Physik Klausur

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1 Physik Klausur April 2003 Aufgae Ein Birnchen mit dem ohmschen Widerstand, eine Spule mit der Eigeninduktivität L (ohmscher Widerstand vernachlässigar) und ein Kondensator mit der Kapazität C sind in eihe geschaltet und an einen Sinusgenerator angeschlossen. Die effektive Generatorspannung wird auf ; 00 V eingestellt und konstant gehalten. Man misst die effektive Stromstärke I eff im Stromkreis in Ahängigkeit von der Generatorfrequenz f und erhält folgendes Diagramm. I eff / ma f / Hz a) ffl Skizziere die Schaltung mit oigen Bauteilen, einschließlich Voltmeter und Ampèremeter. ffl Begründe den Verlauf der Kurve. ffl Berechne und L, wenn die Kapazität des Kondensators C 2; 00 μf eträgt. (Anmerkung.: Verwende dazu die Werte von f 200 Hz und f Hz) ) Es seien 8 Ω, L 35; 2 mh und C 2μF. ffl Berechne ei der Generatorspannung U eff ; 00 V und der Generatorfrequenz f 200 Hz die effektiven Teilspannungen, die am Wiederstand, an der Spule und am Kondensator gemessen werden können. ffl Addiere diese Teilspannungen zeichnerisch und erläutere das Ergenis. ffl Berechne die Phasenverschieung zwischen Strom und angelegter Spannung. ffl Zusatzaufgae, die wegen zu wenig Zeit in der Klausur gestrichen wurde: Skizziere den Verlauf der Phasenverschieung in Ahängigkeit der Generatorfrequenz. ffl Berechne die Wirkleistung im Stromkreis. c) ffl Berechne mit den in Teilaufgae angegeenen Werten die maximale magnetische und die maximale elektrische Feldenergie, die ei der Generatorfrequenz f Hz auftreten. ffl Interpretiere dieses Ergenis.

2 d) Das oige Birnchen soll in einem neuen Stromkreis an U eff 2; 00 V, f 200 Hz angeschlossen werdem und durch eine vorgeschaltete Spule mit vernachlässigarem ohmschen Widerstand geschützt werden. ffl Fertige eine Schaltskizze an. ffl Welche Induktivität muss diese Spule mindestens haen, damit das Birnchen nicht durchrennt? 2

3 Lösung a) ffl Schaltskizze : U m C L U ο ffl Ein Kondesator hat ei niedriger Frequenz f einen hohen Widerstand X C, der mit zunehmender Frequenz f animmt. Der Widerstand X L der Spule verhält sich dagegen genau umgekehrt. Somit muss es einen Punkt geen, an dem der Gesamtwiderstand am geringsten ist (esonanzfall). Da die Spannung an Spule und Kondensator um 80 ffi phasenverschoen sind, heen sich diese ei der essonanzfrequenz f 0 exakt auf und es ist praktisch nur noch der ohmsche Widerstand im Stromkreis aktiv, d.h. für die Effektivestromstärke relevant. ffl Dem I/f -Diagramm entnimmt man, dass die esonanzfrequenz f Hz eträgt und ist. Somit gilt für den ohmschen Widerstand U eff I eff I eff (f 0 )8; 5mA () ; 00 V 8; 5mA 8 Ω Im essonazfall sind kapazitiver und induktiver Widerstand gleich groß (da an eiden die gleiche Effektivspannung afallen muss). Aus! L! C folgt für die Induktivität der Spule L! 2 C (2 ß f ) 2 C (2ß 600 Hz) 2 35; 2mH 2; 00 μf ) ffl Für den Scheinwiderstand der Schaltung gilt Z s 2 +! L! C 2 s 8 2 Ω 2 + Somit eträgt die effektive Stromstärke I eff U eff Z 2 ß 200 Hz 35; 2mH ; 00 V 375 Ω Die Teilspannung am ohmschen Widerstand eträgt folglich und an der Spule U I eff 2; 68 ma 8 Ω 2; 68 A 37 mv U I eff X L I eff 2 ß fl2; 68 ma 2 ß 200 Hz 35; 2 mh sowie die Teilspannung am Kondensator U I eff X C I eff 2 ß fc 2; 68 ma ; 07 V 2 ß 200 Hz 2 μf 373 Ω 2 ß 200 Hz 2 μf 9 mv Eine Spule kann in einer Schaltskizze, wenn es nur auf die Induktivität ankommt, auch als ausgefülltes echteck gezeichnet werden. Dies wurde der Einfachkeit haler hier getan. 3

