Dieter Suter Physik B

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1 Dieter Suter Physik B 4.5 Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung In vielen Fällen schwingt ein Syste nicht frei, sondern an führt ih von außen Energie zu, inde an eine periodische Kraft a schwingenden Syste angreifen lässt. Exp. I 69: Pohl'sches Rad In diese Beispiel wird ein Drehpendel über einen Exzenter angeregt. Ein getriebener Oszillator, resp. eine erzwungene Schwingung wird durch folgende Bewegungsgleichung beschrieben: ẍ + 2 b ẋ + w o 2 x = K(t)/, wobei K(t) eine äußere Kraft beschreibt, welche hier als periodisch angenoen wird Energiebillanz Typische Beispiele sind ein Uhrwerk oder eine Klingel. I Uhrwerk stat die Energie von eine Gewicht oder eine Feder. In einer Klingel wird eine elektroagnetische Kraft verwendet, welche durch die echanische Bewegung ein und ausgeschaltet wird. Die äußere Kraft leistet a Syste Arbeit, so dass die Energie des Systes zu, aber auch abnehen kann. Dies hängt davon ab ob die Kraft in Richtung der Geschwindigkeit oder in entgegengesetzter Richtung wirkt. Wir berechnen die de Syste zugeführte Leistung P = F v durch Multiplikation der obigen Gleichung it ẋ: P = K(t) ẋ = ẍ ẋ + 2 b ẋ2 + w o 2 x ẋ.

2 Dieter Suter Physik B Wir verwenden w o 2 = c und schreiben den ersten und dritten Ter u: P = d dt ( 2. x 2 + c 2 x2 ) + 2 b ẋ2. Die beiden Tere in der Klaer stellen gerade die kinetische und potenzielle Energie des schwingenden Systes dar. Die extern geleistete Arbeit fließt soit zu einen in die Änderung der echanischen (kinetischen plus potenziellen) Energie, der Rest kopensiert die Reibungsverluste, die de Syste Energie entziehen. Die zugeführte Leistung ist positiv wenn K(t) und ẋ das gleiche Vorzeichen haben, d.h. wenn Kraft und Geschwindigkeit in Phase sind. Ist die Kraft hingegen it de Ort in Phase, also gegenüber der Geschwindigkeit 90 Grad außer Phase, so wird de Syste abwechselnd Energie zugeführt und wieder entzogen. Über eine Schwingung geittelt verschwindet die zugeführte Energie Lösungsweg Die Bewegungsgleichung ist eine lineare, inhoogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die allgeeine Lösung eines solchen Systes wird durch zwei linear unabhängige Funktionen aufgespannt, welche zusaen zwei freie Paraeter enthalten, die durch die Anfangsbedingungen bestit werden. Der einfachste Weg zur allgeeinen Lösung folgt de Rezept allg. Lsg. der inh. DGl. = allg. Lsg. der hoog. Dgl + beliebige Lsg der inh. Dgl. Die hoogene Differentialgleichung entspricht de freien haronischen Oszillator, den wir bereits in Kapitel 4.4 diskutiert haben. Die entsprechende Lösung x(t) = e -bt (A 1 e iw st + A 2 e -iw st ) = e -bt A cos(w s t + f). w s = (w o 2 - b 2 ) 1/2 können wir übernehen. Jetzt benötigen wir zusätzlich eine (beliebige) Lösung der inhoogenen Gleichung.

3 Dieter Suter Physik B Eine relativ einfache Lösung, die auch häufig von spezielle Interesse ist, ist die stationäre Lösung, d.h. der Zustand, der sich einstellt wenn die Anfangsbedingungen nicht ehr relevant sind. Wir betrachten dafür nur eine spezielle For der äußeren Kraft, nälich eine haronische Anregung. Wir verwenden hier die koplexe Schreibweise K(t) = K 0 e iwt, wobei die physikalische Kraft de Realteil entspricht, K p (t) = K 0 cos(wt). Für die Lösung achen wir den Ansatz, dass das Syste der äußeren Kraft it dessen Frequenz folgt, d.h. wir setzen x(t) = a(w) e iwt = A(w) e i(wt+f), it a(w) = A(w) e if als Aplitude in koplexer Schreibweise, und A(w), f(w) reelle Aplitude und Phase Stationäre Lösung Offenbar sind für diesen Ansatz die Ableitungen. x(t) = i w a(w) e iwt = i w x(t), x (t) = - w 2 x(t). Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt Auflösen nach a ergibt (- w i b w + w 0 2 ) a(w) = K 0 /. a(w) = A(w) e if = K 0 1 -w 2 + 2iwb + w 0 2. Dies ist bereits die Lösung in koplexer Schreibweise. Offenbar ist die Antwort des Systes proportional zur äußeren Anregung. Diese Proportionalität wird geschrieben als wobei a(w) = K 0 Y(iw),

