4. Gleichungen im Frequenzbereich

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1 Stationäre Geräusche: In der technischen Akustik werden überwiegend stationäre Geräusche untersucht. Stationäre Geräusche sind zusammengesetzt aus harmonischen Schallfeldern p x,t = p x cos t x Im Folgenden wird untersucht, welche Gleichungen für die harmonischen Schallfelder gelten. Mithilfe der Fourier-Transformation lassen sich die Ergebnisse auch auf instationäre Geräusche übertragen. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-1

2 Komplexe Darstellung harmonischer Funktionen: Harmonische Funktionen lassen sich elegant mithilfe der komplexen Exponentialfunktion darstellen. Mit cos = 1 gilt: 2 ei e i p x,t = 1 2 p x ei t e i t = 1 2 p x ei e i t e i e i t Mit der komplexen Amplitude folgt: =R p x e i e i t p x,t =R P x e i t P x = p x e i Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-2

3 Die reelle Amplitude und der Phasenwinkel können aus der komplexen Amplitude bestimmt werden: P x = p x cos i sin R P =P r = p cos I P =P i = p sin p= P = P r 2 P i 2 tan = P i P r Für den zeitlichen quadratischen Mittelwert gilt: p 2 x = 1 2 p2 x = 1 2 P x 2 = 1 2 P x P x Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-3

4 Ableitungen: Aus 4. Gleichungen im Frequenzbereich p x,t =R P x e i t = 1 2 P x ei t P x e i t folgt: p t = 1 2 i P x ei t i P x e i t =R i P x e i t p x,t = 1 2 P x ei t P x e i t =R P x e i t Der Ableitung nach der Zeit entspricht eine Multiplikation mit iω. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-4

5 Impulsgleichung: 4. Gleichungen im Frequenzbereich Wenn der Schalldruck einen harmonischen Zeitverlauf hat, dann hat auch die Schallschnelle einen harmonischen Zeitverlauf: v x,t =R V x e i t Aus folgt: 0 v t = p 0 R i V x e i t = R P x e i t Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-5

6 Da diese Gleichung zu jedem Zeitpunkt t erfüllt sein muss, besteht zwischen den komplexen Amplituden der Geschwindigkeit und des Schalldrucks die Beziehung: i 0 V x = P x Die Gleichung für die komplexen Amplituden folgt aus der Gleichung für die reellen Größen, indem die Ableitung nach der Zeit durch Multiplikation mit i ersetzt wird. Diese Aussage ist für alle linearen Differenzialgleichungen gültig. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-6

7 Materialgesetz: Aus folgt: p t = 0c 2 v i P x = 0 c 2 V x Wellengleichung: Aus folgt: 2 p t 2 c2 2 p=0 2 P x c 2 2 P x =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-7

8 Mit der Wellenzahl k= c = 2 f c = 2 folgt daraus die Helmholtz-Gleichung: 2 P x k 2 P x =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-8

9 Zusammenstellung der Gleichungen: Impulsgleichung Zeitbereich p= 0 v t Frequenzbereich P x = i 0 V x Materialgesetz p t = 0c 2 v P x =i 0c 2 V x Wellengleichung c 2 2 p 2 p t 2 =0 2 P x k 2 P x =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.4-9

10 Bemerkung: Wegen R P x e i t =R P x e i t kann auch eine Zeitabhängigkeit der Form werden. e i t gewählt Dann treten in den Gleichungen jeweils die komplex konjugierten Größen auf. Der Ableitung nach der Zeit entspricht dann eine Multiplikation mit i. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

11 Intensität: 4. Gleichungen im Frequenzbereich Im Frequenzbereich wird der über eine Periode gebildete zeitliche Mittelwert der Intensität verwendet: Für die Intensität gilt: T I T = 1 T 0 I t dt I t = p t v t =R P e i t R V e i t = 1 4 P e i t P e i t V e i t V e i t = 1 4 P V P V P V e 2i t P V e 2i t = 1 2 R P V P V e 2i t Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

12 Mit T 0 e 2i t dt= 1 2i e 2i T 1 = 1 2i e 4 i 1 =0 folgt für den zeitlichen Mittelwert: I T = 1 2 R P V = 1 2 R P V Der zeitliche Mittelwert der Intensität ist ein reeller Vektor. Das Produkt dieser Größe mit der Dauer einer Periode gibt an, wie viel Energie in einer Periode durch ein Flächenelement transportiert wird. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

