2 Gleichstromtechnik. 2.1 Der unverzweigte Stromkreis Der Grundstromkreis

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1 27 2 Gleichstromtechnik 2.1 Der unverzweigte Stromkreis Der Grundstromkreis Ein unverzweigter Stromkreis ist die geschlossene Hintereinanderschaltung verschiedener Schaltelemente: Spannungsquellen, Widerstände in Form von elektrischen Verbrauchern, Leitungen usw. Die praktisch vorkommenden Stromkreise bestehen aus räumlich angeordneten und mehr oder weniger kontinuierlich verteilten Widerständen. Diese werden in Schaltbildern konzentriert angenommen, d. h., die Verbindungen zwischen den Spannungsquellen und Widerständen sind widerstandsfrei. Die in den Spannungsquellen kontinuierlich verteilten Widerstandsanteile werden ebenfalls konzentriert gedacht und zum Innenwiderstand der Spannungsquelle zusammengefasst. Die Spannungsquelle wird ebenfalls idealisiert, d. h. widerstandslos, angenommen. Die Ersatzschaltung einer Spannungsquelle besteht also aus der Reihenschaltung der Quellspannung U q und dem Innenwiderstand R i. Wird die Spannung auf Grund einer Energieumwandlung in einer Spannungsquelle durch die Bezeichnung EMK E von den Spannungen U in stromdurchflossenen Widerständen unterschieden, dann besteht die Ersatzschaltung aus der Reihenschaltung EMK E und dem Innenwiderstand R i. Jeder unverzweigte Stromkreis lässt sich zum bereits erwähnten Grundstromkreis zusammenfassen. Er besteht aus dem aktiven Zweipol der Spannungsquelle (U q und R i bzw. E und R i ) und dem passiven Zweipol des Verbrauchers (R a ). Dadurch lassen sich komplizierte Netzwerke einfach behandeln (siehe Abschnitt 2.3.3: Zweipoltheorie). Im Allgemeinen besteht die Aufgabe darin, bei bekannten Spannungsquellen und Widerständen die Ströme zu berechnen. Wie schon erwähnt, werden für Spannungsquellen heute nur noch Quellspannungen verwendet. Um Rechenbeispiele älterer Literatur [5], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15] verstehen zu können wo mit der EMK E gerechnet wird, werden im Folgenden der Grundstromkreis, die Reihenschaltung von Spannungsquellen, die Maschenregel, die Ersatzspannungsquelle, die Ersatzstromquelle und die Netzberechnungsverfahren sowohl mit der Quellspannung U q als auch mit der EMK E behandelt. Die unterschiedlichen Energieansätze (Abschnitt 1.6) sind Ausgangspunkt der beiden Betrachtungsweisen: Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure 1, DOI / _2

2 28 2 Gleichstromtechnik Nach den Energieansätzen des Abschnitts 1.6 ergibt sich für den Grundstromkreis: Bild 2.1 Grundstromkreis mit Quellspannung U q Bild 2.2 Grundstromkreis mit EMK E Die Summe der drei vorzeichenbehafteten Energien ist Null: Die erzeugte Energie ist gleich der beiden abgegebenen Energien: 3 W i 0 (2.1) i W erzi W abgi i 1 i 1 (2.2) W 1 + W 2 + W 3 = 0 Q U q + Q U + Q U i = 0 (2.3) U q + U + U i = 0 U q = U + U i (2.5) W erz1 = W abg1 + W abg2 Q E = Q U + Q U i (2.4) E = U + U i (2.6) Beim Aufstellen der Spannungsgleichung wird der unverzweigte Stromkreis nur einmal umfahren, und zwar in Richtung des Stroms I: die Quellspannung U q liegt entgegengesetzt zur Umlaufrichtung, wird also negativ berücksichtigt, die Spannungen U und U i liegen in Umlaufrichtung, gehen also positiv ein. Wird für die Spannungsquelle die EMK E verwendet, dann muss der unverzweigte Stromkreis zweimal in gleicher Richtung umlaufen werden: beim ersten Umlauf wird die EMK E, beim zweiten Umlauf werden die Spannungen U i und U erfasst. Sowohl E als auch U i und U liegen im Umlauf des Stroms I, gehen also positiv in die Spannungsgleichung ein.

