Das zeitabhängige Elektromagnetische Feld. Elektromagnetische Wellen

Transkript

1 Kapitel 4 Das zeitabhängige Elektromagnetische Feld. Elektromagnetische Wellen Nach Untersuchung des elektrostatischen und magnetostatischen Feldes in den letzen Kapiteln, kehren wir jetzt zum allgemeinen Fall des zeitabhängigen Feldes zurück. Die Bewegungsgleichungen kennen wir bereits die vier Maxwell-Gleichungen. Der interessante neue Aspekt ist die wechelseitige Beeinflussung von elektrischem und magnetischem Feld über die Terme mit den Zeitableitungen der Feldstärken. 4.1 Freie Wellen im Vakuum Zunächst betrachten wir elektromagnetische Wellen im Vakuum, das heißt ohne materielle Ladungsträger: und ρ = 0 j = 0 Die Maxwell-Gleichungen nehmen dann folgende Gestalt an: dive = 0 divb = 0 rote = 1 cḃ rotb = 1 cė Nun sind Ė und Ḃ ungleich Null. Es sind also keine statischen Felder mehr erlaubt. Wir finden nun durch Umformen der obigen Form der Maxwell-Gleichungen die Wellengleichungen für die Felder. Wir wenden die Rotation auf die dritte Maxwell-Gleichung an: Analog folgt für das Magnetische Feld: rotrote = (graddiv )E 1 cḃ = graddive E }{{} =0 1 c2ë = E E 1 c 2Ë = 0 B 1 c 2 B = 0 Diese Gleichungen sind homogene Wellengleichungen (elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordung). Diese Kombination von Orts- und Zeitableitungen fassen wir zum Wellenoperator zusammen. Im Vakuum gelten die homogenen Wellengleichungen: E(r,t) = 0 (4.1) B(r,t) = 0 (4.2) 81

2 82 KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD Hierbei ist zu beachten, dass der Box-Operator ebenso wie der Laplace-Operator auf jede Komponente der Felder wirkt. Man hat also eigentlich sechs Gleichungen. Für die Potentiale A und Φ gelten ebenfalls Wellengleichungen. Für das Vektorpotential gilt dies in Lorentz- und Coulombeichung, für das skalare Potential gilt dies nur in der Lorentzeichung. Wir wählen daher die Lorentzeichung. Im Vakuum gelten in der Lorentzeichung für die Potentiale A und Φ: Φ = 0 (4.3) A = 0 (4.4) Da die Wellengleichung gewonnen wurde in dem man den Rotation-Operator auf die Maxwell-Gleichung angewendet hat, ist es möglich, dass sich die Lösungsmenge geändert hat. Interessant sind für uns nur die Lösungen, die alle Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen erfüllen. Man beachte, dass die Bezeichnung Wellengleichung etwas missverständlich ist, da die Lösungen nicht notwendigerweise periodisch im Raum und in der Zeit sind, wie wir unten sehen werden Ebene elektromagnetische Wellen Wir haben nun also folgende Gleichung zu lösen: f(r,t) = 0 Hierbei ist f {Φ,E i,b i,a i }. Sei nun n ein beliebiger Einheitsvektor und f genügend oft stetig differenzierbar. Später werden wir sehen, dass n die Ausbreitungsrichtung angibt. Behauptung: Die Lösung der Wellengleichung f(r, t) = 0 ist gegeben durch: Hierbei definieren wir: Beweis: Wir zeigen durch Einsetzen: f(r,t) = f(n r ct) = f[α(r,t)] (4.5) f(r,t) = f(n r ct) α(r,t) := n r ct = f(n r ct) 1 2 c 2 t2f(n r ct) = 2 x 2f(α)+ 2 y 2f(α)+ 2 z 2f(α) 1 c 2 2 t 2f(α) = [ 2 x 2α+ 2 y 2α+ 2 z 2α] 2 f(α) α 2 = [n 2 x +n 2 y +n 2 z] 2 f(α) }{{} α 2 =1 = α 2 f(α) c 2 t 2 α 2 1 c 2 c2 2 f(α) α 2 Damit wurde gezeigt, dass unser f die homogene Wellengleichung löst. Die Voraussetzung, dass n ein Einheitsvektor ist, war notwendig damit sich die Terme wegheben. Diese gefundene Lösung wollen wir nun auf ihre Eigenschaften untersuchen. Man nennt die Funktion α(r, t) auch die Phase. Sie charakterisiert den geometrischen Ort und die Zeit gleicher Feldstärke (bzw. gleichen Potentials), da wenn α = const auch f(α) = const gilt. Betrachten wir einen beliebigen konstanten Zeitpunkt t 0 und verlangen α = α 0 = const, so folgt und damit muss für eine konstante Phase n r = α 0 +ct 0, n r = const

3 4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM 83 erfüllt sein. Diese Gleichung beschreibt eine Ebene in Normalenform. Alle Punkte gleicher Phase(z.B. constanter Feldstärke) liegen also in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dies kann man einsehen, da für eine späteren Zeitpunkt t 1 > t 0 die Projektion n r gewachsen sein muss, um konstante Phase zu gewährleisten. Die Ebene breitet sich also in n-richtung ohne Deformation mit Geschwindigkeit c aus. Die Geschwindkeit sieht man wie folgt ein: d dt r = d dt n r = c v = c t 0 t 1 r 0 r n Abbildung 4.1: Ausbreitung der Ebene gleicher Phase in n-richtung vom Zeitpunkt t 0 bis t 1. Die ebene Welle erfüllt zwar die Wellengleichung, ist aber eine Idealisierung realer Wellen, die immer nur von einem endlich ausgedehnten Sender ausgestrahlt werden können (sonst würde die Welle eine unendlich hohe Energie besitzen). Eine ebene Welle würde eine Randbedingung erfordern, die auf einer unendlich ausgedehnten Ebene gegeben ist, was unphysikalisch ist. Allerdings können zum Beispiel Kugelwellen (dies besprechen wir etwas später) in großem Abstand zum Sender in guter Näherung als ebene Wellen angesehen werden [Nol11] Orientierung der Feldvektoren Wir möchten nun herausfinden, ob unsere Lösung Informationen über die Orientierung der Felder zueinander enthält. Wir haben also die Lösung für das Vektorpotential A: und können das Magnetfeld wie gewohnt berechnen: A(r,t) = A(n r ct) B(r,t) = rota(α) = A(α) y A z (α) z A y (α) = z A x (α) x A z (α) x A y (α) y A x (α) = = α A z y α α A y z α α A x z α α A z x α α A y x α α A x y α α x α y α z α A(α) = n α A(α)

4 84 KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD Also wissen wir bereits, dass B(r,t) n gilt. Nun betrachten wir das elektrische Feld, für welches E(r,t) = gradφ(α) 1 cȧ(α), gilt. Außerdem wissen wir aus der gewählten Lorentzeichung: diva+ 1 c Φ = 0, wobei Φ and A nur von α abhängen. Beginnen wir zunächst mit der ersten Gleichung: E(r,t) = x y Φ(α) 1 c A x(α) t A y (α) = n α Φ(α)+ α A(α) z A z (α) Formen wir nun die Lorentzeichung um, so erhalten wir: 0 = n α A(α) α Φ(α) α Φ(α) = n α A(α) Dies setzen wir ein und eliminieren Φ und erhalten für das elektrische Feld: E(r,t) = n(n α A(α)) α A(α) Wenn wir nun n n = 1 nutzen können wir die Graßmann-Identität anwenden und erhalten: E(r,t) = n ( α A n) = n ( B(r,t)) = n B Im letzten Schritt haben wir das Ergebnis für das magnetischen Feldes von oben benutzt. Aus dieser Gleichung erkennen wir, dass das elektrische Feld sowohl senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung als auch auf der Richtung des Magnetfeldes steht. E, B und n bilden also orthogonales Dreibein, und ebene elektromagnetische Wellen im Vakuum sind transversal. Man kann sich nun die Frage stellen, ob E,B und n global oder lokal orthogonal sind. Die Frage nach der Polarisation etwas später klären, welche Freiheiten hier bestehen. B(α) = n α A(α) (4.6) E(α) = n ( α A(α) n) = n B(α) (4.7) Energiedichte und Poynting-Vektor einer ebenen Welle Aus Glg. (4.7) erhält man sofort: E 2 (α) = B 2 (α), das heißt, die Beträge von elektrischem und magnetischem Feld sind zu jeder Zeit und an jedem Ort gleich. Damit wird die Energiedichte zu: u(α) = 1 ( E 2 (α)+b 2 (α) ) = E2 (α) 8π 4π. (4.8) Wir nutzen auch für den Poynting-Vektor die Beziehung (4.7) und erhalten: S = c 4π E B = n c 4π E B = n c 4π E2 (α) S = n c u(α) (4.9) Damit haben wir die Beziehungen bestätigt, die wir bei der allgmeinen Diskussion von Feldenergie und -impuls bereits verwendet hatten.

