9. Netzwerksätze. Einführende Bemerkung. Der Überlagerungssatz. Satz von der Ersatzspannungsquelle. Satz von der Ersatzstromquelle

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1 Grundlagen der Elektrotechnik GET Netzwerksätze Einführende Bemerkung Der Überlagerungssatz Satz von der Ersatzspannungsquelle Satz von der Ersatzstromquelle [Buch GET 2: Seiten ] Einführende Bemerkungen Was gibt es zur Netzwerkanalyse noch zu sagen? Direkt: Die Berechnung von einfachen elektrischen Netzwerken wurde zuerst anhand von typischen Schaltungen durchgeführt: Reihen-, Parallelschaltung, Spannungsund Stromteiler, Brückenschaltung, Systematisch: Die Knotenpotenzialanalyse und die Maschenstromanalyse stellen beide formale Verfahren dar, welche die Berechnung sämtlicher (linearer) Netzwerke ermöglichen. Erweiterung: Daraus lassen sich weitere verallgemeinerte Methoden auch für nichtlineare Netzwerke ableiten: z.b. die Tableau-Analyse. Verallgemeinerung: Aus all diesen methodischen Erkenntnissen können wiederum einfach handhabbare und allgemeingültige Beziehungen abgeleitet werden, welche in der Praxis von grossem Nutzen sind: die Netzwerksätze. 1

2 Der Überlagerungssatz I Netzwerke mit mehreren Quellen (1) Ein Rechenbeispiel aus der Knotenpotenzialanalyse (cf. Folien 30 und 37): i q1 i 1 i Y Y 2 i 2 Y 1 Y 3 i 3 4 Y i 3 Y 6 i 6 i q2 (A) Aufgabenstellung: Gesucht: Die Stromstärke i 3, Knoten 4 sei hier ein Masseknoten. (B) Lösung: Die Stromstärke i 3 setzt sich aus den Beiträgen der beiden Stromquellen zusammen. Die Formel kann als Überlagerung der beiden Beiträge gelesen werden. i 3 = Y 3 ( Y 2 +Y 4 ) i q1 Y 1 +Y 2 +Y ( 4 Y +Y 6 )Y i q2 ( ) Y 1 +Y 2 +Y ( 3 Y +Y 6 )Y 2 Y 2 +Y 4 ( Y 1 +Y 2 +Y 4 ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y ( ) 2 Der Überlagerungssatz II Netzwerke mit mehreren Quellen (2) Sehr einfaches Beispiel zur Plausibilisierung des Überlagerungssatzes: (A) Maschenregel: u q1 + Z i Z + u q2 = 0 i Z = u q2 u q1 Z = (C) Interpretation: i Z = u q2 Z u q1 Z = i + i Z1 Die Stromstärke i Z1 und i Z2 ergeben sich auch aus Z und der jeweiligen Urspannungsquelle, wenn die andere Quelle durch einen Kurzschluss ersetzt wird. i Z = u q2 Z u q1 Z (B) Mittels Ersatzquelle (Folie 189): ( e u ) q = u q2 u q1 i Z 2

3 Der Überlagerungssatz III Netzwerke mit mehreren Quellen (3) Die Verallgemeinerung hinsichtlich komplizierter Netzwerke: u 4 Z u q i 4 Z 6 Argumentation zur Verallgemeinerung: Bei der Vorgehensweise aus Folie 390, wurde die gesuchte Stromstärke aus den Beiträgen der beiden einzelnen Urspannungsquellen bestimmt, indem wir die andere Quelle kurzgeschlossen haben. Wir betrachten hier lineare Netzwerke. Im komplizierten Netzwerk gilt demnach: (wie kompliziert { u 4, i 4 } u q das Netzwerk auch sein mag). Die Erkenntnisse aus Folie 390 lassen sich auch auf komplizierte Netzwerke mit mehreren Urspannungsquellen übertragen. Der Überlagerungssatz IV Netzwerke mit mehreren Quellen (4) Beispiel: Z Die Stromstärke î 2 im Netzwerk mit den drei Urspannungsquellen gewinnt man durch Überlagerung der entsprechenden Teilströme aus den drei Teilnetzwerken. + u q1 i 21 Z 6 Die Teilnetzwerke ergeben sich aus dem Vorgehen aus Folie 390, wo die nicht verwendeten Urspannungsquellen durch Kurzschlüsse ersetzt wurden. i 2 = i 21 + i 22 + i 23 + u q2 i 22 Z Z 6 u q2 i 2 Z Z = i 23 u q1 u q3 u q3 Z 6 Z 6 3

