Vektoren - Basiswechsel - Matrix

Transkript

1 Vektoren - asiswechsel - Matrix 1. Prinzip er Zusammenhang zwischen zwei asissystemen sollen formal eleganter durchgeführt werden. Ein Nachteil des "einfachen" Verfahrens - siehe Seite V0 - ist, dass teilweise umständlich ein Lineares Gleichungssystem zu lösen ist Hinweis 1: Nicht alle Autoren verwenden dieselbe efinition, welche Matrix wofür benutzt wird und welche Reihenfolge bei der Multiplikation vorkommt (von links oder von rechts). Eine genannte "Transformationsmatrix" sollte nicht einfach übernommen werden, sondern diese efinition muss beachtet werden. Hinweis 2: Es kommt die erechnung der inversen Matrix vor. Für eine 2x2-Matrix ist die manuelle erechnung noch kurz. Wenn mit Zahlen gearbeitet wird, sollte man für eine x-matrix eher einen (besseren) Taschenrechner benutzen. Excel und Open Office enthalten auch diese Matrixinversion! 2. Verfahren Es liegen zwei asissystem {x i } und {y i } vor. as sind jeweils 2 asisvektoren in R 2 und in R. Gegeben ist ein Vektor v, der eine Koordinatendarstellung v (X) und v (Y) hat. Ein Vektor hat verschiedene Koordinatendarstellungen, abhängig von der asis. Aber es ist immer noch derselbe Vektor! Eine Transformationsmatrix T beschreibt den Zusammenhang zwischen den asissystemen und den Koordinaten eines Vektors v. {x i }, v (X) Matrix T (oder eine mit T verknüpfte Matrix) {y i }, v (Y) [1] Es folgt dann letztlich, dass die Spalten der Transformationsmatrix T die Koordinaten der asisvektoren y i bezogen auf asisvektoren x i enthalten. ie Summationen laufen in Folgenden alle von 1 bis n (= imension = Anzahl der asisvektoren.) er Vektor v hat zwei verschiedene Koordinatendarstellungen als Linearkombination der jeweiligen asisvektoren: v (x) = x 1 x 1 + x 2 x = i x i x i [2a] v (y) = y 1 y 1 + y 2 y = i y i y i [2b] In R 2 wären dies als eispiel die Vektoren v (X) = ( x 1 x ) bzw. v (Y) = ( y 1 2 y ) 2 Ein asisvektor y i hat Koordinaten, die sich auf das andere asissystem x i beziehen, er ist also eine Linearkombination der asisvektoren x i. (ie Umkehrung gilt für x i als Linearkombination der Vektoren y i.) Wir definieren einen Zusammenhang unter Verwendung der Matrix T: y i = k t ki x k In R könnte ein eispiel dafür so aussehen: y 2 = ( 2) - und das bedeutet y 2 = x 1-2 x 2 + x [b] Eine Spalte i von T enthält die Koordinaten von y i (= Koeffizienten der Linearkombination der Vektoren x k ). Eine mögliche Verständnisschwierigkeit kommt daher, dass wir gewohnt sind, Koordinaten immer auf die Standardbasis zu beziehen. Hier müssen wir genauer auf die efinition achten! ie erste Koordinate "" bedeutet, dass die Komponente " mal asisvektor x 1 " ist. [a] V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite 1 (von )

