Übungsblatt 07. Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik

Transkript

1 Übungsblatt 07 Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik Aufgaben 1. Ein Plattenkondensator (C = 1 µf) aus kreisförmigen Platten mit Radius r c, gefüllt mit einer 0,1 mm dicken Folie mit relativer Dielektrizitätskonstante ε r = 3, 6, wird über einen Widerstand (R = 1 kω) mit einer Spannung von U = 100 V geladen. (a) Wie gross ist der Durchmesser der Platten? (b) Wie gross ist die Ladung im stationären Zustand? (c) Wie gross sind zu Zeitpunkten 1 µs, 30 µs, 1 ms, 1 s nach Anlegen der Spannung die relativen Ladungen des Kondensators im Vergleich zur Endladung? (d) Die Spannungszuführung bei dem Kondensator erfolgt im Mittelpunkt der Plattenflächen. Wie gross ist der radiale Strom auf den Platten am Ort des halben Plattenradiuses zum Zeitpunkt, zu dem der Kondensator halb geladen ist? 2. Zwei RC-Glieder sind in Serie geschaltet (siehe Zeichnung). (R 1 = 100 Ω, C 1 = 4, 7 µf, R 2 = 680 Ω, C 2 = 220 nf) Zu einem Zeitpunkt t 0 wird eine Spannung U 0 = 12 V angelegt. Berechne den zeitlichen Spannungsverlauf am Kondensator C 2 und am Widerstand R Zur Strombegrenzung wird ein Lichtbogen mit der fallenden Kennlinie U (I) = A + B/I, (A = 48 V, B = 100 VA) in Reihe mit einem ohmschen Widerstand R = 18 Ω an eine (Gleich-)Spannung U B = 220 V angeschlossen. (a) Welche Stromstärke stellt sich ein? (b) Es gibt einen nichtstabilen Arbeitspunkt dieser Anordnung. Was sind die Bedingungen dafür und wieso ist dieser Zustand instabil? (c) Bei welcher Betriebsspannung würde der Lichtbogen erlöschen? 4. Eine Zenerdiode dient zur Spannungsstabilisierung gemäss der Schaltung unten. Die Kennlinie der Zenerdiode kann durch drei Geraden genähert werden (siehe Messkurve unten): 1

2 I z1 = α 1 (U U D ) U D < U (Durchlass) I z2 = α 2 U für U z < U < U D (Sperren) I z3 = α 3 (U U z ) für U < U z (Zener-Bereich) U z = variabel je nach Typ, z.b. -6,2 V U D = 0, 7 V (typisch für Siliziumdiode) α 1 = 100 ma/0, 1 V α 2 = 3 µa/5 V α 3 = 50 ma/0, 1 V (a) Die Grenzströme in der Diode (Zener- und Durchlassbereich) sollen Ig1,3 = 0, 1A betragen. Welche Spannungen liegen bei diesen Strömen an der Diode? (b) Wie gross muss der Widerstand R sein, damit dieser Grenzstrom bei U 0 = 50 V nicht überschritten wird? (c) Bei Verwendung eines Widerstandes R = 560 Ω werden folgende Spannungen: U 0 = 2 V, 6, 3 V, 10 V, 25 V und 45 V angelegt. Wie gross sind die jeweiligen Spannungen U z und Ströme I? Spannungsstabilisierung: Zenerdiode-Kennlinie: 2

