Ein- und Ausschaltvorgang am Kondensator ******

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1 6.2.3 ****** Motivation Bei diesem Versuch werden Ein- und Ausschaltvorgänge an RC-Schaltkreisen am PC vorgeführt. 2 Experiment Abbildung : Versuchsaufbau zum Eine variable Kapazität (C = (0 bis 82) nf) wird periodisch über einen variablen Widerstand (R = (3 bis 25) kω) geladen und wieder entladen. Der exponentielle Verlauf der Spannung U am Kondensator und des Stroms I wird am PC gezeigt, wobei der Spannungsabfall U R = IR am Widerstand das Signal für den Strom ergibt (Versuchsaufbau siehe Abb., Signale siehe Abb. 2). Durch Veränderung der Kapazität bzw. des Widerstands kann man den Einfluss von R und C auf die Zeitkonstante τ = RC vorführen. Die Schaltung ist in Abb. 3 wiedergegeben.

2 Laden Entladen Laden Entladen Abbildung 2: Strom und Spannung beim Laden und Entladen eines Kondensators 3 Theorie 3. Die Kirchhoffschen Gesetze Häufig müssen in einem komplizierteren Netzwerk die Ströme, Spannungen, Leistungen berechnet werden. Dazu werden die Kirchhoffschen Gesetze verwendet: A) Die Summe aller Ströme eines Stromknotens ist 0: n I i = 0 () i= Hierbei werden zufliessende Ströme positiv und abfliessende Ströme negativ gerechnet (Ladungserhaltung). B) In einem geschlossenen Kreis ist die Summe der an den einzelnen Elementen liegenden Spannungen gleich gross wie die Summe der Batteriespannungen. Bei komplizierteren Problemen liefert das folgende Verfahren ein Minimum an Gleichungen (und damit an Rechenarbeit!): 2

3 U R = IR + 2 S R C U C I Abbildung 3: RC-Schaltkreis. Der Schalter S bewirkt in Stellung das Laden und in Stellung 2 das Entladen des Kondensators. a) Man führe als Unbekannte die Spannungen U i bezüglich eines Fixpunktes ( = Spannungen gegen Erde) in den Knoten ein. b) Man schreibe die Stromerhaltung für die Netzwerkknoten auf, wobei die Ströme durch die unbekannten Spannungen und die Widerstandswerte auszudrücken sind. c) Die Lösung dieses (linearen!) Gleichungssystems liefert die Unbekannten U i. Aus diesen können alle andern Grössen leicht berechnet werden. Für n Widerstände R i, i =,..., n) in Serie gilt für den resultierenden Gesamtwiderstand R: R = n R i (2) i= Bei Parallelschaltung dieser Widerstände gilt dagegen: R = n i= R i (3) 3.2 Lade und Entladevorgang beim RC-Kreis Wir untersuchen den Lade und den Entladevorgang für den RC-Kreis. a) Ladevorgang: Nach Kirchhoff gilt (siehe Abb. 3) U 0 = U R + U C = IR + Q C (4) 3

4 Beim Aufladen des Kondensators ist Q = I (5) U 0 = R Q + Q C (6) dt = U 0 R Q RC Mit dem Ladestrom I 0 := U 0 /R zu Beginn des Aufladens und der Zeitkonstanten τ = RC erhalten wir schliesslich die Differentialgleichung (7) dt = I 0 Q τ (8) Die Separation der Variablen ergibt = dt Q τi 0 τ (9) ln(q τi 0 ) = t τ + c (0) Q = τi 0 + c 2 e t/τ () Für t = 0 ist Q = 0. Daraus folgt die Integrationskonstante c 2 e c und die Ladung Q = Q(t): 0 = τi 0 + c 2 (2) c 2 = τi 0 (3) Q = τi 0 ( e t/τ ) (4) Der Ladestrom ergibt sich damit zu I = Q = I 0 e t/τ (5) Die Spannung am Kondensator ist gegeben durch U = Q C = τi 0 C ( e t/τ ) = U 0 ( e t/τ ) (6) Der Verlauf von U und I in Funktion der Zeit ist für τ = 800 ms in Abb. 4 zu sehen. b) Entladevorgang: Nach Kirchhoff gilt (siehe Abb. 2) 0 = U R + U C = IR + Q C (7) Beim Entladen des Kondensators ist die Spannungsquelle abgetrennt, und es ist 4

5 Q = I (8) 0 = R Q + Q C (9) Damit erhalten wir schliesslich die Differentialgleichung dt = Q τ (20) Die Separation der Variablen ergibt in diesem Fall Q = dt τ (2) ln Q = t τ + c (22) Q = c 2 e t/τ (23) Für t = 0 ist Q = CU 0. Daraus folgt die Integrationskonstante c 2 e c und die Ladung Q = Q(t): Der Strom ergibt sich damit zu Die Spannung am Kondensator ist gegeben durch CU 0 = c 2 (24) Q = CU 0 e t/τ = τi 0 e t/τ (25) I = Q = I 0 e t/τ (26) U = Q C = U 0 e t/τ (27) Der Verlauf von U und I in Funktion der Zeit ist für τ = 800 ms in Abb. 4 zu sehen. 5

6 ,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 U/U 0 = e t/τ Laden I/I 0 = e t/τ t/s,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 U/U 0 = e t/τ -0,2-0,4-0,6 I/I 0 = e t/τ Entladen -0,8 -, t/s Abbildung 4: Strom- und Spannungsverlauf beim Laden (oberes Bild) und Entladen (unteres Bild) eines Kondensators (τ RC = 0,8 s). 6