2 Jetzt wird [] in [2b] eingesetzt: v = v (y) = = y i y i = i y i i v Entwicklung nach der asis {y i } = i t ki k t ki x k Linearkombination für y i eingesetzt y i k x k Umordnung v = v (x) = k x k x k v Entwicklung nach der asis {x i } er Vergleich zeigt x k = i t ki y i [4] Wenn die Koordinaten x i und y i als Spalten geschrieben werden, ist dies die Multiplikation der k-ten Zeile der Matrix T mit dem Vektor der Koordinaten von v (Y). Mit dem Spaltenvektor der Koordinaten von v (X) und dem Spaltenvektor der Koordinaten von v (Y) ist die Vektorgleichung für alle Koordinaten v (X) = T v (Y). [] In der efinition [a] für die Transformation der asisvektoren ist im Produkt k t ki x k eine Spalte der Matrix T enthalten. (Erster Index läuft, zweiter Index fest). ie Spalte enthält die Koordinaten von y i. (Angabe, welche Koeffizienten die Linearkombination der x i enthält.) Wird die Summation in eine Matrixoperation übersetzt, wird daraus eine Multiplikation "Zeile mal Matrix". (y 1... y n ) = (x 1... x n ) T [6a] Unter Verwendung der transponierten Matrix T' lässt sich die gewohnte Art "Matrix mal Spalte" herstellen. y 1... x 1 ( ) = (. T. y n... ) ( ) x n Prinzipiell besteht daher eine Wahlmöglichkeit, welche Variante benutzt werden soll. Zur efinition einer kürzeren Matrixgleichung werden als Vektoren x und y definiert. x 1 y 1 x = ( ) und y = ( ) [7] x n y n iese Vektoren enthalten als Komponenten selbst wieder Vektoren (die asisvektoren x 1,...)! amit sind [6a] und [6b] kompakter zu schreiben: y ' = x ' T y = T' x [6b] [8a] [8b] emerkung: [8a] ist, zusammen mit [7] und [6a], die direkte Umsetzung der grundlegenden efinition des Zusammenhangs in [a]. er Zusammenhang [8b] mit [8a] ist auch formal zu verstehen. (Transponieren erzeugt aus einer 1-spaltigen Matrix - für einen "üblichen" Vektor als Spalte - eine 1-zeilige Matrix - für einen "Zeilenvektor".) y ' = x ' T y '' = y = (x ' T)' = T' x '' = T' x. ie jeweils umgekehrten Transformationen werden mit der inversen Matrix T -1 bzw. (T') -1 = (T -1 )' durchgeführt. Prinzipiell können in [8a] die Vektoren jeweils zu einer Matrix erweitert werden. Für x ' und y ' - mit jeweils 1 Zeile - entstehen so die Matrizen X und Y mit n Zeilen. 1 Spalte enthält dann die Koordinatendarstellung eines Vektors x i bzw. y i. Für x und y in [8b] wird die analoge Erweiterung spaltenweise durchgeführt. V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite 2 (von )

3 Zur Veranschaulichung für [6a], [8a]: y ' = x ' T mit Vektoren x i, y i (y 1... y n ) = (x 1... x n ) T (y 1 ) 1 (y n ) 1 (x 1 ) 1 (x n ) 1 t 11 t 1n mit Koordinaten ( ) = ( ) ( ) (y 1 ) n (y n ) n (x 1 ) n (x n ) n t n1 t nn ie efinition [a], y i = k t ki x k, ist damit erweitert zu (y i ) z = k t ki (x k ) z. Als Matrixgleichung: Y = X T [9] ei dieser Erweiterung ist aber eine exakte Überlegung, was die Koordinaten bedeuten, notwendig! ei der Gleichung mit den Vektoren, y ' = x ' T, ist die Situation eindeutig. ie Komponenten von x sind die asisvektoren x 1, x 2,..., x n und analog für y. Wie ein y i als Linearkombination von den x i abhängt, ist in T enthalten. Wenn als Koordinaten von y i auch diese Information benutzt wird, ist das nur redundant. (Y = T!) Welche Koordinatendarstellung hat dann x i? Siehe dazu die Erklärung in Nr. 7! Y und X müssen sich auf dieselbe asis beziehen! Wichtig wird die Matrixdarstellung nach [9], wenn für x i und y i Koordinatendarstellungen jeweils in einer dritten asis angegeben werden. Für die Koordinaten der asisvektoren x i, y i ist auch in Gebrauch, dass die Koordinaten sich jeweils auf ein drittes System beziehen. Im Regelfall ist das die Standardbasis. (In der bisher benutzten Erklärung haben sich die Koordinaten jeweils auf das andere der beiden asissysteme bezogen.) Für den Zusammenhang der Vektoren x i y i gilt immer noch [a]. Am einfachsten ist dann estimmung von T mit zwei Matrizen X () und Y () für die Koordinaten der asisvektoren x i und y i im System. abei werden die Vektoren x i, y i spaltenweise angeordnet. (Spalte i enthält also zeilenweise die Koordinaten von x i bzw. y i ). ann ist X () T = Y () und damit T = (X () ) -1 Y (). [] ie bisher benutzten Matrizen (mit ezug auf das jeweils andere System) folgen aus X = (Y () ) -1 X () und Y = (X () ) -1 Y () (Herleitung in allgemeiner Form unter.) Zusammengefasst ist die Vorschrift: x Vektor der asisvektoren x i y Vektor der asisvektoren y i v (X) Vektor der Koordinaten von v im System {x i }, v (Y) Vektor der Koordinaten von v im System {y i } ie Matrix T enthält die Koordinaten der asisvektoren y i bezogen auf x i als Spalten Umwandlung von von nach asis Vektorkoordinaten x y y ' = x ' T y = T' x v (Y) = T -1 v (X) [] y x x ' = y ' T -1 x = (T -1 )' y v (X) = T v (Y) Wenn die Koordinaten der asisvektoren auf ein drittes System bezogen sind, wird T mit T = (X () ) -1 Y () berechnet. X () und Y () enthalten eine spaltenweise Anordnung der Koordinaten. [11] V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite (von )

