenigstens ein Zweig hinzukommt, der bei keiner der vorher betrachteten Maschen durchlaufen worden ist. Im Einzelnen kann man folgendermaßen verfahren: Als erste Masche wird ein beliebiger Umlauf gewählt. Für die nächste und alle folgenden Maschen geht man von einem schon benutzten noten aus und wählt einen Weg über wenigstens einen neuen Zweig. Stößt man auf dem Weg auf einen anderen bereits benutzten noten, dann ist der Umlauf über die in den vorherigen Umläufen benutzten Zweige zu schließen. Es sind nun soviel Umläufe auszuführen, dass jeder Zweig wenigstens einmal durchlaufen wird. Es ergibt sich nun die Frage, ob die Zahl der Umläufe und damit die Zahl der Maschengleichungen ausreicht, um den Bedarf an unabhängigen Gleichungen zu decken. Wir bestimmen deshalb die Zahl N der Gleichungen, die sich bei der beschriebenen Prozedur ergeben. Es sei Z i die Zahl der Zweige, die beim i-ten Umlauf erstmalig durchlaufen werden. Die Zahl der noten, die dabei erstmalig berührt werden, ist genau um kleiner. Beim ersten Umlauf werde der Ausgangsknoten nicht mitgezählt. Die Gesamtzahl der neuen Zweige für alle Umläufe ist Z, die Gesamtzahl der neuen noten. Somit ist und N Z i = Z (4.3) N (Z i ) =. (4.4) Für die linke Seite der Gl. (4.4) können wir mit Gl. (4.3) schreiben: Damit ergibt sich für N N N N (Z i ) = Z i =Z N. N = Z ( ). (4.5) Wir erhalten mit der Maschenregel also gerade die Zahl der noch notwendigen linear unabhängigen Gleichungen. notenregel und Maschenregel liefern für ein Netzwerk mit Z Zweigen zusammen genau Z unabhängige Gleichungen. Mit den Gln. (4.) oder (4.2) für jeden Zweig sind damit alle Ströme und Spannungen im Netzwerk eindeutig bestimmt.

6 4.2 Das Maschenstromverfahren 97 Da die Gl. (4.) sofort in die Maschengleichungen oder die Gl. (4.2) in die notengleichungen eingeführt werden kann, erhalten wir im ersten Fall ein Gleichungssystem mit Z Gleichungen für die Z Zweigströme und im zweiten Fall ein Gleichungssystem mit Z Gleichungen für die Z Zweigspannungen. Es zeigt sich nun, dass bei entsprechendem Vorgehen die Zahl der Gleichungen und der Unbekannten von vornherein reduziert werden kann, so dass die Lösung einfacher und weniger aufwendig wird. Im Folgenden wollen wir dazu zwei Verfahren kennen lernen. Bei diesen Verfahren werden jeweils der eine Teil der Spannungen oder Ströme als unabhängige und der andere als abhängige Größen betrachtet. Gleichzeitig werden wir die Prozedur zum Auffinden der linear unabhängigen Maschen noch weiter schematisieren. 4.2 Das Maschenstromverfahren Beispiel Zur Demonstration des Verfahrens soll zunächst ein Beispiel behandelt werden. Für das Netzwerk im Bild 4.3 sind alle Ströme und Spannungen zu bestimmen. Uq 3 I 3 I 5 I6 I M2 R 3 R 5 D A I 2 R 2 C I M3 R 6 R I M R 4 I I 4 U q B Bild 4.3: Beispiel für ein zu untersuchendes Netzwerk Das Netzwerk hat sechs Zweige und vier noten. Wir können deshalb drei unabhängige notengleichungen und drei unabhängige Maschengleichungen aufstellen. Als unabhängige Maschen können die durch I M bis I M3 gekennzeichneten Umläufe verwendet werden. Wir betrachten nun zunächst den noten A und erhalten als notengleichung I I 2 I 3 =0. Sind zwei der drei Ströme, beispielsweise I und I 3, bekannt, dann ist der dritte (I 2 ) durch diese Gleichung eindeutig festgelegt. Wir können I und I 3 als unabhängig und I 2 als von I und I 3 abhängig bezeichnen. Es erscheint sinnvoll, I 2 in den Gleichungen möglichst gar nicht mehr mitzuführen, sondern ihn von vornherein durch I und I 3 darzustellen. Entsprechendes lässt sich auch für die anderen noten überlegen. Im noten B mit der notengleichung I I 4 I 6 =0