Experimentalphysik II Elektromagnetische Schwingungen und Wellen

Transkript

1 Experimentalphysik II Elektromagnetische Schwingungen und Wellen Ferienkurs Sommersemester 2009 Martina Stadlmeier Inhaltsverzeichnis 1 Elektromagnetische Schwingungen Energieumwandlung im Schwingkreis Der LRC-Schwingkreis Erzwungene Schwingung Gekoppelte Schwingkreise Offene Schwingkreise - Hertzscher Dipol Elektromagnetische Wellen Die Wellengleichung und ihre Lösungen Ebene Wellen Periodische Wellen kurzer Überblick Polarisation Energie- und Impulstransport

2 1 Elektromagnetische Schwingungen 1.1 Energieumwandlung im Schwingkreis Obige Abbildung zeigt einen elektromagnetischen Schwingkreis im idealen Fall, das heißt ohne ohmschen Widerstand (= Reibungsverluste ). Es findet eine kontinuierliche Umwandlung zwischen magnetischer Energie ( 1 2 LI2 ) und elektrischer Energie ( 1 2 CU 2 ) statt. Da keine Energie als Joul sche Wärme in Leitung oder Widerstand verloren geht, würde dieser Schwingkreis für immer schwingen. 1.2 Der LRC-Schwingkreis Oben beschriebenens Szenario ist natürlich nicht realisierbar, da immer Reibungsverluste in Form von Leitungswiderständen vorhanden sind. So kommt es ohne äußere Energiezufuhr zu einer gedämpften Schwingung. Nach einmaliger Anregung von außen erhält man folgende DGL: LÏ + R I + 1 C I = 0 Mit dem Ansatz I(t) = A e λt und Einsetzen erhält man schließlich für λ: λ 1/2 = R ± R 2 2L Nun sind drei Fälle zu unterscheiden: Kriechfall R 2 4L 2 > 1 LC λ 1/2 = α ± β 2 1 4L 2 LC

3 I(t) = A 1 e λ 1t + A 2 e λ 2t wobei A 1 und A 2 reell sind und aus den Anfangswerten berechnet werden müssen. Aperiodischer Grenzfall R 2 4L 2 = 1 LC λ 1 = λ 2 = λ R I(t) = e λt (A 1 + ta 2 ) Auch hier sind A 1 und A 2 wieder aus den Anfangswerten zu bestimmen. Gedämpfte Schwingung R2 < 1 Dies ist der interessante, aber auch mathematisch aufwendigere der drei Fälle. Man 4L 2 LC erkennt, dass λ 1 und λ 2 komplex sind. Nun wählt man β = iω wobei ω = die Frequenz sein soll, mit 1 LC R2 4L 2 der der Schwingkreis schwingt. Nun gibt es zwei Wege I(t) zu berechnen: entweder man wählt den komplexen Ansatz oder man bleibt im Reellen. Meistens wird komplex gerechnet: I(t) = e αt [A 1 e iωt + A 2 e iωt ] wobei A 1 = a + ib = A 2 komplex sind. Dies lässt sich mit A = a 2 + b 2 und tan ϕ = b umformen zu: a I(t) = 2A e αt cos(ωt + ϕ) Die andere Möglichkeit besteht darin I(t) sofort als Linearkombination reeller Funktionen zu schreiben: I(t) = a 1 e αt cos ωt + a 2 e αt sin ωt = e αt [a 1 cos ωt + a 2 sin ωt] Mithilfe des Additionstheorems a cos x + b sin x = a 2 + b 2 cos(x + ϕ) mit tan ϕ = b a gelangt man letzlich zu der Lösung: I(t) = e αt a a 2 2 cos(ωt + ϕ) Der Schwingkreis führt also eine gedämpfte Schwingung mit der Resonanzfrequenz ω R aus. ω R = 1 LC R2 4L 2 Die Schwingungsdauer berechnet sich zu T = 2π ω R 3

4 1.3 Erzwungene Schwingung Wird an einen Serienschwingkreis eine äußere Wechselspannung U = U 0 cos ωt angelegt, so schwingt auch der Strom I(t) = I 0 cos(ωt + ϕ) mit konstanter Amplitude I 0 = U 0. Dabei wird am Widerstand R die elektrische Leistung verbraucht: Z P = 1 U0 2R 2 = 1 U Z 2 0 2R 2 R 2 +(Lω 1 ωc )2 Der Leistungsverlust wird für ω = ω 0 = 1 LC maximal: P = 1 U0 2 2 R 1.4 Gekoppelte Schwingkreise Im Alltag Anwendung finden vor allem gekoppelte Schwingkreise. Diese lassen sich induktiv, ohmsch oder kapazitiv koppeln. In diesem Fall ist eine induktive Kopplung dargestellt. Die Differentialgleichungen erhalten dann einen zusätzlichen Term: L 1 Ï 1 + R 1 I C 1 I = L 12 Ï 2 L 2 Ï 2 + R 2 I C 2 I = L 12 Ï Offene Schwingkreise - Hertzscher Dipol Das Aufbiegen des Schwingkreises zu einem sogenannten Hertzschen Dipol führt zu einer Abstrahlung der Energie in den gesamten Raum. In dem Hertzschen Dipol, also einem Stab der Länge l fließt ein Wechselstrom I(z, t) = I 0 (z) sin ωt, der eine stehende Welle im Stab ausbildet. Für die Stabenden gilt deshalb: I(± l ) = 0 2 4