3 2.1 Der unverzweigte Stromkreis 29 Beim normalen Betriebsfall wird die Spannungsquelle mit einem beliebigen Widerstand R a mit 0 < R a < belastet, wodurch sich ein Strom I einstellt: U q = I R a + I R i (2.7) U q = I (R a + R i ) I (2.9) Ra Ri E = I R a + I R i (2.8) E = I (R a + R i ) E I (2.10) R a R i Drei charakteristische Betriebszustände werden im Grundstromkreis unterschieden: Kurzschluss: R a = 0 Bei einer Klemmenspannung U = 0 fließt ein Kurzschlussstrom Ik (2.11) Ri E Ik (2.12) Ri Leerlauf: R a = Bei verschwindendem Strom I = 0 ist die Klemmenspannung gleich der Leerlaufspannung U l = U q (2.13) U l = E (2.14) Anpassung: R a = R i Ist der Außenwiderstand gleich dem Innenwiderstand, dann ist der Strom gleich der Hälfte des Kurzschlussstroms und die Klemmenspannung gleich der Hälfte der Leerlaufspannung I 2 Ri 1 I I k (2.15) 2 U = U q U i mit U i = U weil I R i = I R a U = U q U 2U = U q U 1 2 U l (2.17) E I 2 R i 1 I I k (2.16) 2 U = E U i mit U i = U weil I R i = I R a U = E U 2U = E U 1 2 U l (2.18) Auf den Anpassungsfall wird im Abschnitt genauer eingegangen.

4 30 2 Gleichstromtechnik Kennlinien des Grundstromkreises: U + U i = U q U + I R i = U q U I R i 1 U I 1 / Ri U I 1 (2.19) U l I k Kennlinie des aktiven Zweipols U + U i = E U + I R i = E U I R i 1 E E U E I 1 E / Ri U I 1 (2.20) U l I k Das ist die Gleichung einer Achsen-Abschnittsgeraden mit den Achsen-Abschnitten Kurzschlussstrom I k und Leerlaufspannung U l : Bild 2.3 Kennlinie des aktiven Zweipols des Grundstromkreises Kennlinie des passiven Zweipols Im Abschnitt 1.5 wurde die Kennlinie des ohmschen Widerstandes behandelt: U = R a I (2.21) I 1 U (2.22) R a Bild 2.4 Kennlinie des passiven Zweipols des Grundstromkreises

5 2.1 Der unverzweigte Stromkreis 31 Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols Werden aktiver und passiver Zweipol zusammengeschaltet, dann stellt sich nur ein Strom I und nur eine Klemmenspannung U ein. Diese Größen ergeben sich durch Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols, indem im Schnittpunkt (genannt Arbeitspunkt) die Größen abgelesen werden. Bild 2.5 Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols des Grundstromkreises Aus den überlagerten Kennlinien lassen sich die Spannungen am Außenwiderstand und Innenwiderstand abgreifen. Praktische Anwendung: Um den Gleichstrom-Arbeitspunkt bei Transistoren und Röhren zu erhalten, werden die nichtlinearen Kennlinien als Kennlinien des passiven Zweipols mit der Kennlinie des aktiven Zweipols gebildet aus der Versorgungsspannung (entspricht der Leerlaufspannung U l ) und dem Arbeitswiderstand (entspricht dem Innenwiderstand R i ) überlagert Zählpfeilsysteme Für Netzberechnungen ist es notwendig, einheitliche Richtungen für Ströme und Spannungen durch Zählpfeile festzulegen, damit eindeutige Ergebnisse erzielt werden. Sie stimmen mit den im Abschnitt 1.3 bereits vereinbarten Richtungsdefinitionen überein. Spannungszählpfeile: Spannungen zeigen von der positiven zur negativen Klemme, EMK E von der negativen zur positiven Klemme. Das Symbol der Spannungsquelle mit Querstrichen wird in der älteren Literatur verwendet. Bild 2.6 Festlegung der Spannungszählpfeile

