Physikalische Anwendungen Elektrotechnik

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1 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik Zum Mathematik-Lehrbuch Notwendig und zunächst hinreichend (Shaker Verlag, Aachen) gibt es mehrere PDF-Dokumente mit ergänzenden Beispielen und Aufgaben, die die Anwendung der mathematischen Grundlagen in ingenieurrelevanten Bereichen zeigen. Im vorliegenden Dokument finden Sie eine Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus dem Bereich der Elektrotechnik: Elektrisches Feld KIRCHHOFFsche Sätze, OHMsches Gesetz Spannungsmessung Reihen- und Parallelschaltung WHEATSTONEsche Brückenschaltung Elektrische Leistung Kondensator Kondensatorladung Ladung im Magnetfeld Leiter im Magnetfeld 2009 S. Kessel, D. Fröhling v.0

2 2 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik Die elektrische Elementarladung e =, Ampere Sekunde ist eine Naturkonstante. Jede positive oder negative Ladung Q ± ist ein ganzzahliges Vielfaches dieser Elementarladung: Q ± =±N e Um eine punktförmige Ladung Q + im Vakuum existiert ein kugelsymmetrisches elektrisches Feld E = 4πε 0 Q + r 2 er wobei e r der radiale Einheitsvektor in dem Kugelkoordinatensystem ist, dessen Zentrum sich am Ort der Ladung Q + befindet. ist die elektrische Feldkonstante. ε 0 = 8, Ampere Sekunde Volt Meter Bringt man eine positive punktförmige Probeladung q + in den Punkt P, so wirkt auf diese Probeladung die abstoßende Kraft Das ist das COULOMBsche Gesetz. F = q + E = 4πε 0 q + Q + r 2 er

3 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 3 Soll die Probeladung q + zur Feldquelle Q + hin radial ( r g r k < r g ) verschoben werden, so ist dabei die Arbeit W = r k dr = q + Q r + k dr = q + Q + r g F 4πε 0 r 2 r g r=r k 4πε 0 r = q + Q + + 4πε 0 r k r g r=r g erforderlich. Weil r k < r g ist, wird W < 0. Die Probeladung q + hat im Abstand r k von Q + eine größere potentielle Energie E pot als im Abstand r g, weil Arbeit aufzuwenden ist, um die Lageveränderung ( r g r k < r g ) zu erreichen. (Analogie: Masse im Schwerkraftfeld: Heben einer Masse erhöht deren potentielle Energie, weil Arbeit gegen die Schwerkraft geleistet wird) Die potentielle Energie der Probeladung im Feld der Ladung Q + ist also eine Funktion von r E pot (r) = q + Q + 4πε 0 r r g wobei die Wahl des Nullpunktes der potentiellen Energie willkürlich in den Abstand r g gelegt wurde. Als Spannung U zwischen zwei Punkten mit den Abständen r A und r B von der Feldquelle Q + ist definiert Die Maßeinheit der Spannung ist also U = E pot (r a ) E pot (r b ) = Q + q + 4πε 0 r a r b Joule Ampere Sekunde = Watt Sekunde Ampere Sekunde = Watt Ampere =: Volt Die elektrischen Felder von zwei positiven Ladungen Q + und Q 2+ überlagern sich. E = Q + 2πε 2 0 r e r + Q 2+ 2πε 2 0 r 2 e r2

4 4 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik Wird die Ladung Q 2+ durch eine gleich große negative Ladung ersetzt, so ändert sich das elektrische Feld in E = Q + 2πε 2 0 r e r 2πε 0 Q 2 r 2 2 e r2 Der Feldvektor E ist jeweils Tangentenvektor an die Feldlinie am Ort der Probeladung q +.