4 Dieter Suter Physik B Y(s) = 1 s 2 + 2bs + w 0 2 die koplexe Transferfunktion des Systes darstellt. Sie stellt das Verhältnis zwischen einer haronischen äußeren Kraft und der Antwort des Systes dar. Diese einfache Beziehung gilt natürlich nur weil das Syste linear ist Real und Iaginärteil Die physikalische Auslenkung entspricht de Realteil der koplexen Funktion x p (t) = Re{a(w) e iwt } = Re{a(w)} cos(wt) - I{a(w)} sin(wt). Soit beschreibt der Realteil von a(w) die In-Phase Koponente der Auslenkung, der I- aginärteil den Außer-Phase Teil. Wir können Real und Iaginärteil erhalten inde wir it de konjugiert-koplexen des Nenners erweitern: a(w) = K 0 (- w2-2 i w b + w o 2 )/[(- w i w b + w o 2 ) (- w 2-2 i w b + w o 2 )] Soit sind = K 0 (w o 2 - w 2-2 i w b)/[(w o 2 - w 2 ) w 2 b 2 ]. Re[a(w)] = K 0 (w o 2 - w 2 )/[(w o 2 - w 2 ) w 2 b 2 ]. I[a(w)] = - K 0 2 w b /[(w o 2 - w 2 ) w 2 b 2 ]. Offenbar ist dies i Wesentlichen eine Funktion der Frequenz w, d.h. der Frequenz it der die äußere Kraft oszilliert. Mit w o 2 - w 2 = (w o + w) (w o - w)

5 Dieter Suter Physik B findet an zwei Maxia bei w = ± w 0. Ein interessanter Grenzfall ist derjenige für kleine Frequenzen: Wenn die Frequenz der äußeren Anregung gegen Null geht, w Æ 0, verschwindet offenbar der Iaginärteil, während Re[a(0)] = K 0 w o 2 /((w o 2 ) 2 = K 0 /( w o 2 ) = K 0 /c. Die Auslenkung ist soit gerade durch die Federkonstante c gegeben, in Übereinstiung it de Hooke schen Gesetz und unserer Erwartung für den Fall einer zeitunabhängigen äußeren Kraft. In vielen Fällen interessiert an sich in erster Linie für das Verhalten in der Nähe der Resonanzen. Sind diese gut isoliert, d.h. ist die Däpfung nicht zu groß, so kann an sie getrennt diskutieren. Matheatisch erreicht an das, inde an w ~ w 0 setzt. Dadurch vereinfacht sich der Ausdruck i Nenner zu: (w o 2 - w 2 ) 2 = (w o + w) 2 (w o - w) 2 ~ 4w o 2 (w o - w) 2. Wie die linke Figur zeigt betrachtet an dann nur noch den Beitrag der Resonanz bei positiven Frequenzen. Positive und negative Frequenzen können z.b. Rotationen in unterschiedliche Richtungen beschreiben. In der Figur sind Realteil und Iaginärteil der koplexen Aplitude als Funktion der Frequenz w dargestellt für K 0 / = 1, w 0 = 1, b = Wesentlich ist, dass es sich u ein resonantes Verhalten handelt: Der Realteil, also der in-phase Teil wächst zunächst it zunehender Frequenz, bis er bei w 0 b ein Maxiu erreicht. Mit weiter zunehender Frequenz nit er wieder ab und geht auf der Resonanzfrequenz w 0 durch 0. Hier erreicht jedoch der Iaginärteil sein Maxiu. Die Breite der Resonanzlinie ist gegeben durch die Däpfungskonstante b Resonante Anregung Ein weiterer wichtiger Spezialfall ist derjenige für w = w 0 : Re[a(w 0 )] = 0. I[a(w 0 )] = - K 0 2w 0 b 4w 02 b = - K w 0 b = - K 0 c w 0 2b.