6 32 2 Gleichstromtechnik Stromzählpfeile: Vereinbarungsgemäß wird der Stromzählpfeil in Richtung des positiv definierten Stroms (Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger) im Schaltbild eingetragen. Bild 2.7 Festlegung des Stromzählpfeils Bei einer Netzberechnung werden die Zählpfeile grundsätzlich zu Beginn der Berechnung in das Schaltbild eingezeichnet. Sind die Richtungen von Strömen und Spannungen in Schaltelementen nicht voraussehbar, werden Richtungen angenommen. Das Rechenergebnis zeigt, ob die Annahme richtig war. Richtig vorausgesagte Größen ergeben positive, falsch angenommene Größen negative Zahlen. Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS-System) werden die im Verbraucher (Widerstand) definierten Strom- und Spannungsrichtungen zugrunde gelegt: Zur Ermittlung der Spannungsgleichung in einem unverzweigten Stromkreis wird der Umlauf in Richtung des Stromzählpfeils festgelegt. Dann gehen die Spannungen an Widerständen positiv in die Spannungsgleichung ein, weil Strom und Spannung in gleicher Richtung liegen. Die Spannungen an Spannungsquellen werden negativ berücksichtigt, weil Strom und Spannung entgegengesetzt gerichtet sind. Beispiel: Grundstromkreis U q + U + U i = 0 Die in einem ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzte Leistung ist dann positiv und die durch die Spannungsquelle zugeführte Leistung negativ: U q I + I 2 (R a + R i ) = 0. (2.23) Für verzweigte Stromkreise wird obige Regel entsprechend für Maschen angewendet (siehe Abschnitt 2.2). Grundsätzlich wird bei allen Netzberechnungen im Verbraucherzählpfeilsystem gerechnet. Um Verwechslungen im Vorzeichen zu vermeiden, wird auf das Erzeugerzählpfeilsystem, das die Spannungs- und Stromrichtungen der Spannungsquelle zugrundelegt, nicht eingegangen.

7 2.1 Der unverzweigte Stromkreis Die Reihenschaltung von Widerständen In einem unverzweigten Stromkreis mit einer Spannungsquelle und n in Reihe, d. h. hintereinander, geschalteten äußeren Widerständen R v mit v = 1, 2,..., n ist an jeder Stelle des Kreises die Menge der pro Zeit fließenden Ladungen die Stromstärke I gleich. An den verschieden großen Widerständen R v müssen die Spannungsabfälle U v jeweils entsprechend groß sein, um den gleichen Strom I zu gewährleisten: ohmscher Widerstand R 1 R 2 R n Spannungsabfall U 1 = I R 1 U 2 = I R 2 U n = I R n Bild 2.8 Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n in Reihe geschalteten ohmschen Widerständen Die Klemmenspannung U ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle U v an den Widerständen R v : U = U 1 + U U n (2.24) U = I R 1 + I R I R n (2.25) U = I (R 1 + R R n ) (2.26) oder in Kurzform U = n n Uv I Rv. (2.27) v 1 v 1 Die n in Reihe geschalteten Widerstände lassen sich zu einem Ersatzwiderstand, dem Gesamtwiderstand R a, zusammenfassen: Mit U = I (R 1 + R R n ) = I R a (2.28) ergibt sich für den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung n R a R v, (2.29) v 1 n in Reihe geschaltete Widerstände können zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst werden, dessen Widerstandswert gleich der Summe der Einzelwiderstandswerte ist.