5 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 5 In einem elektrischen Leiter (z.b. einem Kupferdraht) werden elektrische Ladungen unter der Wirkung eines elektrischen Feldes transportiert. Eine Spannungsquelle (z.b. Batterie) mit einem (+) -Pol und einem ( ) -Pol liefert die erforderliche potentielle Energie für die positiven Ladungsträger im elektrischen Leiter. Die Differenz der potentiellen Energien zwischen den beiden Polen ist die Quellenspannung U Q. Die durch einen Querschnitt des Leiters im Zeitintervall 0 t transportierte positive Ladung ( ) von (+) ( ) definiert die Stromstärke Q(t) = t 0 I(t) dt I(t) = dq(t) dt Die Maßeinheit der Stromstärke ist Ampere ; eine Grundeinheit neben Meter, Sekunde und Kilogramm. Bei der Stromstärke von sind Elementarladungen in Bewegung. Ampere = N,6 0-9 Ampere Sekunde Sekunde N = = 6, ,6 0 Als Stromrichtung ist definiert die Bewegungsrichtung der positiven Ladungen. Wenn mehrere Stromleitungen, in denen die Ladungsströme in unterschiedlichen Richtungen fließen, in einem Knotenpunkt zusammengeführt werden, gilt der KIRCHHOFFsche Knotenpunktsatz: Die Summe aller zu einem Knotenpunkt hinfließenden Ströme ist gleich der Summe der vom Knotenpunkt weg fließenden Ströme (Ladungserhaltung).

6 6 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik I (t) + I 2 (t) + I 3 (t) = zum Knoten hin I 4 (t) + I 5 (t) vom Knoten weg I (t) + I 2 (t) + I 3 (t) zum Knoten hin ( I 4 (t) + I 5 (t) ) vom Knoten weg Fließt der Strom von einer Spannungsquelle durch einen Verbraucher, so beruht die Abnahme der potentiellen Energie auf der Umwandlung elektrischer Energie in eine andere Energie (z.b. Wärme in einem OHMschen Widerstand). In der Spannungsquelle erhalten die Ladungsträger ihre potentielle Energie aus anderen Energien. Die von der Ladung insgesamt abgegebene Energie ist gleich der insgesamt zugeführten Energie. Bei einer Spannungsquelle mit beispielsweise

7 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 7 drei Energieverbrauchern im Stromkreis gilt die Bilanz ( E pot ) zugeführt q + U Q = ( ΔE pot ) abgegeben + + q + q + q + U ( ΔE pot2 ) abgegeben U 2 ( ΔE pot3 ) abgegeben U 3 U Q nennt man die Quellenspannung. In einem Stromkreis mit einer Spannungsquelle und drei Energieverbrauchern gilt also U + U 2 + U 3 U Q Es gilt der 2. KIRCHHOFFsche Satz: Bei Umlauf in einem Stromkreis ist die Summe aller Spannungen null, wenn man die Spannungsabfälle in Stromrichtung (+ ) und die Quellenspannung in Polrichtung (+ ) der Spannungsquelle positiv ansetzt. Bei einem verzweigten Stromkreis mit Verbrauchern und mehreren Stromquellen entstehen geschlossene Stromkreismaschen. Als Umlaufrichtung in diesen Maschen wählt man beispielsweise den Uhrzeigersinn. Wenn die Spannungspfeile in diese Umlaufrichtung zeigen, werden sie mit positivem, sonst mit negativem Vorzeichen in der Spannungssumme aufgenommen.

8 8 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik Zunächst folgt aus dem Knotensatz die Stromaufteilung I = I 2 + I 3 und in den drei Maschen, wenn sie jeweils im Uhrzeigersinn durchlaufen werden, erhält man die Spannungssummen U + U 2 + U Q2 U Q U 3 U Q3 + U 4 U Q2 U 2 U Q + U + U 3 U Q3 + U 4 U + U 2 = U Q U Q2 U 3 + U 4 U 2 = U Q2 + U Q3 U + U 3 + U 4 = U Q + U Q3 Wenn man die erste und zweite Gleichung addiert, ergibt sich die dritte; die drei Maschengleichungen sind also nicht unabhängig voneinander. Für den Spannungsabfall in einem OHMschen Widerstand gilt das lineare OHMsche Gesetz U = R I Die Maßeinheit für den OHMschen Widerstand R = U I ist Ohm = Ω := Volt Ampere Mit diesem Gesetz kann man die beiden voneinander unabhängigen Gleichungen

9 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 9 der ersten und zweiten Masche U + U 2 = U Q U Q2 U 3 + U 4 U 2 = U Q2 + U Q3 schreiben R I + R 2 I 3 = U Q U Q2 R 3 I 2 + R 4 I 2 R 2 I 3 = U Q2 + U Q3 und mit der dritten Gleichung I I 2 I 3 hat man drei lineare Gleichungen zur Berechnung der Stromstärken, wenn die drei Quellenspannungen und die vier Widerstände bekannt sind: R 0 R 2 0 ( R 3 + R 4 ) R 2 i i 2 i 3 = U Q U Q2 U Q2 + U Q3 0 Im linken Stromkreis gilt U U Q I = U U = RI R

10 0 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik und im rechten U U Q U U I = I + I 2 U = R I I = U U = R M I 2 R + U = U R M R + R R M Der rechte Stromkreis beschreibt die Spannungsmessung zwischen den Punkten A und B mit einem Messgerät, das einen Innenwiderstand R M hat. Der Spannungsquelle wird also mehr Strom entzogen ( I > I), wenn das Messgerät angeschlossen ist. Um den Einfluss des Messgerätes möglichst klein zu halten, wählt man R M >> R R << I I R M Zur Vereinfachung von Schaltplänen dienen die folgenden Regeln: Zwei in Reihe geschaltete Ohmschen Widerstände können durch einen Widerstand ersetzt werden. Dabei gilt R ers = R + R 2 Sind die Widerstände parallel geschaltet

11 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik so folgt aus I + I 2 = I U R + U R 2 = U R ers R ers = R + R 2 R ers = R R 2 R + R 2 Die folgenden drei Schaltbilder sind äquivalent, wenn die unten angegebenen Widerstandswerte beachtet werden. R 2 = R + R 2 R 2 = R R 2 R + R 2 R 34 = R 3 + R 4

12 2 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik R = R 5 + ( ) R = R 5 R 2 + R 34 R 2 + R 34 R 5 + R 2 + R 34 Nun soll der Stromverlauf in der WHEATSTONEschen Brückenschaltung bestimmt werden. Insgesamt sind bei gegebener Quellenspannung sechs Stromstärken unbekannt. Zur Verfügung stehen die Gleichungen I = I + I 2 I = I + I B I 2 = I 2 + I B U + U 2 U B U 22 U 2 + U B U + U 2 = U Q Wenn die Spannungen über das OHMsche Gesetz durch Stromstärken ersetzt werden, entstehen schließlich drei Gleichungen für I, I 2 und I B : R I + R 2 I 2 R B I B R 22 I 2 R 2 I + R B I B R I + R 2 I = U Q R 22 R I + R 2 I 2 R B I B ( I 2 + I B ) R 2 ( I I B )+ R B I B R I + R 2 ( I I B ) = U Q

13 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 3 R I + R 2 I 2 R B I B R 2 I + R 22 I 2 + ( R 22 + R 2 + R B )I B ( R + R 2 )I R 2 I B = U Q R R 2 R B R 2 R 22 ( R 2 + R 22 + R B ) ( R + R 2 ) 0 R 2 I I 2 I B = 0 0 U Q Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems liefert die gesuchten Stromstärken. Für den Spezialfall muss das homogene Gleichungssystem I B R I + R 2 I 2 R 2 I + R 22 I 2 R R 2 R 2 R 22 I I 2 = 0 0 lösbar sein, und das ist nur der Fall, wenn det R R 2 R 2 R = R R 22 + R 2 R 2 22 ( ) wird, also die OHMschen Widerstände in den Parallelzweigen in dem Verhältnis R R 2 = R 2 R 22 stehen. Ist R = R x ein unbekannter und R 2 = R v ein messbar veränderlicher Widerstand, so kann man R x = R 2 R 22 R v bestimmen, indem man R v so verändert, dass die Stromstärke I B wird. Damit steht eine Vorrichtung zur Bestimmung von Widerstandswerten zur Verfügung.

14 4 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik Durchläuft eine positive Ladung ΔQ auf einer Strecke L ein elektrisches Feld E, so ist die vom elektrischen Feld an der positiven Ladung ΔQ verrichtete Arbeit ΔW = L 0 ( ΔQE) ds = ΔQ Eds = I UΔt Kraft IΔt 0 L U Als Leistung ist definiert P := Arbeit Zeitdauer = ΔW Δt Also ist die momentane Leistung der Stromstärke I bei einer Spannung U P = I U = R I 2 = U 2 Die Maßeinheit der Leistung ist Watt = Volt Ampere R Zwei Metallplatten der Fläche A, die durch ein isolierendes Material im Abstand d voneinander getrennt gehalten werden, bilden einen Kondensator. Wird die eine Platte mit der positiven Ladung Q + und die andere mit der gleich großen aber negativen Ladung Q aufgeladen, so entsteht zwischen den beiden Platten ein elektrisches Feld E und die Spannung U = d ε A Q Dabei ist ε die Dielektrizitätskonstante des Isoliermaterials zwischen den Platten. Man bezeichnet

15 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 5 C := ε A d als die Kapazität des Kondensators und damit ist U = Q C Die Maßeinheit der Kapazität ergibt sich aus dieser Beziehung Ampere Sekunde = Farad Volt ε ist ein Vielfaches der Elektrischen Feldkonstanten ε 0. Das Schaltsymbol besteht aus zwei parallelen Strichen senkrecht zum Leitungsstrich. Wenn man die beiden Kondensatorplatten in jeweils zwei Teilflächen aufteilt, entstehen zwei parallel geschaltete Kondensatoren mit anderer Kapazität und wenn beide Teilplatten mit den Ladungen ( Q +,Q ) und ( Q 2+,Q 2 ) aufgeladen werden, wobei bleibt, gilt Q = Q A A, Q 2 = Q A 2 A Q + Q 2 = Q

16 6 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik ε A d U = C U = Q ε A 2 d U = C 2 U = Q 2 C U + C 2 U = ( C + C 2 )U = Q + Q 2 = Q = CU Zwei parallel geschaltete Kondensatoren mit den Kapazitäten C und C 2 dürfen durch einen Kondensator mit der Kapazität ersetzt werden. C = C + C 2 Werden zwei unterschiedliche Kondensatoren mit dem gleichen Ladungspaar ( Q +,Q ) aufgeladen und anschließend miteinander verbunden, dann werden die beiden inneren Kondensatorplatten wegen der entgegengesetzt gleichen Ladungen ladungsfrei und es bleiben die beiden äußeren Platten mit dem Ladungspaar ( Q +,Q ) übrig, aber der Abstand dieser Platten hat sich auf vergrößert. d = d + d 2 U = d ε A Q = C Q U 2 = d 2 ε A Q = C 2 Q

17 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 7 U + U 2 = d ε A Q + d 2 ε A Q = C Q + C 2 Q = U = C Q Zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren mit den Kapazitäten C und C 2 können also ersetzt werden durch einen Kondensator mit der Kapazität C, wenn C = + C C 2 ist. Verbindet man einen zunächst ungeladenen Kondensator über einen Widerstand mit einer Spannungsquelle konstanter Quellenspannung U Q = U 0, so entsteht ein Ladestrom I(t) und es gilt Daraus folgt U (t) + U 2 (t) U 0 Q(t) C + RI(t) = U Q(t) 0 C + R dq(t) dt = U 0

18 8 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik Nach Umstellung der Terme dq(t) dt dq(t) + Q(t) dt RC = CU 0 RC = λ ( Q(t) CU 0 ) λ := RC kommt man zu einer leicht zu lösenden Differentialgleichung für Q(t) : ( ) Q(t) CU 0 dq(t) dt = λ d dt ln ( Q(t) CU 0 ) = λ Q(t) CU 0 ln( Q(t) CU 0 ) = λ t + A ( ) = e λ t+ A = e A e λt = A 2 e λt =:A 2 Q(t) = CU 0 + A 2 e λt Weil zum Zeitpunkt t die Ladung auf dem Kondensator noch null sein soll, erhält man für die noch unbekannte Konstante A 2 aus der Gleichung Q(0) = CU 0 + A 2 e λ 0 = CU 0 + A 2 Nun lautet das Ergebnis Die entsprechende Stromstärke ist A 2 = CU 0 Q(t) = CU 0 ( e λt ) λ := RC I(t) = dq(t) dt = CU 0 ( 0 + λe λt ) I(t) = U 0 R e λt In der folgenden Abbildung sind die Kondensatorladung und die Stromstärke als Funktionen des Zeitparameters λt dargestellt. Der Ladevorgang ist exponentiell abklingend.