13 Bei einem stationären Geräusch ist der zeitliche Mittelwert der akustischen Energiedichte konstant. Während einer Periode muss also genauso viel Energie in ein Raumgebiet G hinein fließen wie abfließen: Mit dem Integralsatz von Gauß folgt daraus: G I T n ds=0 I T =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

14 Absorption: 4. Gleichungen im Frequenzbereich Im Frequenzbereich werden absorbierende Flächen durch eine komplexe Impedanz beschrieben, die im Allgemeinen von der Frequenz abhängt: Der Realteil Z r heißt Resistanz und der Imaginärteil Z i heißt Reaktanz. Für die in einer Periode pro Fläche absorbierte Energie gilt: W a Z =Z r i Z i S =T I n T = T 2 R P V n = T 2 R Z V n V n = T 2 Z r V n 2 Die absorbierte Energie hängt nur von der Resistanz ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

15 Ebene Wellen: 4. Gleichungen im Frequenzbereich Aufgabenstellung: Gesucht ist eine Lösung der Helmholtzgleichung, die nur von x abhängt: P x, y, z =P x Dadurch reduziert sich die Helmholtzgleichung auf Allgemeine Lösung: Komplexer Schalldruck: Die komplexen Konstanten P R und P L werden durch die Randbedingungen festgelegt. d 2 P d x 2 k 2 P=0 P x = P R e i k x P L e i k x Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

16 Für den reellen Schalldruck gilt: p x, t =R P x e i t =R P R e i t k x P L e i t k x =R P R cos t k x I P R sin t k x R P L cos t k x I P L sin t k x =2 c/ k=2 / p x,t =R P R cos 2 c t x I P R sin 2 c t x R P L cos 2 ct x I P L cos 2 c t x = f R c t x f L ct x Mit und folgt: Die Lösung besteht aus einer nach rechts und einer nach links laufenden Welle. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

17 Schallschnelle: Die Schallschnelle berechnet sich zu V x = 1 i 0 P x = i k i 0 P R e i k x P L e i k x = 1 0 c P R e i k x P L e i k x Intensität: Zunächst gilt: I x T = 1 2 R P V x = c R [ P R e i k x P L e i k x P R e i k x P L e i k x ] = c R P R P R P L P L P L P R e 2i k x P R P L e 2i k x Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

18 P L P R e 2i k x P R P L e 2 i k x =2i I P L P R e 2 i k x Mit folgt: I x T = P R 2 P L c p 2 R p L2 = 0 c Die Vorzeichen geben an, in welche Richtung die Energie durch eine Fläche senkrecht zur x-achse fließt. n x Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

19 Kugelwellen: 4. Gleichungen im Frequenzbereich Aufgabenstellung: Gesucht ist eine Lösung der kugelsymmetrischen Helmholtz- Gleichung d 2 r P k 2 r P =0, d r 2 die die Sommerfeld-Bedingung erfüllt: Allgemeine Lösung: [ lim r dp r dr i k P ] =0 Die allgemeine Lösung für den komplexen Schalldruck lautet: P r =C e i k r r Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

20 Sie beschreibt eine nach außen laufende Welle: p r,t = 1 r R C ei t k r = 1 r [ R C cos t k r I C sin t k r ] = 1 r [ R C cos 2 c t r I C sin 2 c t r ] = 1 r f c t r Eine zweite Lösung der Helmholtz-Gleichung ist: P r =C ei k r r Diese Lösung erfüllt jedoch nicht die Sommerfeld-Bedingung. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

21 Schallschnelle: Die Schallschnelle berechnet sich zu V r = 1 i 0 dp dr = 1 i k 0 c dp dr = C i k 0 c i k 1 e i r k r r = P 0 c 1 1 i k r Für r gilt: 1 k r = 2 r 1 V r P 0 c Der Bereich, für den der Radius groß im Vergleich zur Wellenlänge ist, wird als Fernfeld bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

22 Intensität: 4. Gleichungen im Frequenzbereich Die Intensität berechnet sich zu I r T = 1 2 R P V r = 1 2 R [ P P 0 c 1 i ] k r = 1 P c = p2 0 c Für die Energie, die während einer Periode durch eine Kugelfläche mit Radius R fließt, gilt: W =4 R 2 I r T T = 2 R2 0 c C 2 R 2 T = 2 0 c C 2 T Durch jede Kugelfläche fließt die gleiche Energie. Der zeitliche Mittelwert der akustischen Energie in dem Gebiet zwischen zwei Kugelflächen ist zeitlich konstant. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik