Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.1 Lösungen zu Übungsaufgaben

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1 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Im dargestellten Netzwerk gibt es k = 4 Knoten (K1-K4), also k - 1 = 3 unabhängige Knotenpunktgleichungen. Weiterhin gibt es z = 7 Zweige. (Die Spannungsquelle und der Zweig K2-K3 gehören dazu.) Daraus folgt die Zahl der Maschengleichungen: m = z - ( k - 1 ) = z - k + 1 = 4 (kleinste) Maschen. Vorgehensweise zur Lösung von Netzwerkaufgaben: 1. Spannungszählpfeil an den Spannungsquellen von + nach - eintragen. 2. In jedem Zweig (einschließlich Spannungsquellen) Strompfeilrichtungen frei wählen. Wenn schon zu erkennen ist, in welcher Richtung der Strom fließt, wird der Pfeil auch in dieser Richtung eingetragen In den Verbraucherzweigen die Spannungszählpfeile entsprechend dem Verbraucherzählpfeilsystem parallel zum Zweigstrom eintragen. 4. Bestimmungsgleichungen nach Kirchhoff und Ohm aufstellen und daraus die unbekannten Netzwerkgrößen berechnen. In dem oben dargestellten Netzwerk liegt links der Klemmen A-B ein aktives Netzwerk mit einer Spannungsquelle und rechts der Klemmen ein passives Netzwerk (ohne Spannungsquelle) vor. 1. Knotenpunktgleichungen: Im Schaltbild sind die k=4 Knotenpunkte K1 bis K4 zu erkennen (an den Anschlußklemmen A und B findet keine Strom-Verzweigung statt). Damit müßten k-1=3 linear unabhängige Gleichungen aufstellbar sein. 1 In Netzwerken mit einer Spannungsquelle fließt der Strom vom Pluspol der Quelle über den Verbraucher zum Minuspol (und innerhalb der Spannungsquelle vom Minus- zum Pluspol). Bei komplexeren Netzwerken ist die Stromrichtung nicht für alle Zweige aus der Anschauung zu erkennen. Die Stromzählpfeil-Richtung ist prinzipiell frei wählbar. Wenn die wirkliche Stromrichtung nicht mit der gewählten Stromrichtung übereinstimmt, wird das Ergebnis der Berechnung für diesen Strom negativ. WS 2012/2013 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

2 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.2 _ Folgende Gleichungen gelten für die 4 Knoten: K1: +I - I 1 - I 2 - I 3 = 0 K2: -I + I 1 + I 2 + I 3 = 0 K3: +I - I 4 - I 5 = 0 K4: - I +I 4 + I 5 = 0 Wie zu erkennen ist, ergibt sich die Gleichung K1 durch Multiplikation von K2 mit -1. Entsprechendes gilt für die Gleichungen K3 und K4. Von den vier aufgestellten Knotenpunktsgleichungen sind also nur zwei linear unabhängig und nicht drei! Erklärungsvariante: Der Strom zwischen K2 und K3 (hier mit I * bezeichnet) ist nicht eingetragen - er kann aus der Anschauung zu I * =I erkannt werden. Dies entspricht allerdings bereits der Ausnutzung einer Knotenpunktsgleichung. Würde I * in K2 und K3 eingesetzt, so ergäbe sich I * =I aus K1 (I = I 1 + I 2 + I 3 ) und K2 (I 1 + I 2 + I 3 = I * ). Zwischen den Knoten K2 und K3 liegt kein Widerstand. Da der Strom zwischen ihnen nicht gesucht ist, könnte man sie also auch zu einem Knoten zusammenfassen. Dann existierten 3 Knoten mit 2 unabhängigen Gleichungen. Für die weiteren Berechnungen werden die beiden voneinander unabhängigen Gleichungen K1 und K3 genutzt. 2. Maschengleichungen (2. Kirchhoffsches Gesetz): Typischerweise lassen sich für ein stark verzweigtes Netzwerk viele Maschengleichungen aufstellen, die z.t. voneinander linear abhängig sind. Einen Satz linear unabhängiger Gleichungen erhält man durch Aufstellen der sogenannten kleinsten Maschen, die keine anderen Maschen umschließen, hier die vier Maschen A-D. Die Anzahl der linear unabhängigen Maschengleichungen erhält man aus der Anzahl der Zweige (hier z = 6), vermindert um die Anzahl der linear unabhängigen Knotenpunktsgleichungen (hier 2). Daraus ergeben sich m = 6-2 = 4 voneinander linear unabhängige Maschengleichungen: Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 2012/2013

3 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.3 a) Berechnung der Zweigströme Die Spannung U und die Widerstände sind bekannt, unbekannt sind die 6 Ströme I, I 1, I 2, I 3, I 4, I 5. Zur Bestimmung dieser 6 Unbekannten werden 6 voneinander unabhängige Gleichungen benötigt. Es werden die Knotenpunktsgleichungen K1 undk3 und die Maschengleichungen MA bis MD verwendet. Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem: Lösung z.b. mit der Cramerschen Regel, dem Gauß`schen Eleminationsverfahren,... Hier: Lösung des Gleichungssystem durch Einsetzen: Aus M B und M C folgen: Damit ergibt sich: (1) I 1 = I 2 = I 3 Aus M D folgt: Damit ergibt sich: (2) I 4 = I 5 Mit (1) ergibt sich aus K 1 : I = I 1 + I 2 + I 3 = 3I 3, (3) I 1 = I 2 = I 3 = a I Mit (2) ergibt sich aus K 3 : I = I 4 + I 5 = 2 I 4, (3) und (4) in M A eingesetzt ergibt: (4) I 4 = I 5 = ½ I (5) in (1) eingesetzt ergibt: WS 2012/2013 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

4 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.4 _ (5) in (2) eingesetzt ergibt: 2. Variante: Lösung mit dem Kreisstromverfahren In den Maschen A - D werden die Kreisströme I a - I d eingetragen. Die Richtungen sind frei wählbar. Die Knotenpunktsgleichungen werden von den Kreisströmen implizit erfüllt, daher liegen hier weniger Gleichungen vor (hier 4 statt 6). Beim Aufstellen der Maschengleichungen müssen in jedem Zweig die beteiligten Kreisströme berücksichtigt werden. A: B: C: D: Aus D folgt: Aus C folgt: Aus B folgt mit ( 2 ) ( 3 ) in ( 2 ) eingesetzt ergibt: Die Ergebnisse in A eingesetzt ergibt: Die Zweigströme werden aus der vorzeichenrichtigen Summe der Maschenströme berechnet. Die Gleichungen entsprechen dem Knotenpunktsgesetz. Es ist aber kein Gleichungssystem, sondern es sind nur einzelne Gleichungen zu lösen. Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 2012/2013

5 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.5 Damit wird b) Berechnung des Gesamtwiderstandes zwischen den Klemmen A und B Daraus wird ersichtlich, daß die Gesetzmäßigkeiten zum Zusammenfassen von in Reihe oder parallel geschalteten Widerständen letztlich auf dem ohmschen und den Kirchhoffschen Gesetzen beruhen. 2. Möglichkeit: WS 2012/2013 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

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