Gleichstromlehre Theorie-Mitschrift

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1 Modul: ELA 1 Semester: Wintersemester 06/07 Kurs: Elektrotechnik Dozent: H. Senn Gleichstromlehre Theorie-Mitschrift Martin Züger

2 ELA 1: Elektrotechnik Dieses Dokument beinhaltet die im Unterricht besprochene Theorie des Kurses Elektrotechnik: Gleichstromlehre aus dem Modul ELA 1, welche ich zusammenfassend mitgeschrieben habe. Es ist daher gut möglich, dass sich hin und wieder einzelne Fehler eingeschlichen haben. Wer solche findet, Ergänzungen anbringen möchte oder sonstige Vorschläge hat, melde sich bitte per bei mir: Entstanden ist diese Mitschrift während dem Wintersemester 2006/2007. Sie kann frei nach der Creative Commons Attribution 2.5 License weitergegeben und verändert werden. Martin Züger, Februar 2007 Die in der Fusszeile angegebenen Seitenzahlen beziehen sich auf dieses Buch: Grundlagen der Elektrotechnik von Gert Hagmann 12. Auflage ISBN: Inhaltsangabe.doc Martin Züger

3 ELA 1: Elektrotechnik Gleichstromlehre Inhaltsverzeichnis Grundlagen Elektrische Ladung 1 Elektrische Stromdichte 1 Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen 1 Elektrisches Potential 2 Elektrische Spannung 2 Ohmsches Gesetz 3 Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit 3 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes 4 Widerstandstypen 4 Elektrische Arbeit / Energie 5 Elektrische Leistung 5 Wirkungsgrad 5 Bezugssinn & Pfeilsysteme 6 Kirchhoffsche Gesetze 7 Ideale elektrische Quellen 8 Lineare elektrische Quellen 9 Berechnungen Reihenschaltung (Serieschaltung) 10 Parallelschaltung 10 Dreieck/Stern-Umwandlung 11 Netzwerkberechnung 12 Überlagerungssatz 13 Ersatzspannungsquelle 14 Inhaltsverzeichnis.doc Martin Züger

4 NTB Elektrotechnik Grundlagen Gleichstromkreis I Elektrische Ladung Bei zeitlich konstanter Stromstärke I beträgt die während einer Zeit t durch den Querschnitt eines Leiters strömende Ladung: Q = I " t SI-Einheit: [Q] = 1 As = 1 C (Coulomb) Die kleinstmögliche negative elektrische Ladung ist die eines Elektrons, die Elementarladung: Elektrische Stromdichte e =1,602"10 #19 C Verteilt sich der elektrische Strom I gleichmässig auf den zur Verfügung stehenden Leiterquerschnitt A, so stellt J = I A SI-Einheit: [J] = A/m 2 Technische Einheit: [J] = A/mm 2 den auf die Flächeneinheit entfallenden Strom dar. Man bezeichnet diese Grösse als elektrischhe Stromdichte. Strömgeschwindigkeit der Elektronen Jedes Elektron benötigt eine bestimmte Zeit t, um einen Leiter vollständig zu durchwandern und somit den Weg l zurückzulegen. Die gleiche Zeit wird benötigt um die Ladung Q vollständig durch den Strömungsquerschnitt A zu bewegen. Für die Stromstärke gilt daher: I = Q t = N " e t = e " n " A " l t = e " n " A " v Hierin stellt v=l/t die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen dar. Man bezeichnet sie auch als mittlere Driftgeschwindikeit: v D = I e " n " A = und die Stromdichte: J n " e J = n " e " v D SI-Einheiten: [n] = mm -3 ; [v] = m/s Grundlagen Gleichstromkreis I.doc Buch Seite 6 bis 11 Martin Züger

5 NTB Elektrotechnik Grundlagen Gleichstromkreis II Elektrisches Potential Als elektrisches Potential bezeichnet man die potentielle Energie pro Elementarladung, die mit einem Zeitinvarianten, d. h. statischen elektrischen Feld assoziiert ist. Es handelt sich um ein Potentialfeld. Die Einheit wird üblicherweise in Volt angegeben: " = W Q Elektrische Spannung SI-Einheit: [] = 1 V (Volt) Die elektrische Spannung ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viel Arbeit bzw. Energie nötig ist, oder frei wird, wenn man ein Objekt mit einer bestimmten elektrischen Ladung entlang eines elektrischen Feldes bewegt. Spannung ist also das spezifische Arbeitsvermögen der Ladung. Sie ist auch die Differenz zweier Potentiale: U 1,2 = W 1,2 Q = " 1 # " 2 SI-Einheit: [U] = 1 V (Volt) Grafische Darstellung elektr. Potential & Spannung + " 1 =10V U 1,2 =13V " 2 = #3V - 10V -3V " 0 = 0V (Erde) Grundlagen Gleichstromkreis II.doc Buch Seite 12 und 13 Martin Züger

6 NTB Elektrotechnik Grundlagen Gleichstromkreis III Ohmsches Gesetz In einem Gleichstromkreis sind Spannung und Strom in bestimmter Weise voneinander abhängig: U = R " I SI-Einheiten: [U] = 1V; [R] = 1V/A = 1; [I] = 1A Der Kehrwert des ekektrischen Widerstandes wird als elektrischer Leitwert bezeichnet. Er besitzt die Einheit Siemens: G = 1 R SI-Einheiten: [G] = 1-1 = 1 S (Siemens) Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit Der spezifische Widerstand (auch Resistivität genannt) ist eine temperaturabhängige Materialkonstante mit dem Formelzeichen (griech. rho). Der elektrische Widerstand eines homogenen elektrischen Leiters mit einem über seine Länge konstanten Querschnitt lässt sich folgendermassen berechnen: R 20 = " 20 # l A SI-Einheit: ["] = 1 m Technische Einheit: ["] = 1 m = 10 6 " #" mm2 m Der Kehrwert des spezifischen Widerstandes ist die elektrische Leitfähigkeit. Sie gibt die Fähigkeit eines Stoffes an, elektrischen Strom zu leiten, d.h. in seinem Inneren die Bewegung von Ladungsträgern zu ermöglichen. Die Leitfähigkeit ist also: " = 1 # SI-Einheit: [#] = 1/m = S/m Der Leitwert eines homogenen elektrischen Leiters mit einem über seine Länge konstanten Querschnitt lässt sich wie folgt berechnen: G 20 = " 20 # A l = 1 $ 20 # A l Grundlagen Gleichstromkreis III.doc Buch Seite 13 bis 17 Martin Züger

7 NTB Elektrotechnik R Grundlagen Gleichstromkreis IV Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Widerstands-Temperatur-Kennlinie eines metallenen Leiters für nicht allzu grosse Temperaturdifferenzen: R 2 R 1 R 2 = " # $ 2 R 1 " 1 # $ " " 1 " 2 " Ein elektrischer Widerstand ist grundsätzlich temperaturabhängig. So nimmt z.b. bei metallischen Leitern der Widerstandswert bei steigender Temperatur zu. Bei Halbleitern (wie z.b. Silizium oder Germanium) hingegen nimmt der Widerstandswert bei steigender Temperatur ab. Allgemein gilt: R 2 = R 1 " [1+ # 1 ($ 2 %$ 1 )] SI-Einheiten: [" ] = 1K oder 1 C Hierin bezeichnet man 1 als Widerstands-Temperaturkoeffizient. Er ist abhängig von der Ausgangstemperatur " 1 : " 1 = 1 # 1 $ % = R 2 $ R 1 R 1 & (# 2 $# 1 ) SI-Einheiten: [ 1 ] = 1K -1 = 1 C -1 ; ["] = 1K; [" ] = 1K Wobei der Temperaturkennwert " eine Materialkonstante darstellt und z.b. für Kupfer 38K beträgt. Widerstandstypen Temperaturkoeffizient 1 Leitertyp Abk. Stoffe Positiver Temp.koeffizient 1 > 0 Kaltleiter PTC Metalle Negativer Temp.koeffizient 1 < 0 Heissleiter NTC Temp. Koeffizient ungefähr Spezial Leiter Die meisten Halbleiter und Elektrolyte Spezielle Legierungen: z.b. Konstantan oder Manganin Leiter, bei welchen der Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen (in der Nähe des absoluten Nullpunkts) sprunghaft auf unmessbar kleine Werte abfällt, bezeichnet man als Supraleiter. Grundlagen Gleichstromkreis IV.doc Buch Seite 18 bis 20 Martin Züger

