Übung 4.1: Dynamische Systeme

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1 Übung 4.1: Dynamische Systeme c M. Schlup, 18. Mai 16 Aufgabe 1 RC-Schaltung Zur Zeitpunkt t = wird der Schalter in der Schaltung nach Abb. 1 geschlossen. Vor dem Schliessen des Schalters, betrage die Spannung über dem Kondensator u(t < ) = U. Abbildung 1: RC-Schaltung a) Ergänzen Sie formal die folgende Tabelle: vor dem Umschalten nach dem Umschalten eingeschwungen t = t = + t = u(t) U U + i(t) U U b) Stellen Sie die Differentialgleichung (DGl) in folgender normierter Form für die Spannung u(t) auf: τ u + u = U i 1 = u i = u ( 1 C u ) u = C u + u = + i = i 1 i = u u i = C u + 1

2 Bestimmen und interpretieren Sie die Konstanten τ und U in Funktion der Grössen,, und C. τ = U = C + + c) Geben Sie die Lösung u(t) der DGl graphisch und formal an. Skizzieren Sie in der selben Graphik den zeitlichen Spannungsverlauf für die Anfangsbedingungen U = und U =. u(t) = U + (U U ) ( 1 exp( t/τ) ) = U ( 1 exp( t/τ) ) + U exp( t/τ) d) Bestimmen Sie graphisch und formal den zeitlichen Verlauf der Stromstärke i(t) für die Anfangsbedingung U =. u(t) = 1 τ (U U ) ( exp( t/τ) ) = 1 τ U exp( t/τ) i(t) = C τ U exp( t/τ) = exp( t/τ) Aufgabe Ausgleichsvorgang Zwei ideale Kondensatoren mit den Kapazitäten und C werden zum Zeitpunkt t = über einen Widerstand R parallel geschaltet. Vor dem Zeitpunkt der Verbindung war mit der Ladung q 1 (t < ) = > und C mit q (t < ) = Q = geladen. a) Ergänzen Sie formal die folgende Tabelle: vor dem Verbinden nach dem Verbinden eingeschwungen t = t = + t = u 1 (t) U 1 = +C u (t) U = +C q 1 (t) > +C i(t) I = U 1 U R = R I =

3 b) Stellen Sie die DGl für die Ausgleichstromstärke i(t) in der folgenden normierten Form auf: τ di(t) dt + i(t) = I Bestimmen und interpretieren Sie die Konstanten τ und I in Funktion der Grössen,, C und R. Hinweise: q 1 = i q = i i = u 1 u R i = u 1 u = 1 ( q1 q ) R R C i = 1 ( i i ) R C i = 1 ( ) i = R C R C di(t) + i(t) = + C dt τ = R C + C I = c) Vergleichen Sie die in den Kondensatoren gespeicherte Energie vor und nach dem Ausgleich. Wie gross ist die Differenz? W() = W( ) = W() W( ) = Q 1 Q 1 ( + C ) < W() C Q 1 ( + C ) Hinweis: Die in einem Kondensator gespeicherte Energie ist W C = C U / = Q U/. d) Zeigen Sie, dass die, nach dem Ausgleichsvorgang in den Kondensatoren fehlende Energie im Widerstand dissipiert wurde. W R = R i (t) dt i(t) = I exp( t/τ) W R = R I exp( t/τ) dt = R I τ = R Q 1 C C1 R ( + C ) = C Q 1 ( + C ) = W() W( ) 3

4 Aufgabe 3 Gleichstomsteller Die Drehzahl einer Gleichstrommaschine ist ungefähr proportional zum arithmetischen Mittelwert der angelegten Spannung. Um bei geregelten Antrieben die Drehzahl zu beeinflussen, werden Gleichstromsteller eingesetzt. Diese bestehen im wesentlichen aus einem Schalter, einer Glättungsdrossel und einer Freilaufdiode. Für die gesamte Anordnung, d. h. für die Quelle, den Gleichstromsteller und die Gleichstrommaschine lässt sich untenstehendes Modell bilden: Abbildung : Gleichstromsteller Bei den folgenden Überlegungen kann die Diode (D) als ideal angenommen werden, d. h. sie ist im Durchlassbereich ideal leitend und im Sperrbereich ideal sperrend. Für die Elemente gelten folgende Werte: U = 11 V, R = 1 Ω, L A = 1 mh, = Ω. a) Stellen Sie die DGl für die Stromstärke i(t) auf, einmal bei geschlossenem und einmal bei offenem Schalter. Schalter geschlossen: Schalter offen: L A i + ( ) i = U U i τ G i + i = I G L A mit τ G = = 33.3 ms und I G = U U i = 3.33 A τ S i + i = I S mit τ S = L A = 5. ms und I S = U i b) Skizzieren Sie den Verlauf des Ankerstromes i(t) einer stillstehenden Maschine nach dem Schliessen des Schalters (S). Der Strom durch die Maschine unmittelbar vor dem Schliessen des Schalters sei Null. Während dem ganzen Vorgang kann die induzierte Spannung U i = angenommen werden, da die Maschine trägheitsbedingt noch nicht dreht. Welchen Wert erreicht der Strom nach 4

5 1 ms? U ( i(t) = 1 exp( t/τg ) ) i(t) = 36.7 A ( 1 exp( t/.33 s) ) i(1 ms) = 36.7 A ( 1 exp(.1/.33) ) = 9.5 A c) Im stationären Betrieb wird der Schalter periodisch geschlossen und wieder geöffnet. Die Maschine rotiert mit einer konstanten Geschwindigkeit, wodurch in der Maschine eine konstante Spannung U i = 1 V induziert wird. Wie lange muss der Schalter geschlossen und geöffnet sein, damit der Strom den Minimalwert I min = 1. A und den Maximalwert I max = 1.5 A erhält? Wie gross ist die Frequenz mit der der Schalter getaktet wird? Schalter geschlossen: I max = I min + (I G I min ) ( 1 exp( t 1 /τ G ) ) exp( t 1 /τ G ) = 1 I max I min I G I min = =.859 t 1 = ln(.859) τ G = 5.5 ms Schalter offen: I min = I max + (I S I max ) ( 1 exp( t /τ S ) ) exp( t /τ S ) = 1 I min I max I S I max I S = U i = 5. A = =.994 t = ln(.994) τ S = 9 µs Frequenz: f = 1 t 1 + t 187 Hz d) Die momentane abgegebene mechanische Leistung der Maschine p M (t) berechnet sich aus dem Produkt des momentan fliessenden Stromes i(t) und der induzierten Spannung U i. Welche gemittelte mechanische Leitung P M gibt die Maschine bei obigen Betriebszustand ab? Hinweis: Der Stromverlauf kann der Einfachheit halber als sägezahnförmig angenommen werden. 5