Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B

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1 Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 1 von 13

2 Aufgabe 1: Gleichstrommaschine (20 Punkte) LÖSUNG eihenschlussmotor Folgende Parameter sind über den Motor bekannt: U = 230 V c M = 40 A = 0,5 Ω E = 1,8 Ω L A = 40 mh L E = 250 mh N E = 15 I N = 10 A 1. Geben Sie allgemein an, wie der Strom I und das Drehmoment T im stationären Betriebsfall bestimmt werden können, wenn von dem Motor nur die oben angegebenen Variablen, der Vorwiderstand V1 und die Drehfrequenz ω bekannt ist (S1 geschlossen, S2 und S3 offen). Hinweis: L E = c M L E N E U =I( V1 + E + A ) +U i (1.1) U i = c M ϕ E ω ϕ E = L E I N ( E ) L E U =I V1 + E + A + c M ω N E (1.2) (1.3) (1.4) ( ) L 1 E I = U V1 + E + A + c M ω (1.5) N E T = c M ϕ E I (1.6) T = c M L E N E I 2 (1.7) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 2 von 13

3 2. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad des Motors, wenn sich im stationärem Betriebsfall eine Drehzahl von n = 400 min 1 eingestellt hat und S3 dabei geschlossen ist. L E = c M L E N E = 2 3 H (1.8) I = U ( E + A + L Eω ) 1 = 230V (1,8Ω + 0,5Ω H 2π 20 3 s 1 ) 1 (1.9) I = 7,61A (1.10) T = L E I 2 = 2 3 H 7,612 A 2 = 38,6Nm (1.11) η = P mech P el = ωt UI 20 2π = 3 s 1 38,6Nm 230V 7,61A = 1616,87W 1750,3W (1.12) η = 92,4% (1.13) 3. Bestimmen Sie den Vorwiderstand V1 so, dass nach dem Schließen von S1 der Anlaufstrom I = 1,3 I N erreicht (S2 und S3 offen). U =! 1,3 I N ( V1 + E + A ) (1.14) V1 = U E A = 250V (1,8Ω + 0,5Ω) 1,3 I N 13A (1.15) V1 = 15,39Ω (1.16) 4. Im Anlaufvorgang erhöht sich nun die Drehzahl des Motors. Dabei verringert sich der Strom I. Sobald der Strom I = I N erreicht, soll ebenfalls S2 geschlossen werden. Wie muss der Widerstand V2 gewählt werden, damit der Strom beim Zuschalten von V2 erneut auf I = 1,3 I N begrenzt wird? (S1 geschlossen, S3 offen). ω b = U I N( V1 + E + A ) L E I = 7,965s 1 (1.17) N! U U i 1,3 I N = (1.18) V + E + A V = U U i E + A = U L E ω 1,3 I N E + A 1,3 I N 1,3 I N (1.19) V = 10,08Ω (1.20) V2 = V1 V V1 V (1.21) V2 = 29,22Ω (1.22) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 13

4 Aufgabe 2: Gleichstromsteller (20 Punkte) 1. Hochsetzsteller 2. U = L i L t i L = U t L U = für 0 t < DT U = U 2 für DT t < T i L = U t = DT = ( U 2 ) (1 D)T L L L D = (U 2 ) (1 D) (D + (1 D)) = U 2 (1 D) U 2 = 1 1 D 3. Siehe Abbildung Siehe Abbildung U 2,min = = 24V 6. U L = L i L t L = U L t i L L = DT i L,pp,max L = D f s i L,pp,max L = 0,5 24V 20kHz 0,6A L = 1mH Ansatz Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 4 von 13