5 4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM Monochromatische Ebene Welle Bislang hatten wir keinerlei Annahmen über die Form der Funktion f(α) gemacht, außer, dass die Zeit und die Koordinate nur über die Phase eingehen. Insbesondere hatten wir nicht verlangt, dass es sich um eine periodische Funktion handelt. Diesen Speziafall betrachten wir im Folgenden. Wir wählen nun eine spezielle Lösung der Wellengleichung zu: f(α) = f 0 e ik(n r ct) Wir untersuchen diese Lösung im folgenden auf ihre Eigenschaften. Hierfür definieren wir noch und k := k n (4.10) ω = k c (4.11) Die monochromatische ebene Welle löst die Wellengleichung. Die Lösung hat die Form: f(α) = f 0 e i(k r ωt) (4.12) Wir wissen, dass dies eine Welle ist, die periodisch in Raum und Zeit ist. Hierbei gelten die üblichen Beziehungen: f = 1, ω = f, ω = T T k = λ Hierbei sind T die Periodendauer und λ die Wellenlänge. Die Phasengeschwindigkeit berechnet sich zu: v ph = λ T = ω k = c (4.13) Die Phasengeschwindigkeit ist also die Lichtgeschwindigkeit. Dies gilt aber nur im Vakuum. Die Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Wellenzahl nennt man auch (Frequen-Wellenzahl-)Dispersion. ω(k) = c k Die Dispersion einer elektromagnetischen Welle im Vakuum ist also linear. Dies gilt gleichermaßen für die Relation zwischen Impuls ( k) und Energie ( ω), die wir in der Quantenmechanik kennenlernen werden. Man beachte, dass diese lineare Dispersion fundamental anders ist als die klassischer Teilcher, wo eine parabolische Dispersion gilt, E(p) = p 2 /2m. Die Grundeigenschaften der monochromatischen ebenen Welle sind nun bekannt. Wir wissen zum Beispiel, dass (E,B) k ist. Nun klären wir die Frage, ob sich dieses Dreibein drehen kann Polarisation ebener monochromatischer Wellen Wir lassen nun für das elektrische Feld eine komplexe Form zu. E (r,t) = E 0 e i(k r wt) Physikalische relevant ist hierbei nur der Realteil. E(r,t) = R [E 0 e i(k r wt)] Für die komplexe Amplitude können wir schreiben: E 0 = E 01 +ie 02 Hierbei sind E 01 und E 02 zwei Komponenten und sind reell. Weiter berechnen wir den Realteil der elektrischen Feldes: E(r,t) = R[(E 01 +ie 02 (coskα+isinkα))] = E 01 coskα E 02 sinkα

6 86 KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD Die Orientierung in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Vektoren E 01 und E 02 kann also völlig beliebig sein. Wir führen nun eine Koordinatentransformation durch, welche gewährleisten dass Ẽ01 Ẽ02 gilt. Hierfür führen wir eine konstante Phase ϕ, die dieses gewährleistet. Also erhält man: [ E(r,t) = R (Ẽ01 +ie ] 02 )(cosk α+isink α) Hierbei haben wir und Ẽ 01 +iẽ02 = E 0 e iϕ k α := k r ωt+ϕ Wir wählen nun unser Koordinatensystem so, dass die Ausbreitungsrichtung n,k in ê z -Richtung ist. Damit liegen unsere transformierten Amplituden in der x, y-ebene und der Realteil des elektrischen Feldes wird zu: E(r,t) = Ẽ01 ê xcos(kz ωt+ϕ) Ẽ02 }{{} ê ysin(kz ωt+ϕ) }{{} E x(z,t) E y(z,t) Man sieht also das die x und y-komponente eine analoge Orts- und Zeitabhängigkeit haben und sich nur um eine Phase von π 2 unterscheiden. Der Feldvektor rotiert mit wachsender Phase k α. Im Allgemeinen können wir unterschiedliche Amplituden in x und y-richtung haben. Dieser allgemeine Fall entspricht einer elliptischen Polarisation. Sind die Amplituden gleich so haben wir eine zirkulare Polarisation und ist eine Amplitude so haben wir eine lineare Polarisation Superposition ebener monochromatischer Wellen Die Linearität der Maxwell-Gleichungen impliziert die Linearität der Wellengleichung und daraus folgt die Gültigkeit des Superpositionsprinzips, da jede Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung der Wellengleichung ist. Als Teillösungen kann man monochromatische Wellen wählen. So erhält man den Vorteil, dass man eine beliebige periodische Funktion mit einer geeigneten Superposition monochromatischer Lösungen darstellen kann. Wir behandeln den Fall das alle Spektralkomponenten dieselbe Richtung haben. Also n 1 = n 2 =... Wir erhalten also eine Lösung der Wellengleichung zunächst aus einer endlichen Überlagerung von partikulären Lösungen: f(α) = j f j e ikjα Hierbei ist mit α = n r ct auch ω j = c k j gegeben. Ziel ist es nun die ω j k j zu finden. Hierfür kann man aus der endlichen Summe eine kontinuierliche Verteilung machen und erhält die Fouriertransformationen. f(α) = 1 e ikα f(k)dk (4.14) f(k) = 1 e ikα f(α)dα (4.15) Hierbei nennt man f(k) auch eine Spektralkomponente und alle f(k) bilden zusammen das Spektrum von f(α). Zunächst schauen wir uns das Spektrum einer monochromatischen ebenen Welle an mit: f(α) = f 0 e i(k0 z ω0 t) = f 0 e ik0α