4 Der Überlagerungssatz V Netzwerke mit mehreren Quellen () Weiterführende Betrachtungen: Wie wir auf Folie 392 gezeigt haben, können die Zweigströme in einem Netzwerk durch Überlagerung gewonnen werden. i z = i z1 + i z2 + i z3 Mit Hilfe der Zweigrelationen, bzw. unter Berücksichtigung der Zweigimpedanz Z kann das Überlagerungsprinzip auch auf die Zweigspannungen ausgedehnt werden. u z = Z i z = Z i z1 + Z i z2 + Z i z3 u z = u z1 + u z2 + u z3 Der Überlagerungssatz VI Netzwerke mit mehreren Quellen (6) Fazit: Der Überlagerungssatz Sind in einem Netzwerk q Spannungs- und p Stromquellen enhalten, so können alle elektrischen Stromstärken und Spannungen an den Netzwerkelementen aus der Überlagerung (Addition) von (q+p) Einzelspannungen bzw. Einzelstromstärken berechnet werden. Die Einzelstromstärken bzw. Einzelspannungen sind jeweils die von einer einzelnen (Ur-)Quelle im Netzwerk hervorgerufenen Stromstärken und Spannungen. Hierbei werden alle restlichen (Ur-)Quellen durch ihre Innenimpedanz ersetzt, d.h. die q-1 Urspannungsquellen durch einen Kurzschluss und die p-1 Urstromquelle durch einen Leerlauf

5 Der Überlagerungssatz VII -39- Beispiel: «Der unendlich grosse Maschendrahtzaun» (1) Problemstellung: Jeder Zweig in der Masche weist einen elektrischen Widerstand von R = 1 auf. Wie gross ist der eingesehene Widerstand R AB bezüglich der Klemmen A-B? Der Überlagerungssatz VIII Beispiel: «Der unendlich grosse Maschendrahtzaun» (2) Lösung durch Überlagerung: Wir prägen über eine Urstromquelle an der Klemme A einen (frei wählbaren) Strom ein, z.b.: i 0 = 1A Man erhält so für den Strom am Widerstand zwischen den Klemmen A-B die Stromstärke: i () 1 AB = 1 A 4

6 Der Überlagerungssatz IX Beispiel: «Der unendlich grosse Maschendrahtzaun» (2) Lösung durch Überlagerung: Wir prägen über eine Urstromquelle Nun an der Klemme B einen den umgekehrten Strom gleicher Stromstärke (siehe Bezugspfeil) ein, z.b.: i 0 = 1A Man erhält so für den Strom am Widerstand zwischen den Klemmen A-B die Stromstärke: ( 2 i ) AB = 1 A 4 Der Überlagerungssatz X Beispiel: «Der unendlich grosse Maschendrahtzaun» geerdeter Rand im (2) Lösung durch Überlagerung: A B i 0 =1 A u AB i 0 =1 A Daraus ergibt sich mittels Überlagerung ein Gesamtstrom am Widerstand zwischen den Klemme A-B: i AB = i () 1 ( 2 AB + i ) AB = 1 A 2 Klemmenspannung: u AB = i AB R = 1 2 V 1 Eingesehener Widerstand R AB : R AB = u AB i 0 = 1 2 6

7 Satz von der Ersatzspannungsquelle I Einführende Betrachtungen Zielsetzung: Die Quellensätze, d.h. der Satz von der Ersatzspannungsquelle und der Satz von der Ersatzstromquelle wurde 183 erstmals als sogenanntes «Helmholtzsches Theorem» formuliert und später, d.h unter der Bezeichnung «Thevenin s Theorem» wiederentdeckt (siehe auch Folie 408). Zielsetzung: In einem beliebigen Netzwerk mit z Zweigen und mehreren nichtgesteuerten Stromoder Spannungsquellen soll die Spannung bzw. die Stromstärke in genau einem Zweig berechnet werden. Aufteilung: Dadurch lässt sich das Netzwerk in zwei Teilschaltungen aufgliedern: den Zweig und das (bestehend aus z-1 Zweigen). Trick: Das stellt eine reale Quelle dar Satz von der Ersatzspannungsquelle II Schaltungsbeispiel (1) Vorgehensweise: Brückenschaltung: Gesucht sind gemäss a) die Stromstärke und die Spannung die im Zweig Nr.. Die Klemmen -' werden als Ausgangsklemmen einer realen Spannungsquelle interpretiert. «Blackboxing»: Demnach wird das gesamte gemäss d) als reale Spannungsquelle interpretiert. Die Parameter der realen Spannungsquelle Bestimmen sich über die Messung der Leerlaufspannung u b) und die Kurzschlussstromstärke i k c). Den Zweig Nr.. zur Bestimmung der Spannung u und der Stromstärke i an die Ersatzquelle anschliessen d). i Z u Z Z 3 1 a) b) u q u q i k u Z i = u i k Z c) d) u q i

8 Satz von der Ersatzspannungsquelle III Schaltungsbeispiel (2) Alternative Vorgehensweise: Z i Z i a) b) u q Nebst der Ermittlung der Leerlaufspannung u kann die Innenimpedanz Z i auch direkt eingesehen werden, indem die Urspannungsquelle u q kurzgeschlossen wird. Satz von der Ersatzspannungsquelle IV Vom Überlagerungsprinzip zur Ersatzspannungsquelle (1) Aufteilung der Netzwerktopologie: i i Z u a) Zweig u b) Es soll i bestimmt werden! Das Netzwerk wird aufgegliedert in den Zweig und in das mit den q Spannungsquellen und den p Stromquellen [siehe a)]. Betrachtung: Ersetzt man die Zweigimpedanz Z durch eine Urspannungsquelle, deren Urspannung gerade u entspricht, dann ändert sich nichts an der Strom- und Spannungsverteilung im [siehe b)]. 8

9 Satz von der Ersatzspannungsquelle V Vom Überlagerungsprinzip zur Ersatzspannungsquelle (2) Einbringen des Überlagerungssatzes: i b) Es soll i bestimmt werden! u Die Stromstärke i in der Konfiguration b) kann mittels Überlagerungssatz bestimmt werden. Wenden wir den Überlagerungssatz an (cf. Folie 394), dann: (i) Müssen alle Spannungsquellen (der Reihe nach) durch Kurzschlüsse, (ii) Müssen alle Stromquellen (der Reihe nach) durch Leerläufe ersetzt werden. Die im Zweig erregten Ströme gilt es dann zu überlagern. Aus dem Überlagerungsprinzip folgt der Satz der Ersatzspannungsquelle. Satz von der Ersatzspannungsquelle VI Vom Überlagerungsprinzip zur Ersatzspannungsquelle (3) Ausführen des Überlagerungsprinzips : i 1 R, L, C, M, u u q =0 =0 c) d) Die Stromstärke i 1 wird durch alle Quellen im erregt. Für die resultierende Stromstärke bzw. den gesuchten Strom i gilt: + i 2 Die Stromstärke i 2 wird durch die Quelle u erregt, falls die restliche Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und die restlichen Stromquellen durch Leerläufe ersetz werden. i = i 1 + i 2 (Überlagerungssatz) 9