6 Dieter Suter Physik B Der Realteil verschwindet also bei der Resonanzfrequenz, während der Iaginärteil sein Maxiu erreicht. Das Maxiu ist proportional zu Verhältnis der äußeren Kraft zur Kraftkonstante des Systes, und zu Verhältnis der Resonanzfrequenz zur Däpfung. Dieses Verhältnis wird auch als Gütefaktor des Systes bezeichnet. Bei echanischen Systeen ist es typischerweise in der Größenordnung von einigen 10 bis einigen 100. In atoaren Systeen kann diese Kreisgüte jedoch bis auf ehr als anwachsen. Entsprechend ist die Resonanzüberhöhung dort extre groß. Das Verhalten kann it diese Experient Exp 95, 95a, 96: Getriebene Schwingung schön gezeigt werden. Das Pendel wird it eine Motor it variabler Frequenz angetrieben. Bei kleinen Geschwindigkeiten schwingt das Pendel in Phase it der äußeren Kraft; die Aplitude bleibt klein. Wenn wir die Geschwindigkeit des Motors, d.h. die Drehzahl, resp. Frequenz, erhöhen, gelangen wir in die Nähe der Resonanzfrequenz, wo die Auslenkung des Pendels sehr groß wird. Video: Tacoa Narrows Bridge Collapse Die Aplitude einer Schwingung kann sehr groß werden und zur Zerstörung des Objektes führen Absolutbetrag und Phase Wir können daraus auch Absolutbetrag und Phase erhalten, z.b. als und A(w) = (Re[a(w)] 2 + I[a(w)] 2 ) 1/2 = K 0 1/((w o 2 - w 2 ) w 2 b 2 ) 1/2. tan(f) = - I[a(w)] / Re[a(w)] = - 2 b w / (w 2 - w o 2 ). Offenbar erreicht der Absolutbetrag sein Maxiu für w = (w b 2 ) 1/2.

7 Dieter Suter Physik B Die Figur zeigt Aplitude und Phase für die gleichen Paraeter wie oben. Die Aplitude erhält offenbar eine starke Überhöhung in der Nähe der Resonanzfrequenz w = w 0. Für kleinere Frequenzen ist die Phase 0, d.h. das Syste schwingt in Phase it der äußeren Anregung. Auf der Resonanz beträgt die Phase π/2, und für größere Frequenzen hinkt das Syste u 180 Grad hinter der Anregung her. Wir können dieses Verhalten i Experient anhand eines gedäpften elektronischen Schwingkreises beobachten. Exp.: RLC Kreis stationär Bei geringer Däpfung ist die Resonanzlinie sehr schal. Die Aplitude ist hoch, die Phase wechselt rasch. Mit zunehender Däpfung wird das Maxiu niedriger und breiter, ebenso der Phasenwechsel. Die Resonanzfrequenz, also die Frequenz, bei der die Aplitude axial wird, sinkt it zunehender Däpfung. Bei geringer Däpfung fällt das Maxiu der Aplitude it der Phasenverschiebung u π/2 zusaen. Dies ist leicht einsichtig wenn wir die a Syste geleistete Arbeit betrachten: Diese ist allgeein gegeben als K(t) ẋ(t). Wenn die Phase bei π/2 liegt, so ist die Auslenkung gegenüber der Kraft x(t) = A(w) e i(wt +f) = - A(w) i e iwt K(t) = K 0 e iwt gerade u 90 Grad außer Phase. Die Geschwindigkeit. x(t) = - i i A(w) w e iwt = A(w) w e iwt

8 Dieter Suter Physik B ist gerade in Phase it der äußeren Kraft, so dass die a Syste geleistete Arbeit axial wird. Das Syste erreicht dann einen stationären Zustand, wenn die hinein fließende Arbeit gerade gleich der heraus fließenden ist. Diese ist durch die Däpfung gegeben, so dass die Aplitude auf der Resonanz A(w 0 ) = K 0 1 2w 0 b und dait indirekt proportional zur Däpfungskonstante b wird. Dies entspricht de Resultat das wir für den außer Phase Teil erhalten hatten Einschwingvorgang Nachde wir die allgeeine Lösung der hoogenen Gleichung (der freie gedäpfte haronische Oszillator) und eine spezielle Lösung der inhoogenen Gleichung (die stationäre Lösung) diskutiert haben, können wir die allgeeine Lösung der inhoogenen Gleichung als Sue der beiden diskutieren. Der freie gedäpfte Oszillator führt eine Schwingung it der Resonanzfrequenz durch, welche exponentiell gedäpft ist. Die spezielle Lösung der inhoogenen Gleichung ist die stationäre Lösung, d.h. eine Schwingung it konstanter Aplitude und der Frequenz der äußeren Störung. Die allgeeine Lösung der inhoogenen Gleichung entspricht soit einer Superposition dieser beiden Lösungen. Für lange Zeiten sollte das Syste sich de stationären Zustand nähern. Für kurze Zeiten wird sich das Syste ähnlich wie der freie Oszillator bewegen. In diese Bereich erwartet an eine Überlagerung der freien Schwingung it der getriebenen, und dait eine Schwebung. Exp: Getriebene Schwingung it schwacher Däpfung Dieses Verhalten kann gut beobachtet werden, wenn wir bei der getriebenen Schwingung die Däpfung gering halten. Der Einschwingvorgang, der bei der Frequenz des freien Oszillators liegt, überlagert sich der Schwingung, it der das Syste der externen Anregung folgt.