19 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 9 Auf die positive Ladung q +, die sich in einem Magnetfeld B mit der Geschwindigkeit v bewegt, wirkt die LORENTZkraft F = q + v B ( ) Hat die Ladung die Masse m, so folgt aus der Bewegungsgleichung m d v dt = q + v B ( ) Wenn man sie in Zylinderkoordinaten formuliert, erhält man in einem homogenen Magnetfeld in Richtung e z mit B = B e z v = r e r + r ϕ e ϕ + z e z v B = ( r e r + r ϕ e ϕ ) B e z = r Be ϕ + r ϕ B e r d v dt ( ) e r + r = r r ϕ2 ( ϕ + 2r ϕ ) e ϕ + z e z die drei Bewegungsgleichungen: r r ϕ 2 = q + B m r ϕ, r ϕ + 2r ϕ = q + B r, z m

20 20 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik Es existiert dann eine spezielle Lösung: r = r 0 = const ϕ = ω 0 = const z = z 0 = const 0 r 0 ω 0 2 = q + B m r 0 ω 0, r ω 0 = q + B m 0, 0 ω 0 = q + B m Die Ladung q + kann sich, wenn das homogene Magnetfeld in Richtung e z orientiert ist, auf einem beliebigen Kreis parallel zur xy -Ebene um die z -Achse mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω = q + B e m z bewegen. Für einen Umlauf wird die Zeit T benötigt: 2π = ω 0 T T = 2π m q + B f = T = q + B 2πm nennt man Zyklotronfrequenz. Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld B, dann wirkt auf die Ladung dq + die Kraft d F = dq + v B ( ) Ist s der Ortsvektor der Ladung dq + im Leiter, so folgt aus d F = dq + v = d s dt, und I = dq + dt ds dt B = dq + dt das elektrodynamische Kraftgesetz ( ds B ) = I ( ds B )

21 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik 2 F = I s 2 s ( ds B ) für die resultierende Kraft, die das Magnetfeld B auf das vom Strom I durchflossene Leiterstück zwischen den Punkten ( s = s ) und ( s = s 2 ) auf der Mittellinie des Leiters ausübt. Ist insbesondere das Leiterstück der Länge L gerade in Richtung e s und das Magnetfeld homogen ( = ortsunabhängig), so wird F = I L e s B Wenn der Leiter parallel zum homogenen Magnetfeld ist, wird die Kraft null, wenn er senkrecht zum Magnetfeld orientiert ist, wird sie maximal. Diese Wechselwirkung zwischen einem Strom in einer rechteckigen Leiterschleife mit den Kantenlängen L x und L y in der xy -Ebene und einem Magnetfeld lässt sich einfach berechnen, wenn das Magnetfeld B im Leiterbereich in e x -Richtung orientiert ist und in den zur y -Achse liegenden Abschnitten jeweils konstant und gleich groß ist. Nur die parallel zur y - Achse liegenden Abschnitte werden dann durch entgegengesetzt gerichtete Kräfte belastet, deren Resultierende jeweils durch eine Einzelkraft in der Mitte des Leiterabschnitts ersetzt werden dürfen.

22 22 Physikalische Anwendungen Elektrotechnik Die beiden Kräfte F und F 2 bilden ein Kräftepaar mit dem Momentenvektor M 0 = L x 2 e x F + L x 2 e x F 2 und weil ist, wird F 2 = F M 0 = ( L xex ) F = ( L xex ) ( IL y B e z ) = IL x L y B e y Wenn die Leiterschleife um die Achse AA drehbar gelagert und mit einer Drehfeder verbunden ist, die dann entspannt ist, wenn die Leiterschleife in der xy -Ebene liegt, dreht das Kräftepaar M 0 die Leiterschleife um die Achse AA, bis das entgegen wirkende Federmoment genau so groß ist wie das von den Stromkräften erzeugte Moment. Ist die Leiterschleife mit einem Zeiger senkrecht zur Schleifenebene versehen, so kann man aus der Zeigerstellung auf einer geeichten Skala die Stromstärke I ablesen.