4 . eispiel 1 - R 2 ie Aufgabe wurde "auf normalem Weg" auf Seite V0 gelöst. asis in R 2 : b 1 = ( 2 6 ); b 2 = ( ) (jeweils Koordinaten in der Standardbasis St) a) a in der asis : a = ( 2 2 ). Gesucht a in der Standardbasis a St b) c in der Standardbasis: c St = ( ). Gesucht c in der asis c Zuordnung zur Anwendung der Matrixformeln: b 1 und b 2 entsprechen dann y 1 und y 2. (iese Koordinaten kommen nach T) a entspricht dann v (Y), c St entspricht v (X). Transformationsmatrix T = ( 2 6 ); T' = (2 6 ) In R 2 kann T -1 "von Hand" berechnet werden: A = ( a b c d ) A-1 = T -1 = 1 28 ( 6 2 ) = 1 28 ( 6 2 ) a) v (Y) = ( 2 2 ); gesucht v(x) b) v (X) = ( 29 ); gesucht v(y) 11 a) v (X) = T v (Y) = ( 2 6 ) ( 2 2 ) = ( ) = ( 2 22 ) b) v (Y) = T -1 v (X) = 1 28 ( 6 2 ) ( ) = eispiel 2 - R 14 ( ) = (4 7 ) ie Aufgabe wurde "auf normalem Weg" auf Seite V0 gelöst. 2 2 asis : b 1 = ( 4); b 2 = ( 2); b = ( 4 ); 2 a) a in asis : a = ( 4 b) c in der Standardbasis: c St = ( 0 ); gesucht a in der Standardbasis, a St ); gesucht c in der asis, c 1 ( d et(a) b c a ) Zuordnung zur Anwendung der Matrixformeln: b 1, b 2 und b entsprechen y 1, y 2 und y. (iese Koordinaten kommen nach T) a entspricht dann v (Y), c St entspricht v (X) Transformationsmatrix T = ( ); T' = ( 2 ); T = 1 ( ) (ie inverse Matrix wird mit einem Programm berechnet. Wenn dieser Schritt "manuell" durchgeführt werden muss, ist der Aufwand nicht geringer als mit dem "normalen" Verfahren.) a) v (Y) = ( 2 4 a) v (X) = T y = ( b) v (Y) = T -1 x = 1 0); gesucht v (Y) ) ( ) = ( ) = ( 0) = ( ) ( 0) = 1 ( = 12 ) = ( ) = ); gesucht v (X) b) v (X) = ( (Wenn T -1 bekannt ist, ist das schneller als die Lösung des Linearen Gleichungssystems. er Vorteil ist groß, wenn mehrere Vektoren v (X) zu transformieren sind.) V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite 4 (von )