5 λ = 2l n wobei n ganzzahlig. Für die minimale Resonanzfrequenz erhält man daher: ω 0 = 2πf = 2π v ph λ = πn l v ph wobei v ph = ω 0 = π l v ph c µɛ die Phasengeschwindigkeit im Stab ist. Interessant ist vor allem das Fernfeld des Hertzschen Dipols. Es gelten folgende wichtige Zusammenhänge: E B = c Damit erhält man für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes: ω em = ω el + ω mag = 1 2 ɛ 0E µ 0 B 2 = ɛ 0 E 2 ω em = ɛ 0 E 2 Die Energiestromdichte S (=Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Flächeneinheit transportiert wird) berechnet sich : S = c ɛ 0 E 2 = c ω em Für die durch eine Kugelschale im zeitlichen Mittel in den Raum abgestrahlte Leistung P em gilt: P em = ω4 q 2 d πɛ 0 c 3 wobei p 0 = qd 0 das elektrische Dipolmoment ist. 5

6 2 Elektromagnetische Wellen Die von einem Hertzschen Dipol abgestrahlten Felder bilden sogenannte elektromagnetische Wellen. Diese sollen in diesem Kapitel genauer behandelt werden. 2.1 Die Wellengleichung und ihre Lösungen Aus den beiden Maxwell-Gleichungen rot E = B t rot B = 1 c 2 E t erhält man durch Rotationsbildung der ersten Gleichung und anschließendes Einsetzen der zweiten die Wellengleichung für das elektrische Feld (mit = div grad): E = ɛ 0 µ 0 2 E t 2 Analoges lässt sich auch für das magnetische Feld herleiten Ebene Wellen Die einfachsten und am häufigsten verwendeten Lösungen sind die ebenen Wellen. Bei ihnen hängt die Ausbreitungsrichtung nur von einer Koordinate (z.b. z) ab, wodurch sich ergibt: 2 E z 2 = 1 c 2 2 E t 2 Fordert man nun noch einen ladungsfreien Raum (div E = 0), so erhält man ebene, transversale Wellen: E ( r, t) = E (z, t) Periodische Wellen E x (z, t) = f x (z ct) + g x (z + ct) E y (z, t) = f y (z ct) + g y (z + ct) Nicht jede Welle muss peridoisch sein! Auch ein elektromagnetischer Puls kann als Welle bezeichnet werden. Allerdings trifft man in der Physik meistens auf den Spezialfall ebener, periodischer Wellen. Sie lassen sich duch sin- oder cos- Funktionen darstellen: E = E0 sin(kz ωt) Dabei ist k die sogenannte Wellenzahl mit k = 2π, z die Ausbreitungsrichtung λ und ω = 2πc die Kreisfrequenz der Welle. Allgemeiner, also für beliebige Ausbreitungsrichtungen, erhält λ man: E = E0 sin( k r ωt) mit k als Wellenvektor ( k = k = 2π ), der die Ausbreitungsrichtung der Welle λ beschreibt. Manchmal wird auch die komplexe Schreibweise verwendet: E = A0 e i( k r ωt) 6

7 2.1.3 kurzer Überblick Eine elektromagnetische Welle ist ganz allgemein eine beliebige Lösung der Maxwell-Gleichungen im Vakuum. Das bedeutet: die Erfüllung der Wellengleichung allein genügt nicht es muss außerdem gelten: E k, B k und E B Das B -Feld wird beschrieben durch: bisher eingeführte Begriffe: B = 1 ω ( k E ) ebene Welle transversale Welle periodische Welle Ebenen z = const. sind Flächen konstanter Phase E und B stehen senkrecht auf k f(z + λ ct) = f(z ct) 2.2 Polarisation Die Polarisation einer elektromagnetischen Welle ist per Definition die Richtung des elektrischen Feldvektors E. Man unterscheidet zwischen linearer Polarisation ( E 0 = ( E 0x E 0y ) = const), zirkularer Polarisation (E 0x = E 0y, jedoch um 90 phasenverschoben) und elliptischer Polarisation. 2.3 Energie- und Impulstransport Bereits bekannt ist die Energiedichte ω em des elektromagnetischen Feldes: ω em = ω el + ω mag = ɛ 0 E 2 Eine elektromagnetische Welle transportiert diese Energiedichte mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c in Ausbreitungsrichtung k. Die Energie, die pro Zeit durch die Flächeneinheit senkrecht zu k transportiert wird, heißt Energiestromdichte oder Intensität I I = c ɛ 0 E 2 bei linearer Polarisation ( E = ( E 0x E 0y ) cos(ωt k r )) ergibt sich für den zeitlichen Mittelwert: I = 1 2 c ɛ 0E 2 bei zirkularer Polarisation ( E = E 0 ( cos(ωt k r ) sin(ωt k )) ergibt sich für den zeitlichen r ) Mittelwert: I = c ɛ 0 E 2 7

8 Der Poynting Vektor S beschreibt die Richtung des Energieflusses. S = E H S = ɛ0 c 2 ( E B ) S = I und [S] = 1 W m 2 8