Signale und ihre Spektren

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1 Einleitung Signale und ihre Spektren Fourier zeigte, dass man jedes in der Praxis vorkommende periodische Signal in eine Reihe von Sinus- und Cosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenz zerlegt werden kann. Diese Zerlegung wird Fourier- oder harmonische Analyse genannt. Stellt man die Amplituden der erhaltenen Schwingungen in Funktion der Frequenz dar, erhält man das Spektrum des analysierten Signals. Die Fourieranalyse und synthese verknüpft also den Zeitbereich mit dem Frequenzbereich. Die Fourieranalyse und synthese sind von grosser technischer und theoretischer Bedeutung. Viele Signaleigenschaften, wie zum Beispiel die benötigte Bandbreie oder der Klirrfaktor lassen sich viel leichter aus dem Spektrum bestimmen als aus der dazugehörigen Zeitfunktion. Bei anderen Freagestellungen wiederum ist die Betrachtung im Zeitbereich sinnvoller. Beispiele dafür sind Signalverzerrungen bei gegebenem Amplituden- und Phasengang oder Einschaltvorgänge bei Filtern. Fourieranalyse Weil in der Elektrotechnik die Fourieranalyse praktisch ausschliesslich für Beziehungen zwischen dem Zeit- und dem Frequenzbereich herangezogen wird, beschränken wir uns im folgenden auf diese beiden Bereiche. Dies sollte aber nicht den Schluss nahe legen, dass dies für alle anderen Disziplinen auch so sein muss. Im Bereich der Optik wird zum Beispiel mit mechanischen Distanzen und reziproken Wellenlängen gerechnet. Jeder periodische und zumindest stückweise stetige Funktion lässt sich wie folgt in cos- und sin-anteile zerlegen: [] f ( a + a cos( ω + a b sin( ω + b cos(ωt ) a sin(ωt ) b i i cos( iω + sin( iω π mit ω : Periodendauer Laborübung Seite

2 Eine Funktion f( heisst periodisch, wenn für jeden beliebigen Zeitpunkt gilt: [] f(t+) f( Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten ai und bi werden die sogenannten Orthogonalitätsrelationen ausgenützt. Es gilt nämlich: und sowie [3] [4] cos( mω cos( nω dt ; sin( mω sin( nω dt ; ; n m π n m ; n m π n m sin( mω cos( nω dt Wegen [3] und [4] können die Koeffizienten a i und b i der Zerlegung [] wie folgt bestimmt werden: [5] ai f ( cos( iω dt i,,,... und [6] bi f ( sin( iω dt i,,3,... Mann beachte, dass in [] nur der halbe Wert von a, der aus [5] berechnet wird, einzusetzen ist. In der Elektrotechnik entspricht a / in der Regel einem Gleichspannungsoder Gleichstromanteil. Laborübung Seite

3 Aufgrund der Euler-Beziehung ϕ [7] e j cosϕ + j sinϕ kann [] auch wie folgt dargestellt werden: [8] + jωti π f ( e ci ω ; i N i Zwischen den a i, b i und c i bestehen folgende Beziehungen: [9] und [] c c + i i ai jbi ai + jbi [9] und [] sind zueinander konjugiert komplex. Sind auf Grund einer Messung oder durch Berechnung die Fourierkoeffizienten bekannt, dann kann auch die entsprechende Zeitfunktion aus [] oder [8] wiedergewonnen werden. An einer bestimmten Stelle t ergibt sich f( aus der Summe aller harmonischen Anteile: Wenn also f( z.b. mit einem Rechner Punkt für Punkt bestimmt werden soll, muss für jeden Zeitpunkt t die Summe wieder neu errechnet werden. Fast Fourier ransform FF Bei vielen technischen Problemen ist die Zeitfunktion nicht explizit bekannt. Die Messwerte können zum Beispiel aus einer Messung mit einem digitalen Speicher-KO stammen. Für solche Fälle wurden numerische Verfahren entwickelt, die besonders einfach werden, wenn die Abstände zwischen den Messwerten konstant sind (äquidistan und wenn die Anzahl Werte eine Zweierpotenz ist. Diese Verfahren sind unter dem Sammelbegriff Fast Fourier ransformation oder FF bekannt. Weitere Informationen entnehme man dem Artikel im Anhang. Laborübung Seite 3

4 Klirrfaktor Der Klirrfaktor ist ein Mass für den Oberwellengehalt eines Signals. Mit ihm werden vor allem die nichtlinearen Verzerrungen einer Verstärkerstufe oder eines aktiven Netzwerks spezifiziert. Der Klirrfaktor ist durch folgende Formel definiert: [] k n n : Grundschwingung :. Oberwelle usw. Laborübung Seite 4

