Nun erinnern wir an die Konvention, dass die Komponenten von v V (bzgl. B) einen Spaltenvektor. v 1 v 2 v =

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1 eim Rechnen mit Linearformen in V zusammen mit Vektoren in V ist es von Vorteil, mit der Dualbasis zu einer gewählten asis von V zu arbeiten Hierzu einige Erläuterungen Wie ede asis von V kann die Dualbasis = {ϑ 1, ϑ 2,, ϑ n } benutzt werden, um eine beliebige Linearform λ als Linearkombination zu schreiben: λ = λ 1 ϑ 1 + λ 2 ϑ λ n ϑ n (113) Die Komponenten λ i von λ werden in Kurzschreibweise auch als Zeilenvektor zusammengefasst: λ = (λ 1, λ 2,, λ n ) (114) In dieser Schreibweise gilt insbesondere ϑ 1 = (1,,, ), ϑ 2 = (, 1,, ),, ϑ n = (,,, 1) (115) Nun erinnern wir an die Konvention, dass die Komponenten von v V (bzgl ) einen Spaltenvektor bilden: v 1 v 2 v = v n ei Spezialisierung auf die asisvektoren nimmt diese Darstellung als Spaltenvektor eine besonders einfache Form an: 1 e 1 =, e 2 = 1,, e n = 1 (116) Aus der definierenden Eigenschaft ϑ i (e ) = δ i der Dualbasis folgt, dass die Anwendung von ϑ i auf einen Vektor v V die entsprechende Komponente von v (bzgl ) ergibt: v i = ϑ i (v) (i = 1,, n) (117) Umgekehrt erhält man die i-te Komponente λ i der Linearform λ durch Einsetzen des i-ten asisvektors: λ i = λ(e i ) (i = 1,, n) (118) Für eine beliebige Linearform λ und einen beliebigen Vektor v hat man dann λ(v) = ( ) λ i ϑ i v e = λ i v ϑ i (e ) = λ i v i (119) i i, i Dieser Ausdruck lässt sich prägnant mit der Regel Zeile mal Spalte umschreiben: λ(v) = v 2 λ i v i = (λ 1, λ 2,, λ n ) i 8 v 1 v n (12)

2 16 asiswechsel Was passiert nun, wenn wir die asis = {e 1,, e n } wechseln, also durch eine andere asis = {ẽ 1,, ẽ n } ersetzen? Es gibt mehrere Möglichkeiten des Vorgehens (die am Ende auf das Gleiche hinauslaufen) Hier gehen wir so vor, dass wir die alte asis durch die neue ausdrücken: e = i ẽ i T i (121) Da es sich bei der neuen asis wieder um eine asis handelt, sind die Koeffizienten T i R eindeutig bestimmt Sie lassen sich in Form einer quadratischen Matrix anordnen: T 11 T 12 T 1n T 21 T 22 T 2n (T i ) = (122) T n1 T n2 T nn Nun ist eder Vektor unabhängig von der Wahl der asis Es gilt also v = v e = i ṽ i ẽ i, (123) wobei mit ṽ i die Komponenten von v bezüglich der neuen asis = {ẽ 1,, ẽ n } gemeint sind Durch Einsetzen der eziehung (121) entsteht v =,i v ẽ i T i Da die Komponenten ṽ i eindeutig bestimmt sind, liefert der Koeffizientenvergleich mit (123) das Ergebnis ṽ i = T i v (124) In der alternativen Schreibweise mit Matrizen und Spaltenvektoren sieht das wie folgt aus: ṽ 1 T 11 T 1n v 1 = (125) ṽ n T n1 T nn (Hier wird die Multiplikationsregel für Matrizen und Spaltenvektoren als bekannt vorausgesetzt) Wir wenden uns etzt den Linearformen zu Für die Dualbasis = { ϑ 1,, ϑ n } gilt wieder ϑ i (ẽ ) = δ i Aus Gleichung (121) und dem Ansatz ϑ i = l S il ϑ l folgt hiermit v n δ i = ϑ i (e ) = k ϑ i (ẽ k )T k = k,l S il ϑl (ẽ k )T k = k S ik T k (126) Die Matrix der Koeffizienten S ik ist also invers zur Matrix der Koeffizienten T k : S 11 S 1n T 11 T 1n 1 = (127) S n1 S nn T n1 T nn 1 9