3 Übungsblatt 07 Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik Lösungen 1. (a) Die Kapaziät C eines Plattenkondensators errechnet sich aus dessen geometrischen Abmessungen: FlächeA,PlattenabstandxundderDielektrizitätskonstantenε=ε r ε 0 zu C=ε A x =ε rε 0 A x BeikreisförmigenPlattenistdieFlächeA=πr 2 = π 4 d2 (d=durchmesser) Also: 4Cx d= ε r ε 0 π =2m (b) Der stationäre Zustand wird nach langer Zeit (gegenüber der Zeitkonstanten τ = RC) erreicht. Da dannderrestladestromgegennullstrebt,fälltamwiderstandkeinespannungmehrab(u R =R I) undsomitistdiespannungamkondensatoru c =U gleichderangelegtenspannungu. Damitergibt sichdieladungzu Q=C U=10 4 C (c) Die Spannung am Kondensator folgt der Differenz zwischen dem Endwert und einer fallenden Exponentialkurve, also ( ) U c =U 1 e t τ DierelativeLadungy i zueinemzeitpunktt i istalso: y i = Q i =C U ( 1 e t i /τ ) Q C U =1 e t i/τ mitτ =RC=10 3 sergebensichdierelativenladungen. y i =10 3 ; 0,03; 0,63; (d) Der Strom in den Kondensator ist die zeitliche Ableitung der Ladung auf dem Kondensator, also: ( ) I= dq =C du d 1 e t τ 0 =C U = CU e t τ dt dt dt τ Zum Zeitpunkt der halben Ladung ist: y h = Q1 2 Q =1 2 =1 e t 12 τ Damit ist: t1 2 = π ln(1 y h ) ( =6, s ) 1

4 Somit ist der Strom: CU τ I1 2 = CU (1 y h )= 1 2 τ e CU τ t 12 τ = CU e ln(1 yh) = τ = 1 CU 2RC =1 U 2R =0,05A BeihomogenerLadungsdichteaufdenPlattenistdieLadunginnerhalbdesHalbradiusesderPlatte 1 4 der Gesamtladung. Damit muss der radiale Strom beim Halbradius entsprechend den Flächen ( 1 1 4) = 3 4 des ganzen Stromes betragen, also: I r12 = 1 U 2R 3 4 =0,0375A 2. DerStromdurchdenWiderstandR 1 seii 1,derdurchdenWiderstandR 2 seii 2 (diesistauchderladestrom deskondensatorsc 2 ),undderladestromdeskondensatorsc 1 seii c. (sieheschaltplan) FürdieStrömeamVerzweigungspunktzwischenR 1 undr 2 gilt I 1 =I 2 +I c DieSpannungenandenKondensatorenC 1 undc 2 seienu 1 undu 2. DieseberechnensichmitdenStrömen durch die Widerstände zu: U 1 =U 0 R 1 I 1 U 2 =U 1 R 2 I 2 =U 0 R 1 I 1 R 2 I 2 und über die Ladungströme zu: U 1 = 1 C 1 U 2 = 1 C 2 I c dt U 1 = 1 C 1 I c I 2 dt U 2 = 1 C 2 I 2 DiesefünfGleichungenliefern,entsprechendzusammengefasst,diefünfUnbekanntenI 1,I 2,I c,u 1 undu 2. FürI 2 gilt: I 2 =C 2 U 2 FürI c gilt: I c = U 1 C 1 FürI 1 gilt: I 1 =I 2 +I c =C 1 U 1 +C 2 U 2 FürU 1 gilt: U 1 =U 2 +R 2 I 2 =U 2 +R 2 C 2 U 2 bzw. U 1 = U 2 +R 2 C 2 Ü 2 2

5 Dies eingesetzt in: U 2 =U 0 R 1 I 1 R 2 I 2 = =U 0 R 1 [ C 1 ( U 2 +R 2 C 2 Ü 2 ) +C 2 U 2 ] R 2 C 2 U 2 = =U 0 U 2 (R 1 C 1 +R 1 C 2 +R 2 C 2 ) R 1 R 2 C 1 C 2 Ü 2 DieseDifferentialgleichungfürU 2 hatdiepartikulärelösung: U 2 =const=u 0 und,gewonnenüberdenansatzu 2 =U 20 e at unddascharakteristischepolynom mit den beiden Lösungen a 1,2 = a(R 1 C 1 +R 1 C 2 +R 2 C 2 )+a 2 R 1 R 2 C 1 C 2 =0 ( ) ± R 2 C 2 R 2 C 1 R 1 C 1 ( ) 2 4 R 2 C 2 R 2 C 1 R 1 C 1 1 R 1 R 2 C 1 C 2 die allgemeine Lösung: U 2 =b 1 e a 1t +b 2 e a 2t +U 0 wobeinochb 1 undb 2 überdieanfangsbedingungenbestimmtwerdenmüssen: U 2 (0)=0und U 2 (0)=0 also U 2 (0)=0=b 1 +b 2 +U 0 U 2 (0)=0=a 1 b 1 +a 2 b 2 Somit ergibt sich b 1 = U 0 a 1 a 2 1 undb 2= U 0 a 2 a 1 1 DerStromI 2 ergibtsich(sieheoben)zu I 2 =C 2 U 2 =C 2 (a 1 b 1 e a1t +a 2 b 2 e a 2t ) DieZahlenwertederGrößenaundbsind: a 1 = 1994,6s 1 a 2 = 7130,5s 1 b 1 = 16,66V b 2 =4,66V Den zeitlichen Verlauf der Spannung und des Stromes zeigen folgende Diagramme: 3