8 NTB Elektrotechnik Grundlagen Gleichstromkreis V Elektrische Arbeit / Energie Wird eine Ladung in einem elektrischen Feld bewegt, so wird elektrische Arbeit verrichtet: Elektrische Leistung W 1,2 = U 1,2 " Q = U 1,2 " I " t SI-Einheiten: [W] = 1Ws = 1Nm = 1VAs = 1J Die in einer Zeiteinheit gelieferte (übertragene) Energie bezeichnet man als Leistung: P = W t = U " I SI-Einheiten: [P] = 1W = 1Nm/s = 1J/s = 1VA Als Nennleistung wird z.b. bei einem elektrischen Motor die Leistung bezeichnet, welche permanent an der Motorenwelle abgenommen werden kann. Sie wird mit P N angegeben. Wirkungsgrad Der Wirkungsgrad ist allgemein das Verhältnis von Nutzen zu Aufwand. Er wird verwendet, um die Effizienz von Energiewandlungen beispielsweise von Wärme in mechanische Energie aber auch für Energieübertragungen zu beschreiben. Der Wirkungsgrad wird mit (Eta) bezeichnet und hat einen Wert zwischen 0 und kleiner 1 oder in Prozent ausgedrückt, zwischen 0 und weniger als 100. W Nutz " = P ab P zu = W Aufwand SI-Einheit: besitzt keine Einheit, Angaben erfolgen als Zahlenwert oder in Prozent Der Gesamtwirkungsgrad ist das Produkt der einzelnen Wirkungsgrade: " Ges. = " 1 # " 2 #...#" n Grundlagen Gleichstromkreis V.doc Buch Seite 21 bis 24 Martin Züger

9 NTB Elektrotechnik Grundlagen Gleichstromkreis VI Bezugssinn und Pfeilsysteme In elektrischen Schaltungen werden Spannungs- und Stromrichtungen allgemein durch Pfeile gekennzeichnet. U 1 I U I U I U 2 Erzeuger-Pfeilsystem Verbraucher-Pfeilsystem Der Spannungspfeil zeigt dabei üblicherweise vom höheren zum tieferen Potential. Der Strompfeil gibt die Richtung des fliessenden Stromes an. Liegt nun jedoch eine Schaltung wie oben gezeichnet vor, so hängt die Richtung (der Richtungssinn) des auftretenden Stromes von der Höhe der Spannung U 1 und U 2 ab. In diesem Fall kann man für den Strom I willkürlich eine Richtung vorgeben und bezeichnet diese dann als Bezugssinn. Fliesst der Strom tatsächlich in der vorgegebenen Richtung, so hat I einen positiven Wert. Andernfalls ist I negativ. Entsprechend kann man auch für Spannungen Bezugspfeile vorgeben. In der rechten Seite der oben gezeichneten Schaltung haben die Bezugspfeile für U und I die gleiche Richtung, man bezeichnet diese Pfeilordnung als Verbraucher-Pfeilsystem. Bei der linken Seite zeigen die Bezugspfeile für U und I einander entgegen, man spricht vom Erzeuger-Pfeilsystem. Grundlagen Gleichstromkreis VI.doc Buch Seite 24 und 25 Martin Züger