5 . Allgemeine Herleitung von [] und [11] Allgemein: ezug auf eine dritte asis P. ie Entwicklung der x i in der asis P ist: x 1 = x 11 p 1 + x 12 p x 1n p n x i = x i1 p 1 + x i2 p x in p n... x n = x n1 p 1 + x n2 p x nn p n x 11 x n1 Als Matrixgleichung (x 1... x n ) = (p 1... p n ) ( ) x 1n x nn (P) Mit den Zeilenvektoren x ' = (x 1... x n ) und p' = (p 1... p n ) kürzer x ' = p' X ie Matrix X (P) enthält spaltenweise angeordnet die Entwicklung (Linearkombination) der asisvektoren x i in den asisvektoren p i. as sind die Koordinaten von x i als Spalte i; die Koordinaten sind dann in den Zeilen dazu abzulesen. Analog gilt für die Entwicklung der y i in der asis P: y i = y i1 p 1 + y i2 p y in p n und schließlich y ' = p' Y (P) Y (P) enthält spaltenweise die Entwicklung der y i in p i. Es gibt auch immer noch die Entwicklung nach dem jeweils anderen asisvektor: x i = x i1 y 1 + x i2 y x in y n und y i = y i1 x 1 + x i2 x y in x n In kurzer Form x ' = y ' X (Y) und y ' = x ' Y (X) ie Matrix X (Y) enthält spaltenweise die Entwicklung der x i in y i, die Matrix Y (X) die Entwicklung der y i in x i. Nun der Zusammenhang zwischen den arstellungen: x ' = p' X (P) p' = x ' (X (P) ) -1 eingesetzt in y ' = p' Y (P) y ' = x ' (X (P) ) -1 Y (P) Verglichen mit y ' = x ' Y (X) folgt Y (X) = (X (P) ) -1 Y (P) ie Indizierung "(X)" lassen wir weg. Ohne weitere Angabe soll bei der Angabe von zwei asissystemen der ezug bei den Koordinaten jeweils auf das andere erfolgen. Vorher hatten wir den allgemeinen ezug "(P)" als ezug auf ein drittes System gekennzeichnet. ann ist Y = (X () ) -1 Y () Aus y ' = p' Y (P) folgt ebenso durch Vergleich mit x ' = y ' X (Y) die eziehung X (Y) = (Y (P) ) -1 X (P) und mit der anderen Indizierung X = (Y () ) -1 X () ie Formel für die Transformationsmatrix T ist aus diesen Resultaten unmittelbar abzulesen. Laut efinition enthält T spaltenweise die Koordinaten der asisvektoren y i bezogen auf x i. as ist die Matrix Y. aher T = Y = (X () ) -1 Y () V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite (von )

6 6. eispiel - R 2 ie asisvektoren sind hier mit Koordinaten bezogen auf ein. asissystem (= Standardbasis) angegeben. asis X: x 1 = ( 1 4 ); x 2 = ( 2 ); asis Y: y 1 = ( 4 4 ); y 2 = ( 4 ) Vektor v in der asis X: v (X) = ( 6 7 ) a) Gesucht: v in der asis Y b) Gesucht: v in der Standardbasis St - aus v (X) und v (Y) c) Kontrolle: Stimmt die Rücktransformation v (y) v (x)? d) Wie löst man a) ohne den Matrixformalismus (wenn nur das Ergebnis interessiert)? e) Zu überprüfen: ie Transformationsregeln gelten für die asisvektoren f) Abhängigkeit der asisvektoren x i von y i (und umgekehrt) - "erechnung" der entsprechenden Koordinaten g) Überprüfung der Linearkombination von f) - durch Umrechnen in Koordinaten der Standardbasis h) Überprüfung der Linearkombination von f) - durch Anwendung der Matrix- Transformationsformeln a) erechnung der Transformationsmatrix T X (St) = ( ); Y (St) = ( ) Anwendung von A = ( a b c d ) A-1 1 = ( d b et(a) c a ) (X (St) ) -1 = 1 ( ) = 1 ( ) Einsetzen: T = (X (St) ) -1 Y (St) = 1 ( ( erechnung: T -1 = 1 40 Transformation: y = T -1 x = ( b) v (St) aus v (X) : v (St) = 6 ( 1 4 ) - 7 ( 2 ) = ( 1 ) v (St) aus v (Y) : v (St) = 2 ( 4 4 ) - ( 4 ) = ( 1 ie geforderte Gleichheit wird bestätigt. 4 1 ) ( ) = ) /2 ( ) = ( 6 ) /2 ) ( /2 ) = ( ) = (/2 ) ) c) Rücktransformation: x = T y = ( ) (/ ) = ( 12 ) = ( 6 7 ) d) er Matrixformalismus wird hier benutzt, um die Anwendung der Formeln zu zeigen. Wenn nur das Ergebnis gefragt ist, ist ein direkter Weg viel einfacher! v (St) berechnet wie in b) aus v (X). ann v (Y) aus v (St). v (Y) = ( a b ); ( 1 ) = a ( 4 4 ) + b ( 4 ) 4a + b = -1 4a = -1 - b = 1 + b - 4b b = - a = (-1 +2)/4 = /2 v (Y) = ( /2 ) e) er Zusammenhang zwischen den asissystemen X und Y ist in der Matrix T enthalten. Mit den Zeilenvektoren gilt (y 1... y n ) = (x 1... x n ) T. Für die Matrixformulierung in Koordinaten wird anstelle der Vektoren jeweils die Koordinatendarstellung als Spalte eingesetzt. araus folgen die Matrizen X und Y. Wenn in beiden Koordinatendarstellungen ezug auf dieselbe. asis genommen wird, müssen die Transformationsgleichungen auch erfüllt sein. Y (St) = X (St) T und X (St) = Y (St) T -1. V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite 6 (von )