5 i L,pp(D) D U 2 = U 2 = 1 1 D 1 24V = 32V 1 0,25 = const. i L,pp(D = 0,25) = i L,pp(D = 0,5) 0,25 0,5 = 300mA An der Lückgrenze gilt: i L = i L,pp = 150mA 2 I = i L (1 D) = 150mA 0,75 = 112,5mA = U 2 = 32V I 112,5mA = 284Ω 2. Ansatz U L = L i L t Während Abkommutierung U L = U 2 (1 D)U 2 = U L = U 2 DU 2 U 2 U L = DU 2 U 2 = i D t = 1 D f s i L = 2I 2 (siehe Lösung Vogt) 1 D U L = L 2I 2 f s (1 D) 2 DU 2 = L 2I 2 f s (1 D) 2 I 2 = U 2 DU 2 = L 2U 2 f s (1 D) 2 D = 2 f s L (1 D) 2 = 2 f s L D(1 D) 2 = 2 1mH 20kHz 0,25 0,75 2 = 284,4Ω Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 5 von 13

6 u L U 2 t -U 2 il I L,max I L,min E L t E L,max E L,min i T t I L,max I L,min 0 T S 2T S t Abbildung 2.1: Lösung zu Teilaufgabe Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 6 von 13

7 Ausgangsspannung U = 6V = 9V U = 12V 1 U = 15V 1 U = 18V Tastverhà ltnis D Abbildung 2.2: Lösung zu Teilaufgabe Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 7 von 13

8 Aufgabe 3: Übertragungsfunktion, komplexe Wechselstromrechnung (20 Punkte) 1. U 2 = U C2 U 2 mit zweifacher Spannungsteilerregel U C2 U 2 = j X 1 1+ j X ) ( ) ( ) = ( = ω C+ j 1 j X 1 j X ω C j = 1 jω C 1+ jω C = jx U 2. 2 = e j arctan( X ) j arctan( X ) = e 2 j arctan( X ) = e jπ+2 j arctan( X ) arctan ( ) X = 135 im Winkelmaß π + 2arctan ( ) X = 3 4 π im Bogenmaß 1 ω = C tan( 7 π) = ,21 1 Ω s 1 F 0, I 2 = I 3 = I 1 2 U 2 = U I 2 = 2 2 +( ω C) = V ( 1 Ω , ) 2 46,195 A jx und U 2 = jx 4. Hinweise zur Konstruktion Kreis mit adius 2,5 cm = 25 V um den Punkt (2.5,0). I 2 und I 3 müssen voreilen. und U 2 in Phase zu I 2. U C2 und U C1 eilen 90 Grad nach. U 2 muss immer die Gleiche Länge haben wie und geht durch den Kreismittelpunkt. U 2 verbindet und U C1 und muss 45 Grad Winkel mit reeller Achse bilden. I 4 I 1 U C2 U C1 U 2 U Abbildung 3.1: Zeigerdiagramm zur Aufgabe Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 8 von 13

9 5. Schein-, Wirk-, und Blindleistung S = I 1 = 50 V 2 46,195 A = 4,619 kva P = S U1 4,619 cm = 4,619 kva 5 cm = 4,267 kw Q = S UC2 = 4,619 kva 1,914 cm 5 cm = 1,768 kva 6. Abschließende Darstellung des Bode-Diagramms: Abbildung 3.2: Bodediagramm zur Aufgabe Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 9 von 13

10 Aufgabe 4: Ausgleichsvorgang, Schwingkreis (20 Punkte) 1. i 1 (t = 0 + ) = 0 Strom i 1 durch die Induktivität L kann sich nicht sprunghaft ändern. 2. i 2 (t = 0 + ) = U Kondensator stellt im Einschaltmoment t = 0 einen Kurzschluss dar. Strom i 2 wird dann nur durch den Widerstand begrenzt. 3. i 1 (t ) = U Stromänderung di 1 dt ab. ist für t gleich Null. Daher fällt die Spannung U am Widerstand ist für t gleich Null. Daher fällt keine Spannung am Wider- 4. i 2 (t ) = 0 Spannungsänderung du C dt stand ab. ) 5. i 1 (t) = U (1 e τ t 2 i 2 U i 2 (t) = U (1 e t τ 2 ) τ 2 2τ2 3τ 2 4τ 2 5τ 2 t Abbildung 4.1: Lösung Aufgabe i 2 (t) = U e t τ 1 i 1 U i 1 (t) = U e t τ 1 τ 1 2τ1 3τ 1 4τ 1 5τ 1 t Abbildung 4.2: Lösung Aufgabe Es ändert sich nichts an den Verläufen von i 1 (t) und i 2 (t), denn die Brückenspannung ist im Einschaltmoment von S 2 gleich Null Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 10 von 13

