Schaltungstechnik 1 (Wdh.)

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1 Grundlagenorientierungsprüfung für Elektro- und Informationstechnik Schaltungstechnik (Wdh.) Univ.-Prof. Dr. techn. Josef A. Nossek Freitag, den Uhr Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Hörsaal: Platz-Nr.: Dieses Aufgabenheft hat 7 Seiten. Die Gesamtzahl der Punkte beträgt 90. Als Unterlagen für die Prüfung sind maximal 5 beliebig beschriebene Blätter DIN A4 erlaubt. Taschenrechner und Mobiltelefone sind nicht zugelassen. Mit * gekennzeichnete Aufgaben sind ohne Kenntnis des Ergebnisses der vorhergehenden Teilaufgaben lösbar. Es werden nur solche Ergebnisse gewertet, bei denen der Lösungsweg erkennbar ist! Technische Universität München Lehrstuhl für Netzwerktheorie und Signalverarbeitung Univ.-Prof. Dr.techn. Josef A. Nossek

2 9 Aufgabe Resistives Zweitor (9 Punkte) Gegeben sei das folgende resistive Netzwerk in Bild, das aus der Verschaltung der Widerstände R,R, zu einem Zweitor bestehe. Es gelte: R,R, > 0. i R i u u R Bild : T-Glied 4 a)* Geben Sie die Widerstandsmatrix R T des Netzwerkes in Bild an! u i i = R + R u i =0 i = R + =0 u i i = R u i =0 i = R =0 [ R + R R T = R R R + ] b)* Ist das Zweitor reziprok? Begründen Sie Ihre Antwort. Ja, wegen R T = R T T. GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

3 Name:... Matrikel-Nr.:... 3 c)* Ist das Zweitor umkehrbar? Begründen Sie Ihre Antwort. Nein! [ ] R T des umgedrehten Zweitores lautet: R T = R + R R R R + R T d)* Geben Sie ] mit Hilfe der Widerstandsmatrix R T die implizite Beschreibung des Zweitores u [MN] = 0 an. i u = R T i, u R T i = 0 Mu+ Ni = 0 M =, N = R T [ ] U e)* Geben Sie jetzt auch die Betriebsmatrix der parametrisierten Beschreibung des 6 I Zweitores an, die Sie durch die beiden folgenden Beschaltungen in Bild erhalten. R i i =0 R i i U u u R U u u =0 R (a) Beschaltung () (b) Beschaltung () Bild : Beschaltungen des T-Gliedes GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

4 4 u () = U u () = R R + R U i () = U R + R i () =0 u () = U u () =0 i () U = (R + ) R (R + )+R i () = U R R (R + )+R [ U I ] = U U U R R + R 0 U U (R + ) R + R R (R + )+R U R 0 R (R + )+R f) Können Sie mit geeigneten [ Dimensionierungen ] von R,R, in Bild eine beliebige α β Widerstandsmatrix R = mit α β γ δ und α, β, γ, δ > 0 erzielen? Begründen γ δ Sie Ihre Antwort! Nein! [ ] α γ Man kann nur ein R = erzielen, da man zu wenige Freiheitsgrade hat. γ δ [ ] α β Die im Folgenden zu realisierende Matrix R = soll in eine Summe von zwei γ δ [ ] α γ Teilmatrizen R und R aufgespalten werden. Dabei gelte: R =. γ δ 4 g)* Was ergibt sich daraus für die Matrix R, und welches Zweitor besitzt eine solche Widerstandsmatrix? R = R + R, R = R R = [ 0 β γ 0 0 ] stromgesteuerte Spannungsquelle ISU GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

5 Name:... Matrikel-Nr.:... 5 h) Ergänzen Sie das Zweitor mit der Widerstandsbeschreibung u u ] = R i i ] im 3 gestrichelten Kasten F des Bildes 3 mit Hilfe Ihres Ergebnisses aus der vorherigen Teilaufgabe, und beschriften Sie die eingezeichneten Netzwerksymbole. i i u R u i i u u i i u (β γ)i u F Bild 3: Zweitor-Zusammenschaltung i)* Verschalten Sie nun in Bild 3 die beiden Zweitore so, dass Sie als Resultat ein Zweitor mit der 5 Widerstandsmatrix R erhalten. Wie nennt man diese Art der Zusammenschaltung? Reihenschaltung GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