7 4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM 87 mit ω 0 = c k 0. Das Spektrum ergibt sich dann zu: f(k) = 1 f 0 = f 0 δ(k k 0 ) e ikα+ik0α dα Abbildung 4.2: Spektrum einer monochromatischen Welle Das Spektrum hat wie erwartet also nur eine Komponente, welche maximal lokalisiert ist. Die Breite des Peaks ist also k = 0. Die monochromatische ebene Welle ist unendlich ausgedehnt in α, das heißt auch unendlich ausgedehnt in t und z. Die Breite ist hier also α =. Beides ist nicht ideal realisierbar. Reale Prozesse haben immer eine endliche Breite in beiden Komponenten. Wir behandeln deshalb die Gaußfunktion, die einem realen Prozess besser entspricht. Also definieren wir das Spektrum zu f(k) = c e a2 (k k 0 ) 2 2 und versuchen f(α) zu finden. Abbildung 4.3: Gaußförmiges Spektrum Zunächst bestimmen wir die Peakbreite unseres Spektrums. Aus k k 0 = 1 a ergibt sich f ( k ) = c a e Die Peakbreite ist also k = 2 a. Nun setzen wir die Fourier-Transformation an: f(α) = c e a2 (k k 0 ) 2 2 +ikα dk

8 88 KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD Substituiere k = k k 0. Also ist k = k +k 0 und es gilt: Das Resultat mit α = n r ct ist: f(α) = c e ikα e a2 k2 2 e ik 0α dk = c e ik0α e ikα e a2 k 2 2 dk }{{} = α2 a e 2a 2 f(n r ct) = c a ei(k0 ω0t) e 1 2a 2(n r ct)2 = f 0 (α) e i(k 0 r ω0t) (4.16) Wir haben als Ergebnis eine monochromatische Welle (Trägerwelle) mit gaußförmiger Amplitude f 0 (α) = c a e 1 2( n r ct a ) 2 Abbildung 4.4: Phasenraum eines gaußförmigen Spektrums Liest man die Peakbreite der Funktion f(α) ab so erhält man: α = 2 a Halten wir eine Zeit t fest so gilt also z = 2a. Multiplizieren wir die Peakbreite im Frequenzraum und im Phasenraum so erhalten wir: k z = 1 (4.17) Dies gilt für eine Gaussfunktion für andere Amplitudenzusammenhänge gilt nur k z = const. Hält man nun den Ort fest so erhält man analog: t ω = 1 (4.18) Diese Zusammenhänge sind allgemeine Eigenschaften der Fourier-Transformation. Man beschreibt die als Unschärfe, da eine präzise Orts(Zeit)-Messung ( z/ t klein) zu einem großen Fehler in der k/ω Messung führt. Dies ist der Grund für die Unschärferelation in der Quantenmechanik (Teilchen werden durch Wellen repräsentiert) Kugelwellen Es gibt auch noch andere Lösungen der Wellengleichung. Große physikalische Relevantheit haben die Kugelwellen. Man kann sich hier eine lokalisierte Abstrahlung (dies war bei der ebenen Welle ein Problem) und eine Abstrahlung in den gesamten Raum vorstellen. Die Gesamtenergie wird dann nicht wie bei den ebenen Wellen divergieren, sondern sich auf Kugeloberflächen verteilen. Wir suchen also nun eine isotrope Lösung der Wellengleichung. f(r) = f(r)