10 Satz von der Ersatzspannungsquelle VII Vom Überlagerungsprinzip zur Ersatzspannungsquelle (4) Betrachtungen hinsichtlich einer realen Spannungsquelle: i 1 = i k R, L, C, M, u u q =0 =0 c) d) Im Sinne von Folie 400 stellt die Stromstärke i 1 gerade die Kurzschlussstromstärke i k dar, falls das als reale Quelle aufgefasst wird. + i 2 = u Z i i 2 Im Sinne von Folie 401 kann die Stromstärke i 2 über die Innenimpedanz Z i des es bestimmt werden: Das negative Vorzeichen trägt dem Beszugspfeil der Stromstärke i 2 Rechnung. Satz von der Ersatzspannungsquelle VIII Vom Überlagerungsprinzip zur Ersatzspannungsquelle (4) Betrachtungen hinsichtlich einer realen Spannungsquelle: Z i (A) Zweigstrom i : (Anhand der Folien 404, 40) u = u i = i 1 + i 2 = i k u Z i (B) Zum Leerlauf an den Klemmen ': i = i k u Z i := 0 0 = i k u Z i Z (C) Grössen der Ersatzspannungsquelle: i k = u Z i Z i = u i k 10

11 Satz von der Ersatzspannungsquelle IX Vom Überlagerungsprinzip zur Ersatzspannungsquelle () Das als Ersatzspannungsquelle: i Z i = u i k i Z Z u u u a) b) Aus Folie 406 folgt demnach i = i k u = u u Z i Z i Z u = u Z i i i Entspricht exakt der Quellenkennlinie. q.e.d Satz von der Ersatzspannungsquelle X Der Satz von Helmholtz Theorem von Thevenin In einem passiven elektrischen Netzwerk mit den Elementen R, L, C, und M sowie mit ungesteuerten Spannungs- und Stromquellen kann die Stromstärke und die Spannung in einem beliebigen Zweig des Netzwerkes so berechnet werden, indem man diesen Zweig herauszieht und das dabei entstehende als reale Spannungsquelle interpretiert. Vom bestimmt man die Leerlaufspannung nach entfernen der Impedanz des betrachteten Zweiges. Vom bestimmt man die vom betrachteten Zweig eingesehene Innenimpedanz entweder direkt, indem man alle Urspannungsquellen des es durch Kurzschlüsse ersetzt und die Urstromquellen entsprechend durch Leerläufe. Oder man bestimmt die Innenimpedanz des es indirekt über den Kurzschlussstrom im nun kurzgeschlossenen Zweig. Draus ergibt sich die, dem zugehörige, äquivalente Ersatzspannungsquelle

12 Satz von der Ersatzstromquelle I Das als reale Stromquelle i Z a) b) u i q = i k i Y i = i k u Y u In Folie 188 wurde gezeigt, dass jeder realen Spannungsquelle eine äquivalente reale Stromquelle zugeordnet werden kann. Demzufolge kann jedes auch als Ersatzstromquelle dargestellt werden. i = i k u = i q Y i u Z i i q = i k Y i = i k u = 1 Z i Satz von der Ersatzstromquelle II Theorem von Norton In einem passiven elektrischen Netzwerk mit den Elementen R, L, C, und M sowie mit ungesteuerten Spannungs- und Stromquellen kann die Spannung und die Stromstärke in einem beliebigen Zweig des Netzwerkes so berechnet werden, indem man diesen Zweig herauszieht und das dabei entstehende als reale Stromquelle interpretiert. Vom bestimmt man die Kurzschlussstromstärke nach dem Kurzschliessen der Impedanz des betrachteten Zweiges. Vom bestimmt man die vom betrachteten Zweig eingesehene Innenimpedanz entweder indirekt über den Kurzschlussstrom und der Leerlaufspannung, letzteres dann über den leerlaufenden Klemmen der es. Oder man bestimmt die vom betrachteten Zweig eingesehene Innenimpedanz direkt, indem man alle Urspannungsquellen des es durch Kurzschlüsse ersetzt und die Urstromquellen entsprechend durch Leerläufe. Draus ergibt sich die, dem zugehörige, äquivalente Ersatzstromquelle

13 Beispiele zu den Ersatzquellensätzen Z i i u q Z u q Z a) i = 0 u Z u q 3 = u + Z q 3 b) a) i q = u q Y i k = 3 i q Y 1 +Y 2 +Y 3 b) c) Z i = + Z 3 + Z i c) Y i = d) u i Z Ersatzspannungsquelle d) i k i Y i Y = 1 Z Ersatzstromquelle 13