6 6 3 Aufgabe Operationsverstärker (3 Punkte) Es soll die in Bild 4 gezeigte Schaltung, bestehend aus linearen und nicht-linearen Widerständen, einer Spannungsquelle und einem idealen Operationsverstärker im streng linearen Bereich untersucht werden. R R u R 0 R R4 u L i L L N i N u N Bild 4. Zu untersuchende Schaltung Zunächst soll der nicht-lineare Widerstand R N als Leerlauf betrachtet werden. a)* Skizzieren Sie die Strom-Spannungs-Kennlinie von R N in diesem Fall. Beschriften Sie dabei die Achsen mit u N und i N. i N 0 u N Bild 5. Strom-Spannungs-Kennlinie eines Leerlaufs GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

7 Name:... Matrikel-Nr.:... 7 b)* Zeichnen Sie ein Ersatzschaltbild für die Schaltung in Bild 4, welches für den idealen 3 Operationsverstärker ein Nullor-Modell verwendet. Das Ersatzschaltbild soll dabei keine Spannungsquellen enthalten. 3 R R 4 u 0 R i L R R L R 3 Bild 6. Ersatzschaltbild für die Schaltung aus Bild 4 c) Geben Sie die Knotenleitwertmatrix Y k der Ersatzschaltung aus Teilaufgabe b an, welche 5 sich ohne Nullator und Norator ergäbe. Machen Sie die gewählte Numerierung der Knoten im Ersatzschaltbild in Teilaufgabe b kenntlich! Y k = G 3 + G 4 + G L G 4 0 G 4 G + G 4 G 0 G G + G wobei G =/R, G =/R, G 3 =/, G 4 =/R 4 und G L =/R L gilt. GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

8 8 3 d) Modifizieren Sie die in Teilaufgabe c ermittelte Knotenleitwertmatrix derart, daß der Nullator des Ersatzschaltbildes berücksichtigt wird. Auf welche Knotenspannungen reduziert sich dabei eine Knotenspannungsanalyse? Nullator zwischen Knoten 3 und : Addition der entsprechenden Spalten: Y k = G 3 + G 4 + G L G 4 G G 4 G + G 4 G + G G Aufgrund des Nullators zwichen Knoten 3 und, sind die entsprechenden Knotenspannungen identisch. Eine Knotenspannungsanalyse kann sich daher auf die Knotenspannungen der Knoten und, bzw. 3 und beschränken. e) Modifizieren Sie die in Teilaufgabe d ermittelte Knotenleitwertmatrix derart, daß zusätzlich der Norator des Ersatzschaltbildes berücksichtigt wird. Norator zwischen Knoten und 0: Streichen der -ten Zeile: Y k = [ ] G3 + G 4 + G L G 4 G + G G GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

9 Name:... Matrikel-Nr.:... 9 f) Berechnen Sie mit Hilfe der Knotenspannungsanalyse, die Lastspannung u L und daraus 6 den durch R L fließenden Strom i L.ZeigenSie,daß i L wie folgt von den Bauteilwerten und der Eingangsspannung u 0 abhängt: i L = u 0 R/R R 4 / + R 4/ R /R R 4 /R L. () [ ] [ u 0 Y k = u u0 G ] [ u u ] [ 0 = Y k u0 G ] Y k = G G 4 G G 3 G G L [ G G 4 G G G 3 + G 4 + G L ] G G 4 u = u 0 G G 4 G G 3 G G L G G 4 i L = u G L = u 0 G + G G 3 G G 4 = u 0 G 3 GG 4 G G 3 = u 0 G 3 G/G G 3 /G 4 G L + G G 3 G G 4 G G L + G 3/G 4 G /G G L /G 4 i L = u 0 R/R R 4 / + R. 4/ R /R R 4 /R L GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

10 0 Fortsetzung zur Teilaufgabe f g)* Wie müssen die Widerstandsverhältnisse gewählt werden, so daß der Strom i L keine Funktion von R L ist? R R = R 4. GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