7 Y (St) = ( 1 2, ,2 + 7,2 ) ( 2 ) = ( , ,8 + 4,8 ) = ( ) X (St) = ( 4, ) ( 6 ) = ( ) = (1 4 2 ) ie in a) definierten Matrizen folgen auch mit den Transformationsgleichungen. f) Wie hängen die asisvektoren y i von den asisvektoren x i ab? azu ist keine Rechnung nötig! ie Matrix T wurde so erzeugt, dass die Spalten genau diese Abhängigkeit enthalten! amit direkt: y 1 = ( 2 2 ) und y 2 = ( ). Mit y = x T gilt die Umkehrung x = y T -1. ie Abhängigkeit der asisvektoren x i von y i wird durch T -1 beschrieben, in Koordinaten gelten dafür die Spalten der Matrix T -1. amit: x 1 = ( 6 ) und x 2 = ( 11 2). g) Weil x i eine Linearkombination der y i ist (und umgekehrt für y i ) müssen die arstellungen in der Standardbasis bei der Auflösung der Linearkombination entstehen. y 1 = -2 x x 2 = -2 ( 1 4 ) + 2 ( 2 ) = ( 4 4 ) y 2 = -11/ x / x 2 = -11/ ( 1 4 ) + 12/ ( 2 ) = ( 4 ) x 1 = -6 y 1 + y 2 = -6 ( 4 4 ) + ( 4 ) = ( 1 4 ) x 2 = -11/2 y 1 + y 2 = -11/2 ( 4 4 ) + ( 4 ) = ( 2 ) h) Transformationsformeln: X = (Y () ) -1 X (), Y = (X () ) -1 () Y asis "" = "St" X (St) = ( ); Y (St) = ( ); (X (St) ) -1 = 1 ( ) (Y (St) ) -1 = 1 4 ( ) = ( ) X = ( ) (1 /2 ) = ( ) = ( ) Y = 1 ( ) ( ) = ( ) = ( ) iese Rechnungen dienten nur zur Illustration der Formeln! X und Y können direkt aus T und T -1 abgelesen werden! 7. Falsche Anwendung von Y = X T (Für Zahlenwerte Nr. 6 benutzt) Richtig ist y ' = x ' T, T = 1 ( ) In 6. berechnet: y 1 = ( ), y 2 = ( 12 ), x 1 = ( 6 ), x2 = ( 11 2 ). Wir bilden daraus - nach Vorschrift - die Matrizen durch Anordnung der Vektoren in Spalten. Y = ( ), X = ( erechnung X T = ( Also ein falsches Ergebnis! ) ) ( ) = ( ) = ( ) V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite 7 (von )

8 ei der Erweiterung von y ' = x ' T müssen in Y und X die Koordinaten auf dasselbe asissystem bezogen werden! Wenn wir - unter erücksichtigung der Vorschrift - y i auf x i beziehen, müssen wir auch x i auf x i beziehen! as führt für X auf die Einheitsmatrix E. Y = E T gilt, weil Y = T nach der Konstruktionsvorschrift für T. Nur für die richtige Wahl - beides Mal gleiche asis für die Koordinaten - gilt Y = X T und X ist dann gleich E. Allgemein - zuerst "anschaulich": Wenn wir eine Abbildung x y durchführen und dann eine Abbildung y x, kommen wir "an den Anfang zurück". Allgemein - formal (x, y seien Spaltenvektoren): x als Linearkombination von y: x = A y x i = j a ij y j y als Linearkombination von x: y = x y j = k b jk x k kombiniert: x = A y = A x x i = j k a ij b jk x k A = E j k a ij b jk = ik = (E) ik as war auch das obige Resultat. X beschreibt die Linearkombination x i von y i und T die Umkehrung y i von x i. as Produkt muss E sein. 8. Kombination mehrerer Transformationen ("Kettenregel") Mehrere aufeinanderfolgende asistransformationen lassen sich auf eine gesamte Transformation zurückführen. Herleitung im Matrix-Formalismus : ie eziehung v (X) = T v (Y) wird mehrfach angewandt. T ist - wie üblich - über die Verknüpfung der asisvektoren y ' = x ' T definiert. Um die Übersicht zu behalten, werden die beiden asissysteme angegeben: T VON ("X" entspricht dann "von" und "Y" entspricht "nach".) T A beschreibt dann eine Transformation v (A) = T A v () NAH. T A enthält spaltenweise die Entwicklung der asisvektoren von im System A, also von "Nach" im System "Von".! ie asisvektoren und Vektoren in dieser asis werden "entgegengesetzt" transformiert (kontragredient). ie hier gewählte Richtung "von" "nach" bezieht sich auf die asisvektoren, die neuen y i entstehen durch Transformation aus den alten x i. iese Vereinbarung wird in der Festlegung von T benutzt. Wenn man die Transformation des Vektors lieber als "nach" aus "von" schreibt, also "nach" auf der linken Seite, ist die Inverse Matrix T -1 zu verwenden! v () = (T A ) 1 v (A) Eine weitere Transformation führt zur asis, ausgehend von : v () = T v () T enthält nach der üblichen Vorschrift die Entwicklung der asisvektoren von im System, also dem "direkten Vorgänger". ie kombinierte Transformation ist A, v (A) = T A v () bekannt sind die Matrizen für A und. v (A) = T A v () = T A T v () zeigt für die kombinierte Transformation ein Produkt. Um dies zu verifizieren, noch eine weitere Transformation, v () = T v () v (A) = T A v () = T A T v () = T A T T v () V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite 8 (von )