5 Da aber die Grundschwingung relativ schwer zu messen ist, wird der Klirrfaktor meist in der folgenden Form angegeben: falls >> n ; n gilt näherungsweise [] k n n n n Der Nenner entspricht dem Effektivwert des Gesamtsignals. Der Klirrfaktor wird in der Praxis meist mit einer Klirrfaktormessbrücke gemessen. Mann kann ihn aber auch durch Analyse des Spektrums bestimmen. Funktionsweise der Klirrfaktormessbrücke Die Funktion wird anhand des untenstehenden Blockschaltbilds verdeutlicht: Zuerst wird mit Hilfe eines Breitband-RMS-Voltmeters der Effektivwert des Gesamtsignals gemessen. Der Funktionsschalter seht zu diesem Zeitpunkt auf Set Level, die Wienbrücke ist somit ausser Funktion. Das Voltmeter wird durch Abgleichen des Sensitivity-Reglers zum Vollausschlag gebracht, was einem Abgleich auf % entspricht (Veff% Klirrfaktor). Nun wird der Funktionsschalter auf Distorsion geschaltet. Die Wien Robinson Brücke ist aktiv. Mit ihr wird die Grundfrequenz des Eingangssignals unterdrückt. Das mit dem Voltmeter gemessene Signal entspricht der Summe im Zähler des Ausdruckes [], also der geometrischen Summe der Oberschwingungen. Der Zeigerausschlag entspricht gerade dem Klirrfaktor des Messsignals. Laborübung Seite 5

6 Wien Robinson Brücke In vielen Klirrfaktormessgeräten werden Wien Robinson Brücken eingesetzt um die Grundschwingung des Messsignals zu unterdrücken. Sie erlauben bei geeigneter Bauweise die Grundschwingung bis zu 6 db zu unterdrücken. Die Wien Robinson Brücke besteht aus einem frequenzunabhängigen Spannungsteiler R, R. Dieser bildet zusammen mit einem RC-Bandpass eine Brückenschaltung. Die Übertragungsfunktion der beiden Brückenzweige lautet: > A R in R + R in jωrc + 3 jωrc ω R C out in jωrc out + 3 jωrc ω R C R + R R Da die Dämpfung der Wienbrücke bei der Grenzfrequenz ω g maximal sein soll, RC müssen die beiden erme der Übertragungsfunktion gleich gross sein. R j R + R + 3 j 3 > R R Mir R R erhalten wir die definitive Übertragungsfunktion. ω R C A 3( + 3 jωrc ω R C ) Laborübung Seite 6

7 Ziel der Aufgabe Im Rahmen des Praktikums sollen die theoretisch bekannten Beziehungen an praktischen Beispielen nachgeprüft werden. Aufgabenskizze Die mit verschiedenen Methoden gewonnenen Resultate sollen miteinander verglichen werden. Laborübung Seite 7

8 Aufgaben Zur Durchführung dieser Laborübung sind 4 Lektionen vorgesehen. In den ersten zwei Lektionen sollen die Aufgaben bis 3 gelöst werden.. Zeichnen Sie eine periodische Funktion und bestimmen Sie analytisch die Fourierkoeffizienten und den Klirrfaktor.. Entwickeln Sie ein JAVA-Programm, welches an 5 äquidistanten Stützstellen die Funktionswerte vom yp BYE errechnet, damit ein diskretes Abbilde der gegebenen Funktion in ein EPROM gespeichert werden kann. Das Programm soll auch eine ASCII-Datei (.da erstellen, die später vom Programm ANALYSER gelesen werden kann. (Siehe auch Programmbeispiel Sinus im Anhang) 3. Berechnen Sie mit Hilfe der FF aus den aus Aufgabe gewonnen Werten die Fourierkoeffizienten! Zur Berechnung können Sie das Programm ANALYSER verwenden. 4. Programmieren Sie das EPROM gemäss Anleitung im Anhang. 5. Das EPROM aus Aufgabe 4 ergibt mit einem D/A-Wandler ein Funktionsgenerator, mit einer Ausgangsspannung, die annähernd der gegebenen Zeitfunktion entspricht. Die so gewonnen Ausgangsspannung soll mit einem Spektrumanalyser gemessen werden. (Beschreibung im Anhang) Beachte: Die mit dem Spektrumanalyser gemessenen Amplituden entsprechen: A a + b ieff ieff ieff 6. Aus dem in Aufgabe 5 gemessenen Spektrum, soll nun der Klirrfaktor bestimmt werden. 7. Messen Sie den Klirrfaktor mit der Klirrfaktormessbrücke und vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit den oben bestimmten Werten. 6. Feb. 993 P. Raemy Laborübung Seite 8

9 Anhang // Sinus.java // // generates two files : sinus.bin these data will be stored in EPROM // sinus.dat signal to be ploted with ANALYSER // and also for FF analysis // // 5 data points over one full sinwave periode are calculated // // P. Raemy // import java.io.*; public class Sinus{ public static void main(string[] args){ int N 5; double.e-3; double omega. * Math.PI / ; // f 5 Hz try{ FileOutputStream dat_out new FileOutputStream("SINS.DA"); DataOutput analyser new DataOutputStream(dat_ou; FileOutputStream bin_out new FileOutputStream("SINS.BIN"); DataOutput eprom new DataOutputStream(bin_ou; // header for ANALYSER analyser.writebytes(" Sinewave 5 data points\r\n"); // title over graphics analyser.writebytes("x ime in s\r\n"); // inscription for X axis analyser.writebytes("y Amplitude in V\r\n"); // inscription for Y axis for (int i ; i < 5; i ++) { double t / N * i; // time double y Math.sin(omega * ; // amplitude analyser.writebytes(string.valueof((floa+" "+String.valueOf((floay)+"\r\n"); byte b (byte) ((y + )* 7.5); eprom.writebyte(b); } dat_out.close(); bin_out.close(); } catch(ioexception e) {System.out.println("exeption");} } } // EPROM data Laborübung Seite 9