8 34 2 Gleichstromtechnik Die n Widerstände lassen sich jeweils durch n Leitwerte angeben, so dass sich mit 1 R v = mit v = 1, 2,..., n (2.30) G v für den Gesamtleitwert G a der Reihenschaltung mit R a = 1/G a schreiben lässt: (2.31) Ga G1 G2 Gn oder in Kurzform n 1 1 = G a. (2.32) G v v Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen Ein unbelasteter Spannungsteiler besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen R 1 und R 2, die entweder räumlich getrennt sind oder aus einem Gesamtwiderstand mit einem Abgriff bestehen. Die Ausführung eines unbelasteten Spannungsteilers mit einem veränderlichem Abgriff, Schleifer genannt, heißt Potentiometer. Die Teilwiderstände werden damit variabel. Bild 2.9 Ausführungen unbelasteter Spannungsteiler Wird an den Spannungsteiler eine Spannung U angelegt, dann sind die beiden Widerstände vom gleichen Strom durchflossen, wenn durch den Abgriff kein Strom fließt. Der Spannungsteiler ist dann unbelastet, der belastete Spannungsteiler wird im Abschnitt behandelt. Die anliegende Spannung U wird entsprechend der Größe der Widerstände aufgeteilt: U = U 1 + U 2 = I R 1 + I R 2 = I R. (2.33) Mit den Proportionen U1 I R 1 und U2 I R2 ergibt sich die Spannungsteilerregel: U1 I R1 I R 1 U I R1 R2 I R U1 R1 U (2.34) und 1 R R 1 1 ; (2.35) U2 R2 U R1 R2 R die Spannungen über zwei vom gleichen Strom durchflossenen Widerstände verhalten sich wie die zugehörigen Widerstandswerte.

9 2.1 Der unverzweigte Stromkreis 35 Eine Anwendung der Spannungsteilerregel ist die Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers zum Messen höherer Spannungen, für die der Spannungsmesser nicht ausreicht. Die zu messende Spannung U wird durch die Reihenschaltung eines Vorwiderstandes R v und des Widerstandes R 0 des Messinstrumentes geteilt. Dadurch braucht das Messinstrument nur die Teilspannung U 0 anzuzeigen. Bild 2.10 Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers Wird der Messbereich um das p-fache erweitert, d. h., kann die zu messende Spannung U das p-fache der am Messinstrument anliegenden Spannung U 0 betragen, dann ergibt sich aus U R0 R v R p 1 v (2.36) U0 R0 R0 die Größe des notwendigen Vorwiderstandes: R v = (p 1) R 0. (2.37) Die Reihenschaltung von Spannungsquellen Werden n Spannungsquellen in Reihe geschaltet, dann lassen sich die Spannungen U qv bzw. E v und die Innenwiderstände R iv der n Spannungsquellen zu einer Ersatzspannungsquelle mit der Ersatz-Quellspannung U q ers bzw. Ersatz-EMK E ers mit einem Ersatz-Innenwiderstand R i ers mit v = 1, 2,..., n zusammenfassen. Die Ersatzgrößen werden nach dem Verbraucherzählpfeilsystem (Abschnitt 2.1.2) ermittelt: Die Ersatz-Quellspannung U q ers bzw. die Ersatz-EMK E ers berücksichtigt alle U qv bzw. E v, die in gleicher Richtung wirken, positiv und die entgegengesetzt wirken, negativ. Der Ersatz-Innenwiderstand R i ers ist gleich der Summe aller Innenwiderstände R iv.

10 36 2 Gleichstromtechnik Beispiel: n = 4 Behandlung mit Quellspannungen: Bild 2.11 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt mit Quellspannungen I R i4 U q4 + I R i3 + U q3 + I R i2 U q2 + I R i1 U q1 + U = 0 I R i ers U q ers + U = 0 d. h. U q ers = U q1 + U q2 U q3 + U q4 und R i ers = R i1 + R i2 + R i3 + R i4 oder Behandlung mit EMK: Bild 2.12 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt mit EMK E 1 + E 2 E 3 + E 4 = I ( R i1 + R i2 + R i3 + R i4 ) + U E ers = I R i ers + U d. h. E ers = E 1 + E 2 E 3 + E 4 und R i ers = R i1 + R i2 + R i3 + R i4