9 Ein Vergleich mit v (A) = T A v () zeigt die "Kette": T A = T A T T (Jeweils "Kürzen von links oben nach rechts unten" oder Erweitern mit aufeinanderfolgenden Transformationen.) Herleitung über Summen: (Nur für den Fall zweier kombinierter Transformationen durchgeführt.) A Vektor v: v = i v i a i = i v i b i = v i i c i Entwicklung in A,, asis : b i = t k ki a k Matrix T A asis : c i = t k ki b i Matrix T a k v = v i i b i = v i i k t ki = v k i i t ki A v =. v k Vergleich: v A k = i t ki v i k a k ies ist die bekannte eziehung v (A) = T v () - evtl. eindeutiger: v (A) = T A v () v = v i i c i = v i t i k ki b k = v i t i k ki m t mk a m = ( t mk t m i k ki v i ) a m = (T A T m i ) mi v i a m a k = [(T A T ) v m ] m a m v = A m v m a m Vergleich: v m A = [(T A T ) v ] m v (A) = T A v () und v (A) = T A T v () T A = T A T eispiel in R 2 : Start in der asis A mit 2 asisvektoren a 1 und a 2. Ausgangspunkt muss also nicht immer die Standardbasis sein! Für die nachfolgenden asisvektoren sind immer die Koordinaten im Vorgänger, in A, in,... angegeben! asis : b 1 = ( 2 2 ); b 2 = ( ) T A = ( 2 2 ) (T A ) 1 = 1 4 ( 2 2 ) asis : c 1 = ( 1 4 ); c 2 = ( 2 ) T = ( ) (T ) 1 = 1 14 ( ) asis : d 1 = ( 2 ); d 2 = ( 1 4 ) T = ( ) (T ) 1 = 1 ( ) Vektor v in asis A: v (A) = ( 2 ) irekte Transformationen A,, : amit v in asis : v () = (T A ) 1 v (A) = 1 4 ( 2 2 ) ( 2 ) = ( 1/4 1/2 ) amit v in asis : v () = (T ) 1 v () = 1 14 ( ) ( 1/4 1/2 ) = ( 1/14 /28 ) amit v in asis : v () = (T ) 1 v () = 1 ( ) ( 1/14 /28 ) = ( /84 1/21 ) V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite 9 (von )

10 A (A in einer Matrix) "Kette" T A = T A T Mit (X Y) -1 = Y -1 X -1 : (T A ) 1 = (T ) 1 (T A ) 1 = 1 14 ( ) 1 4 ( 2 2 ) v () = (T A ) 1 v (A) = 1 28 ( ) ( 2 ) = ( 1/14 /28 ) A ( A in einer Matrix) v (A) = T A v () = T A T T v () T A T T = ( 2 v (A) = ( 80 = 1 28 ( ) 2 ) (1 4 2 ) ( ) = ( ) ( 1 ) = ( ) ) ( /84 1/21 ) = ( 2 ) Wenn mehrere Vektoren transformiert werden müssten, kommt nur noch die erechnung des letzten Produkts "Matrix Vektor" vor! Rechenintensive Schritte müssen nur einmal durchgeführt werden. as ist - neben der "formalen Eleganz" - ein entscheidender Vorteil. V06 Vektoren - asiswechsel - Matrix - Seite (von )