11 Name:... Matrikel-Nr.:... Im folgenden soll von diesen Widerstandsverhältnissen ausgegangen werden. h)* Die so dimensionierte Schaltung realisiert eine gesteuerte Quelle. Um welche Art von gesteuerter Quelle handelt es sich hierbei? USI i) Ermitteln sie i L als Funktion der Spannung u 0 und der Bauteilwerte, für eine Dimensionierung gemäß Teilaufgabe g. i L = u 0. Im folgenden sei angenommen, der nicht-lineare Widerstand R N aus Bild 4 habe die in Bild 7 angegebene Strom-Spannungs-Kennlinie: i N / ma u N / V Bild 7. Strom-Spannungs-Kennlinie des Widerstands R N GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

12 Der Widerstand R N soll durch Parallelschaltung zweier nicht-linearer Widerstände R N und R N realisiert werden. Der Widerstand R N haben dabei die Strom-Spannungs-Kennlinie aus Bild 8. i N un R N R N i N i N u N i N u N / ma u N / V Bild 8. Links: Realisierung von R N durch Parallelschaltung zweier nicht-linearer Widerstände. Rechts: Strom-Spannungs-Kennlinie des Widerstands R N 4 j)* Skizzieren Sie die Strom-Spannungs-Kennlinie, welche R N Bauteil handelt es sich hierbei? aufweisen muß. Um welches u N = u N = u N i N = i N + i N. i N / ma u N / V Bild 9. Strom-Spannungs-Kennlinie des Widerstands R N Es handelt sich um eine in Sperrrichtung gepolte ideale Diode. GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

13 Name:... Matrikel-Nr.:... 3 k) Geben Sie den Strom i N durch den nicht-linearen Widerstand R N als Funktion der Spannung 3 u 0, des Laststroms i L und den Bauteilwerten an. Da R N parallel zu R L liegt, gilt: i L + i N = u 0 i N = u 0 i L GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

14 4 30 Aufgabe 3 CMOS-Logik (30 Punkte) Gegeben sei die folgende logische Funktion f, die das Ausgangssignal y in Abhängigkeit der Eingangssignale a, b, c, d liefert: y = f(a, b, c, d) =(ā b d) ( b c) () 5 a)* Geben Sie die Wertetabelle zu dieser Funktion f an! a b c d y GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

15 Name:... Matrikel-Nr.:... 5 b)* Zeichnen Sie die Schaltung, die die logische Funktion f realisiert, in CMOS-Technologie auf 6 Transistorebene als Komplex-Gatter. Nehmen Sie dazu direkt die Gleichung () und formen Sie sie nicht um! a b b d c a b d U b y b c c) Wie viele Transistoren benötigen Sie für das Komplex-Gatter? 0 Transistoren werden benötigt. GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

16 6 4 d)* Wenden Sie das De Morgansche Gesetz auf die Gleichung () an, bis alle Eingangssignale nicht-invertiert sind, und vereinfachen Sie den gewonnenen Ausdruck so weit wie möglich. y = (ā b d) ( b c) = (ā b d) ( b c) = (a b d) (b c) = = b (a c) (c d) = b (c (a d)) 3 e) Zeichnen Sie nun den aus Teilaufgabe d) gefundenen Ausdruck für die Funktion f auf Gatterebene mit den Grundgattern AND, OR, NOT. Hinweis: Ihre Grundgatter dürfen maximal zwei Eingänge besitzen. b c a d y Für den Rest der Aufgabe sei nun folgende logische Funktion gegeben: z = x (x 3 (x x 4 )). (3) 3 f)* Formen Sie die den Ausdruck für z so um, dass Sie ausschließlich NAND, NOR, und NOT - Gatter mit maximal zwei Eingängen benötigen. GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04

17 Name:... Matrikel-Nr.:... 7 z = x (x 3 (x x 4 )) = x (x 3 (x x 4 )) g) Zeichnen Sie nun die Schaltung zur logischen Funktion z auf Transistorebene in 7 CMOS-Technologie unter Berücksichtigung Ihres Ergebnisses aus Teilaufgabe f). x x 3 x 4 x U b y x x 4 x x 3 h) Wie viele Transistoren benötigen Sie hierfür? Es werden 6 Transistoren benötigt. 90 GOP Schaltungstechnik (Wdh.) WS 003/04