3 (Hier wird die Multiplikationsregel für Matrizen als bekannt vorausgesetzt) Wir schreiben für diesen Zusammenhang auch S i = (T 1 ) i oder S = T 1 Um die Komponenten einer Linearform λ in die neue asis umzurechnen, benützen wir die Gleichung (124) in Kombination mit der Tatsache, dass λ(v) basisunabhängig erklärt ist: λ(v) = λ v = i λ i ṽ i = i, λ i T i v (128) Durch Koeffizientenvergleich folgt λ = λ i i T i Um nach λ i aufzulösen, multiplizieren wir mit S k, summieren über und verwenden die Variante T is k = δ ik von Gleichung (126) So entsteht λ i = λ S i (129) Resumée Unter einem asiswechsel e = i ẽit i ändern sich die Komponenten eines Vektors v bzw einer Linearform λ wie folgt: ṽ i = T i v, λi = λ (T 1 ) i (13) In Worten: die als Spaltenvektor arrangierten Komponenten von v werden durch (Links-)Multiplikation mit der Matrix T transformiert Hingegen werden die als Zeilenvektor arrangierten Komponenten von λ durch Rechtsmultiplikation mit der inversen Matrix T 1 transformiert: (T 1 ) 11 (T 1 ) 1n ( λ 1,, λ n ) = (λ 1,, λ n ) (131) (T 1 ) n1 (T 1 ) nn emerkung Die invariante (dh basisunabhängige) Paarung V V R, (λ, v) λ(v) zwischen Linearformen und Vektoren ist fundamental für sehr viele eziehungen in der Physik Im eispiel von Abschnitt 14 haben wir bereits die Paarung Kraft Verschiebung Energie(änderung) kennengelernt Weitere eispiele von diesem Typ sind Kraft Geschwindigkeit Leistung, Impuls Geschwindigkeit kinetische Energie ( 2), Drehimpuls Winkelgeschwindigkeit Rotationsenergie ( 2), elektrische Feldstärke Verschiebung elektrische Spannung, elektrische Feldstärke Stromdichte Leistungsdichte Für diese Paarungen spielt die Geometrie des Raumes keine Rolle 1

4 17 Lineare Abbildungen Definition Sei A : U V eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen U, V Die Abbildung A heißt linear, falls für alle u, u U und b R gilt: A(u + u ) = A(u) + A(u ), A(b u) = b A(u) (132) Für eine lineare Abbildung L verwenden wir die vereinfachte Notation L(u) Lu eispiel Wählen wir in der obigen Definition V = R, betrachten wir also lineare Abbildungen L : U R, dann handelt es sich um die in Abschnitt 14 eingeführten Linearformen Die linearen Abbildungen L : U V bilden selbst wieder einen Vektorraum mit der durch (A+)(u) = A(u)+(u) erklärten Addition Dieser Vektorraum wird mit Hom(U, V ) bezeichnet Für U = V schreibt man Hom(V, V ) = End(V ) Für V = R haben wir Hom(U, R) = U Matrixdarstellung einer linearen Abbildung Sei L : U V eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen U und V, also L Hom(U, V ) Durch die Wahl von asen = {e 1,, e n } für U und C = {f 1,, f m } für V wird L eine Matrix (L i ) zugeordnet Dies geschieht durch Le = i f i L i, (133) oder mit Hilfe der Dualbasis C = {φ 1,, φ m } durch L i = φ i (Le ) (134) Nun möchten wir wissen, was unter der linearen Transformation u Lu mit den Komponenten (bzgl bzw C) des Vektors u passiert Dazu schreiben wir u als Linearkombination u = u e and verwenden die Linearität der Abbildung: ( ) Lu = L u e = u L(e ) = u e i L i i, Folglich gilt (Lu) i = φ i (Lu) = L i u In der Schreibweise als Spaltenvektor haben wir (Lu) 1 L 11 L 1n = (Lu) m L m1 L mn C C, u 1 u n Werden zwei lineare Abbildungen L : U V und K : V W hintereinander ausgeführt, KL : U L V K W so erhält man wieder eine lineare Abbildung KL : U W (ezüglich dieser Produktoperation bilden die invertierbaren linearen Abbildungen g End(V ) eine Gruppe namens GL(V ) mit der 11

5 identischen Abbildung v v als neutralem Element) Wichtig ist nun, dass die Zuordnung von linearen Abbildungen zu Matrizen die Gruppenstruktur erhält In anderen Worten: sind, C bzw D asen für U, V bzw W, und sind (K dc ), (L cb ) und ((KL) db ) die entsprechenden Matrizen, dann gilt (KL) db = c K dc L cb (135) Man kann also die Matrix der Hintereinanderausführung KL direkt bilden, oder die Matrizen von K und L individuell bilden und sie dann als Matrizen multiplizieren (wobei die Reihenfolge der Multiplikation gleich bleibt) das Ergebnis ist dasselbe 18 Transponierte einer linearen Abbildung Zu eder linearen Abbildung L : U V existiert die transponierte (oder kanonisch adungierte) Abbildung, L T Sie vermittelt zwischen den dualen Vektorräumen (also U und V ) und ist erklärt durch L T : V U, (L T λ)(u) = λ(lu) (136) Ein wichtiger Spezialfall sind Abbildungen L : V V zwischen einem Vektorraum und seinem eigenen Dualraum Wegen (V ) = V (für dim V < ) ist die Transponierte von L dann wieder eine lineare Abbildung L T : V V Definition Eine lineare Abbildung L : V V heißt symmetrisch (bzw schief-symmetrisch), falls gilt L = L T (bzw L = L T ) emerkung Für eine symmetrische lineare Abbildung L : V V hat man (Lv)(v ) = (Lv )(v) (für alle v, v V ), (137) für eine schief-symmetrische Abbildung gilt Entsprechendes mit geändertem Vorzeichen Die einer symmetrischen Abbildung (durch Wahl einer asis = {e 1,, e n }) zugeordnete Matrix (L i ) hat die Eigenschaft L i = (Le i )(e ) = (Le )(e i ) = L i (138) Für eine schief-symmetrische Abbildung L = L T hat man L i = L i eispiel 1 Der Massentensor eines Teilchens im anisotropen Medium ist eine symmetrische lineare Abbildung M, die der Geschwindigkeit v den entsprechenden Impuls p zuordnet: M : v p = Mv, M = M T (139) eispiel 2 Der Trägheitstensor (z eines starren Körpers) ist eine symmetrische lineare Abbildung I, die die Winkelgeschwindigkeiten ω in den entsprechenden Drehimpuls L transformiert: I : ω L = Iω, I = I T (14) 12

6 eispiel 3 Der Leitfähigkeitstensor σ eines elektrisch leitenden Materials ist (in linearer Näherung) eine lineare Abbildung, die elektrische Feldstärken E in elektrische Stromdichten transformiert: σ : E = σe (141) Es gilt die sog Onsager-Relation σ() T = σ( ) (mit der magnetischen Feldstärke) 19 Affiner Raum Der egriff des Vektorraums an sich ergibt noch kein befriedigendes Modell für den (physikalischen) Raum Deshalb nehmen wir folgende Erweiterung vor Definition Unter einem affinen Raum (M, V, +) versteht man eine Menge M von Punkten zusammen mit einem Vektorraum V und einer Addition M V M, (p, v) p + v, mit den Eigenschaften: (i) Es gilt eine Variante des Assoziativgesetzes: p + (u + v) = (p + u) + v für alle p M und u, v V (ii) Zu edem Paar (p, q) M M existiert genau ein Vektor v V mit p = q + v Wir schreiben p q := v und nennen p q den Differenzvektor zu (p, q) eispiel Die Menge aller Punkte auf einer Geraden zusammen mit dem Vektorraum aller Translationen längs der Geraden bildet eine 1-dimensionalen affinen Raum Definition Ein affines Koordinatensystem {p ; e 1,, e n } besteht aus einem ausgezeichneten Punkt p (dem Koordinatenursprung ) zusammen mit einer asis {e 1,, e n } von V Die affinen Koordinaten x i : M R (i = 1,, n) definiert man durch x i (p) = ϑ i (p p ), wobei {ϑ 1,, ϑ n } die Dualbasis zu {e 1,, e n } ist Den Ausdruck p = p + x 1 (p) e x n (p) e n nennen wir die Koordinatendarstellung des Punktes p Man beachte, dass gilt x i (p + av) = x i (p) + a ϑ i (v) (p M, a R, v V ) 13