11 Aufgabe 5: Stromkompensierende Drossel (20 Punkte) Gegegeben sei der in Abbildung 5.1 dargestellte magnetische Kreis. Die Streuung des magnetischen Flusses kann vernachlässigt werden. Hinweis: Achten Sie auf den Wicklungssinn! u 11 (t) N 1 i(t) µ u 1 (t) L u 2 (t) A N 2 u 12 (t) Abbildung 5.1: Magnetischer Kreis Der Eingangsstrom sei gegeben durch folgenden Verlauf. i(t) = I 0 sin(ωt) (5.1) Bestimmen Sie alle Ausdrücke allgemein, ohne Zahlenwerte einzusetzen. 1. Bestimmen Sie die Spannung u 2 (t). (2 Punkte) Aus der Anwendung des ohmschen Gesetzes folgt direkt: u 2 (t) = I 0 sin(ωt) (5.2) 2. Zeichnen Sie das eluktanzmodell des magnetischen Kreises und bestimmen Sie den magnetischen Widerstand. (2 Punkte) Der magnetische Widerstand berechnen sich zu: m = L µa (5.3) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 11 von 13

12 Θ1(t) m ϕ(t) Θ2(t) Abbildung 5.2: Gefordertes eluktanzmodell 3. Bestimmen Sie die magnetischen Fluss durch den Kern. (4 Punkte) Die Berechnung des Flusses ϕ folgt direkt aus der Anwendung des Maschensatzes: ϕ(t) = Θ 2 Θ 1 m = i(t) N 2 N 1 m (5.4) 4. Bestimmen Sie die Spannungen u 11 (t) und u 12 (t). (6 Punkte) Nach Induktionsgesetz kann die Spannung u 11 (t) wie folgt formuliert werden: u 11 (t) = N 1 dϕ(t) dt (5.5) Nach einsetzten von ϕ(t) und anschließender Vereinfachung folgt: u 11 (t) = N 2 N 1 m N 1 ωi 0 cos(ωt) (5.6) Die Spannung u 12 (t) kann nach lenzscher egel wie folgt bestimmt werden: u 12 (t) = N 2 dϕ(t) dt (5.7) Da der Fluss ϕ(t) bereits bestimmt wurde folgt hieraus: u 12 (t) = N 2 N 1 u 11 (t) = N 2 N 1 m N 2 ωi 0 cos(ωt) (5.8) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 12 von 13

13 5. Bestimmen Sie die Spannung u 1 (t). (3 Punkte) Durch Anwendung des Maschensatzes folgt: u 1 (t) = u 11 (t) + u 2 (t) + u 12 (t) (5.9) ( = 1 N ) 2 u 11 (t) + u 2 (t) (5.10) N 1 = (N 2 N 1 ) 2 ωi 0 cos(ωt) + I 0 sin(ωt) (5.11) m 6. Bestimmen Sie die Spannung u 1 (t) für N 1 = N 2. (3 Punkte) lim u 1 (t) = u 2 (t) (5.12) N 2 N 1 Hinweis: Das Lernresultat soll sein, dass eine stromkompensierende Drossel nur dann keinen Einfluss auf die Spannungübertragung hat, wenn die Anzahl der Wicklungen gleich ist Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 13 von 13