10 NTB Elektrotechnik Grundlagen Gleichstromkreis VII Kirchhoff sche Gesetze Erstes Kirchhoff sches Gesetz: Knotensatz Die Summe der zufließenden Ströme in einem elektrischen Knotenpunkt ist gleich der Summe der abfließenden Ströme. Versieht man zufließende Ströme mit anderem Vorzeichen als abfließende Ströme, lässt sich allgemein sagen: Die Summe aller Ströme in einem Knotenpunkt ist Null. In Netzwerken mit reinen Gleichströmen kann vereinfachend für einen Knoten mit n Strömen gesagt werden: n " I k = 0 k=1 Der erste Kirchhoff gilt jedoch nicht nur für einfache Knoten, sonder auch wenn man z.b. bei einer komplexeren Schaltung einen Teil abdeckt (mit einer Hüllfläche versieht) und diese Fläche als Knoten betrachtet. Zweites Kirchhoff sches Gesetz: Maschensatz Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu Null. In einem Umlauf mit n Teilspannungen eines elektrischen Gleichstromnetzes gilt folgende Formel: n " k=1 U k = 0 Beispiel: "U q + I # R i + U = 0 Grundlagen Gleichstromkreis VII.doc Buch Seite 25 bis 28 Martin Züger

11 NTB Elektrotechnik Grundlagen Gleichstromkreis VIII Ideale elektrische Quellen Die idealen elektrischen Quellen sind rein theoretische Bauteile und werden ausschliesslich für Ersatzschaltbilder verwendet. Eine ideale Spannungsquelle hat keinen Innenwiderstand und liefert somit unabhängig von der angeschlossenen Last eine konstante Spannung. Eine ideale Stromquelle hat hingegen einen unendlich hohen Innenwiderstand und liefert unabhängig von der angeschlossenen Last einen konstanten Strom. Ideale Spannungsquelle Ideale Stromquelle U q U I q U U = Klemmenspannung U q = Quellenspannung Bei der idealen Spannungsquelle entspricht die Quellenspannung immer der Klemmenspannung (also: U q = U). Der Klemmenstrom I ergibt sich aus der angehängten Last. Kennlinie: U I = Klemmenstrom I q = Quellenstrom Bei der idealen Stromquelle entspricht der Quellenstrom immer dem Klemmenstrom (also: I q = I). Die Klemmenspannung U ergibt sich aus der angehängten Last. Kennlinie: U I q U q Eigenschaften: Besitzt keinen Innenwiderstand: R i = 0 I Eigenschaften: Der Innenwiderstand ist unendlich: R i = I Grundlagen Gleichstromkreis VIII.doc Buch Seite 28 bis 30 Martin Züger

12 NTB Elektrotechnik Lineare elektrische Quellen Bei einer linearen elektrischen Quelle hängen die an den Klemmen abgegebene Spannung U und der Strom I von der angehängten Last ab. Eine lineare Spannungs- bzw. Stromquelle weist folgende Kennlinie auf: U I 1. Ersatzschaltung (lineare Spannunsq.) 2. Ersatzschaltung (lineare Stromquelle) I K = I q = U q R i = U 0 R i " Leerlauf: Kurzschluss: I = 0 und U = U 0 = U q U = 0 und I = I K = U q/r i Klemmenspannung U: U = U q " R i # I Leerlauf: I = 0 und U = U 0 = I q/ G i Kurzschluss: U = 0 und I = I K = I q Klemmenstrom I: I = I q "U # G i Folgende Aussagen gelten sowohl für eine lineare Spannungsquelle, als auch für eine lineare Stromquelle. Innenwiderstand R i : Quellenstrom I q : R i = U q = "U I q "I = 1 G i Quellenspannung U q : I q = U q R i U q = R i " I q Grundlagen Gleichstromkreis VIII.doc Buch Seite 28 bis 30 Martin Züger

13 NTB Elektrotechnik Berechnungen Gleichstromkreis I Reihenschaltung (Serieschaltung) Gesamtwiderstand: Spannungsteilerregel: Bei in Serie geschalteten ohmschen Widerständen gilt im Allgemeinen, dass der Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände ist: R = n " k=1 R k Weiter gilt bei der Serieschaltung, dass sich die über den Einzelwiderständen abfallenden Spannungen proportional sind zu den entsprechenden Einzelwiderständen: Parallelschaltung Gesamtwiderstand: Stromteilerregel: U 1 U 2 = R 1 R 2 bzw. = R 1 P 2 U 3 U = R 3 R Mit den Einzelleistungen ausgedrückt: P 1 R bzw. 2 P 3 P = R 3 R Bei parallel geschalteten ohmschen Widerständen gilt im Allgemeinen, dass der Gesamtleitwert gleich der Summe der Einzelleitwerte ist: G = n " G k bzw. k=1 R = n " 1 1 k=1 R k Die Ströme, welche in einer Parallelschaltung durch die Einzelwiderstände fliessen sind indirekt proportional zu den Einzelwiderständen: I 1 I 2 = R 2 R 1 bzw. I 3 I = R R 3 Mit den Einzelleistungen ausgedrückt: P 1 = R 2 P 2 R 1 bzw. P 3 P = R R 3 Berechnungen Gleichstromkreis I.doc Buch Seite 31 bis 34 Martin Züger

14 NTB Elektrotechnik Berechnungen Gleichstromkreis II Dreieck/Stern-Umrechnung Bei der Berechnung des Gesamtwiderstandes einer Widerstandsanordnung ist es in der Regel möglich, schrittweise Reihen- und Parallelschaltungen zu jeweils einem Widerstand zusammenzufassen. Bei einigen Schaltungen, wie z.b. Folgende ist dies jedoch nicht möglich: Um solche Probleme lösen zu können muss man eine Stern-Dreieck-Umwandlung oder eine Dreieck-Stern-Umwandlung vornehmen. Darstellung einer Dreieck- bzw. Sternschaltung Stern Dreieck Dreieck Stern R 12 = R 1 + R 2 + R 1 " R 2 R 3 R 1 = R 12 " R 31 R 12 + R 23 + R 31 R 23 = R 2 + R 3 + R 2 " R 3 R 1 R 31 = R 3 + R 1 + R 3 " R 1 R 2 R " = 3# R * Bei symmetrischer Schaltung: R 2 = R 3 = R 23 " R 12 R 12 + R 23 + R 31 R 31 " R 23 R 12 + R 23 + R 31 Bei symmetrischer Schaltung: R * = R " 3 Berechnungen Gleichstromkreis II.doc Buch Seite 35 bis 38 Martin Züger

15 NTB Elektrotechnik Berechnungen Gleichstromkreis III Netzwerkberechnung Durch Anwendung der Kirchhoff schen Sätze lassen sich beinahe beliebig grosse Netzwerke berechen. Dabei sind jedoch ein paar Regeln zu beachten: In einem beliebigen elektrischen Netzwerk mit k Knoten kann man stets (k 1) voneinander unabhängige Knotengleichungen aufstellen. In einem beliebigen elektrischen Netzwerk mit m Maschen lassen sich m voneinander unabhängige Maschengleichungen (bzw. Umlaufgleichungen) aufstellen. Um bei komplexen Netzwerken nicht die Übersicht zu verlieren zeichnet man am besten als erstes einen vollständigen Baum ein. Darunter versteht man einen Linienzug, durch den sämtliche Knoten des Netzwerkes verbunden werden, ohne dass geschlossene Schleifen entstehen. Die Zweige des vollständigen Baumes nennt man Baumzweige, die im übrigen Netzwerk vorhandenen Zweige heissen Verbindungszweige. Die in den Verbindungszweigen fliessenden Ströme fasst man als Maschenströme (Umlaufströme) auf und achten, dabei ist jedoch zu achten, dass jeder so gewählte Umlaufstrom keine weiteren Verbindungszweige durchfliesst. Anschliessend können die Maschengleichungen aufgestellt werden. Ebenso die Knotengleichungen. Insgesamt werden so viele Gleichungen benötigt, wie unbekannte vorhanden sind Aus diesen Gleichungen kann man dann ein Gleichungssystem aufstellen, welches mit einem Taschenrechner oder mit Matlab einfach gelöst werden kann. Berechnungen Gleichstromkreis III.doc Buch Seite 38 bis 52 Martin Züger

16 NTB Elektrotechnik Berechnungen Gleichstromkreis IV Überlagerungssatz Neben der Berechnung eines Netzwerkes durch aufstellen von Maschen- und Knotengleichungen und dem anschliessenden Lösen des Gleichungssystems gibt es noch andere Möglichkeiten die Spannungen und Ströme in einem Netzwerk auszurechen, so z.b. mit dem Überlagerungssatz. Sind in einem linearen Netzwerk mehrere unabhängige Quellen vorhanden, so lässt sich vielfach die Berechnung der Spannungen und Ströme dadurch vereinfachen, dass die Quellen einzeln berücksichtigt werden. In einem linearen Netzwerk kann jeder Strom und jede Spannung als Summe von Teilströmen bzw. Teilspannungen angegeben werden. Dabei stellt jeder Summand den Betrag jeweils einer unabhängigen Quelle zum Gesamtwert dar. Für die Berechnung eines Teilstromes bzw. einer Teilspannung ist jeweils nur eine Quelle aktiv. Die übrigen unabhängigen Quellen werden unwirksam gemacht: eine ideale Spannungsquelle wird durch einen Kurzschluss, eine ideale Stromquelle durch eine Unterbrechung ersetzt. Gesteuerte Quellen dürfen nicht unwirksam gemacht werden, sondern müssen stets im Netz bleiben. Siehe Beispiel-Aufgabe 2.13 im Buch auf Seite 61 & 62. Berechnungen Gleichstromkreis IV.doc Buch Seite 60 bis 63 Martin Züger

17 NTB Elektrotechnik Berechnungen Gleichstromkreis V Ersatzspannungsquelle Jede beliebige elektrische Schaltung, die an nur zwei Punkten elektrisch zugänglich ist, oder von nur zwei Punkten aus betrachtet wird, wird als Zweipol bezeichnet. Enthält eine solche Anordnung keine Spannungs- oder Stromquellen, so spricht man von einem passiven, andernfalls von einem aktiven Zweipol. Ein passiver Zweipol stellt also eine beliebige Anordnung von Widerständen dar. Fasst man sie zusammen, so erhält man den Ersatzwiderstand des Zweipols. So wie jeder passive Zweipol durch einen Ersatzwiderstand dargestellt werden kann, lässt sich jeder aktive Zweipol durch eine aus Spannungsquelle und einem Widerstand bestehende Reihenschaltung nachbilden, die als Ersatzspannungsquelle bezeichnet wird. Vorgehen beim Berechnen einer Ersatzspannungsquelle: Als erstes Rechnen wir den Ersatzwiderstand aus. Dazu lösen wir sämtliche Strom und Spannungsquellen aus der Schaltung (Spannungsquellen werden kurzgeschlossen, Stromquellen durch einen Unterbruch ersetzt). Anschliessend wird von den zwei Polen aus gesehen der Gesamtwiderstand berechnet. Beispiel: Rie = ((R3 R4 ) + R1 ) R2 Anschliessend werden die Quellen wieder eingesetzt und die Leerlaufspannung U0 (in der Beispielschaltung die Spannung UAB) berechnet. Sie entspricht gerade der Ersatzquellenspannung Uqe. Berechnungen Gleichstromkreis V.doc Buch Seite 65 bis 70 Martin Züger