4 ffl Das Zeigerdiagramm dieser Spannungen sieht folgendermaßen aus: ffl Die Phasenverschieung erechnet sich nach tan ' 0 X L X C und daraus trivial der Winkel ' 0 arctan( 3; 00) 44; 2 Ω 397; 9 Ω 8 Ω 7; 5 ffi 3; 00 ffl Die Phasenverschieung in Ahängigkeit der Frequenz f eträgt ψ 2 ß fl! 2 ß fc ' 0 arctan f 6 0 Ist die Frequenz f 0 Hz (Gleichstrom) so ist der Widerstand des Kondensators unendlich hoch und es fließt kein Strom, dessen Phasenveschieung man messen könnte 2. Bei sehr kleinen Frequenzen dominiert also der Kondensator und die Phasenverschieung ist nahezu ' C 90 ffi. Bei der esonazfrequenz ist keine Phasenverschieung vorhanden. Je höher die Frequenz ist, umso mehr dominiert der induktive Widerstand und die Phasenverschieung stret gegen die einer rein induktiven Schaltung mit ' L +90 ffi. Das Schauild sieht also folgendermaßen aus: 2 Es existiert jedoch ein Grenzwert für die Phasenverschieung, der der Phasenverschieung einer rein kondensativen Schaltung entspricht 2 ß fl 2 ß fc ' C lim arctan ß f!0 2 4

5 ϕ/rad ffl Für die Wirkleistung gilt f/hz P I eff U eff cos ' 0 2; 68 ma ; 00 V cos( 7; 5 ffi ) 0; 848 W c) ffl Der induktive Widerstand eträgt hier X L 2ß fl2ß 600 Hz 35; 2 mh 32; 7 Ω Bei f 600 Hz tritt der essonanzfall ein (s.o.), sodass induktiver und kapazitativer Widerstand gleich sind. Die Stromstärke eträgt nach Gl. 8; 5mA. Der Kondensator erreicht seine maximale Feldenergie, ei der höchsten an im anliegenden realen Spannung (nicht der effektiven). Sie eträgt ei ihm Û C p 2 U C;eff p 2 X C I eff p 2 32; 7Ω 8; 5mA; 60 V Sie elektrische Scheitelfeldenergie eträgt also Ê el 2 C Û2 C 2 2 μf ; 602 V 2 2; 56 μj Die höchste magnetische Feldenergie wird ei maximaler Stromstärke erreicht Ê mag 2 L Î2 2 L (p 2 I eff ) 2 LI 2 eff 35; 2mH 8; 52 ma 2 2; 54 μj Bis aus echenungenauigkeiten stimmen also die maximale elektrische und maximale magnetische Feldenergie üerein: Ê el Ê mag ffl Im essonanzfall sind die maximale elektrische und magnetische Feldenergie gleich groß. Nur mit dem Unterschied, dass das Eintreten der Maximalwerte um 80 ffi phasenverschoen ist. Die Energien, die im Kondensator zw. in der Spule gespeichert sind, werden unter allen umständen ohne Energiezw. Wärmeverlust agegeen. Da sowohl Kondensator, als auch die Spule keine Wirkleistung haen, sondern im essonanzfall sogar genau entgegengesetzte Spontanleistungen 3, wird die Energie zwischen Spule und Kondensator ausgetauscht wird. Es lässt sich zeigen, dass im essonazfall zu jedem Zeitpunkt E el + E mag const: gilt. 3 Dies edeutet P Spule P Kondensator 5

6 d) ffl Schaltskizze L U ο ffl Damit das Lämpchen nicht durchrennt, dürfen an ihm maximal,00 V anliegen. Es muss also gelten U ; 00 V Für die am Lämpchen anliegende Spannung gilt U I eff Ueff Z U p eff 2 +(! L) 2 Diese Gleichung lässt sich nach der Induktivität der Spule auflösen p (Ueff ) L 2 (U q ) 2 U! U! Ueff 2 U2 womit sich die Induktivität erechnen lässt 8 Ω p L ; 00 V 2 ß 200 Hz (2; 00 rmv) 2 (; 00V) 2 63 mh Bei 200 Hz fällt also ei einer Induktivität von mindestens 63 mh nicht mehr als,00 V am Lämpchen a und es rennt nicht. 6