6 Beide Kurven entstehen aus Überlagerung zweier abfallenden Exponentialkurven und einem konstanten Term(der beim Strom Null ist). 3. Die Kennlinie des Lichtbogens lautet aufgrund der Angabe U LB (I)=A+ B I I= B U LB A (siehediagramm) also eine verschobene Hyperbel. Nach der in der Vorlesung gezeigten Methode gibt es zwei Schnittpunkte mitderrichtigeingezeichnetenwiderstandsgeradebeidenströmeni 1 =8,9AundI 2 =0,6A. Diese ergeben sich auch aus der Batteriespannung, die gleich der Summenspannung an beiden Teilen ist, U B =U LB +U R =A+ B I +R I als Lösung dieser quadratischen Gleichung für den Strom I. 4

7 Der Arbeitspunkt bei I 2 (= 0,6A, U 2 209V) ist instabil, da bei Spannungsschwankung nach unten der Strom am Lichtbogen zunehmen würde und damit am Widerstand ein größerer Spannungsabfall entstände als die Annahme am Lichtbogen und daher die Restspannung am Lichtbogen weiter abnähme. BeimArbeitspunktI 1 =8,9Aistdiesgeradeumgekehrt,sodassdieserderStabileist. Die stabile Lösung der quadratischen Stromgleichung lautet: I= U (UB ) B A 2R + A 2 B 2R R Der Wurzelausdruck muss 0 sein, also ( UB A 2R ) 2 B R Darausfolgt,dassU B >A+2 BR=133V seinmuss,damitderlichtbogenbrennt(siehegrenzkurveim Diagramm). 4. (a) Die Grenzspannungen lassen sich aus der Kennlinie ablesen(sehr ungenau), besser aus den angegebenen Annäherungen für I(U) berechnen: I = 0, 1A(Durchlassbereich) I D =α 1 (U U D ) U g1 =U D + I D α 1 =0,7V +0,1A 0,1V 0,1A =0,8V I = 0, 1A(Zener-Bereich) I Z =α 3 (U U z ) U g2 =U Z + I Z α 3 = 6,2V 0,1A 0,1V 0,05A = 6,4V 5

8 (b) Der Widerstand muss so groß sein, dass die angelegte Spannung(50V) vermindert um den Spannungsabfall im Widerstand die Grenzspannung nicht übersteigt, also: U 0 R I g U g R U 0 U g I g =492Ωbzw.436Ω (c) Die Arbeitspunkte für die verschiedenen Spannungen können über die in der Vorlesung gezeigte Methode gewonnen werden(siehe Diagramme unten) oder über folgende Rechnung: U 0 =RI Zi +U Zi =R α i (U Zi U i )+U Zi U Zi = U 0+Rα i U i Rα i +1 { Ui =0, α mit i =α 2 füru 0 = 2V U i =U z, α i =α 3 sonst Es ergibt sich folgendes: U 0 /V = 2 6, U Zi /V = 1,9993 6,200 6,213 6,265 6,333 Die Spannung an der Zenerdiode U Z ist also weitgehend unabhängig von der Batteriespannung U 0, weshalb diese in dieser Schaltung zur Spannungsstabilisierung verwendet wird. Beim Vergleich des Arbeitspunktes aus der Rechnung mit dem, der dem Diagramm entnommen wird, erkennt man, dass die angegebene Näherung(für den Zenerbereich) die tatsächlichen Verhältnisse nur ungefähr wiedergibt. 6

9 7